kudryavtsev2a (947416), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В случае, когда 6 — плоская область и ее граница является кривой, заданной некоторым представлением х = х((), у=- у((), а =-:(с, р, вопрос о нахохсденни 'экстремальных значений функции )(х, у) на границе 6 сводится к исследованию на экстремум функции одного переменного Г(х((), у(()), что делается уже известнымп нам методами. Методы, которые можно применять в многомерном случае для отыскания экстрьмалы|ых точек на границе области будут рассмотрены в 2 43.
У п р з ж н с н и я ! . Найти экстремумы Функции г= хэ+ 12хуэ — 1бх — 24д. 2. Им,ет ли Фупкпия з=-к'уз — Зхзу-,ь 22+у экстремум в -очке (1, 1)? 3. Нзйгп нзибольшсе н нзн;|спьшсс знзчгиия функции г=х'+рэ--4к— — 2у -, '4 в замкнутой об зс|и, о| рзничснной линиями х=-4, у = — 1, х — р=-..з, 4. Пусть а =сопМ > О, Е-.= ((к, у):1х1С а, р сн ??).
Нвйти всс экстремумы функцки х=-- хх+ Р 6(аэ -х') сову в Е и все ее наибольшие и наименьшие 2а значения в й. 5. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда рзпиз ба'-. При каких значениях длин ребер его обьсм — нвибольший? 5 4(. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 4(Л НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ОДНИМ УРАВНЕНИЕМ Выясним условия, при которых одно уравнение с несколькими переменными определяет однозначную функцию, т. е. определяет одну из этих переменных как функцию остальных. Наине|и наше рассмотрение с изучения уравнения, содержащего два неизвестных, гт (х, у) = О. Если функция двух переменных г (х, у) задана на некотором подмножестве А плоскости )с;я, А ~ )(э и существует такая функция одной переменной у = ((х), определенная на множестве Вс: Ю„, содержащемся в проекции множества А на ось Ох, что для всех хя В имеет место (х, Г(х)) с А и справедливо тождество )о(х, Г(х)) =О, то Г называется миленой фрикцие|(, определяемой уравнением Р(х, У)=О.
е/ /. Неявные функции, определяемые одним уравнением 29 Лемма. !1усть функция Р(х, у) непрерывна в некоторой прямоугольнпи окрестности (/(х„у,)=((х, у): ~ — х,~~Ц, ~у — у.~.С д) */ точки (х„у) и при каждом фиксированном х~(х,— $, хо+3) строго монотонна по у на интервале (у — т), уо+т)). Тогда, если Р(хо, у,) =О, то суиуствуют окрестности У(хо) =(хо — 6, хо+6) точки хо и ЕУ(уо)=(у — е уо+е) точки уо такие, что для каждого хе:-(/(хо) имеется и притом единственное решение у е= (/ (уо) уравнения Р(х, у) =О. Зто ре/иение, являюи(ееся функцией от х и обозначаемое у=!(х), непрерывно в птчке х, и 1(хо) = Уо.
Таким образом, лемма, в частности, утверждает, что при сделанных предположениях неявная функция у — -- !(х), определяемая уравнением Р (х, у) = О, существует и обладает тем свойством, что при условии хе=(/(хо), у е=(/(уо) равенства Р(х, у) =0 и у=!(х) равносильны.
Доказательство. По условиям леммы функция Р(х,.у) при каждом фиксированном хек (х, — $, х,+к) строго монотонна по переменной у на интервале (у,— т), у,+Ч), в частности на нем строго монотонна функция Р(х„у), Пусть для определенности она строго возрастает, Выберем произволыюе е) О, подчиненное лишь условию 0(е <яр Поскольку функция Р(х„, у) переменной у строго возрастает на отрезке (уо — е, уо+е], и по условию Р(хо, уо)=0, то Р (хо, уо — е) (О, Р (х„у, + и) ) О. Но функция двух переменных Р (х, у) по предположению непрерывна на открытом множестве (/(хо, у,) и (хо, у,— е)е= е(/(х„уо), (хо, у,+е) е(/(х„уо), поэтому существует такое 6~0, 0(6 =Е, что в 6-окрестности точки (хо, у„— е) выполняется неравенство Р (х, у) ( О, а в 6-окрестности точки (х„у, + е) — неравенство Р(х, у) а 0(см.
лемму 1 в п. 19.3). В частности, при всех х е (х, — 6, х, + 6) (рис. 150) будут справедливыми неравенства Р(х, уо — е)(0, Р(х, уо+е)мО. (41.1) Положим (/(хо)"='-'(х,— 6, хо+6), (/(уо)о='(у,— е, у,+е). о' В соответствии с принятыми в курсе обозначениями окрестность точки (хм уо) правильнее было бы обозначать через //((хо уо)), а не через Г/(хо, уо). Для простоты обозначений мы будем опускать вторые скобки. Э ад Неявные функиьи Поскольку при фиксированном х ~(l (хо) функция Е(х, у) переменной У непРеРывна на отРезке [У,— е, Уа+е), то нз УсловнЯ (41.!) согласно теореме Коши о промежуточных значениях непрерывкой ф)нкции (см. теорему 2 в п.
6.2) следует, что существует такое у' ен(Г(уо) (см. рнс. 150)„что Е(х, у*) =О. В силу строгой монотонности функции Е(х, у) на отрезке [уо — е, уо+с! по перемен- Г>у ной у, указанное у* единственно. уа о Таким образом, получено одноф значное соответствие (однозначиая функция) х уа, х ~ 0 (х,), ! у* ен (т*(у,), которое будем обозна- чай чать через [: у' = [ (х) уз у ) ! По определению этого соответ- ствия для любого х ~ (У (х,) н ха схау х х' ха'ухте * уа=г(х) имеем Рис.
!50 Е(х уо) 0 уа е- Ц(у ) причем точка у*, обладающая этим свойством, единственна. Тем самым нами доказаны существование и единственность искомой функции 1. Далее, по условию леммы Е(хо, уо) =О, и так как хая(Г(хо), У ~(/(У,), то в силУ единствЕнности фУнкции 1 имеем Уа=[(хо). Наконец, заметим, что е) 0 было фиксировано произвольным образом при условии, что е(ть и что для него было найдено такое б > О, что из ! х — ха ! ( 6 (т. е. из условия х я (т' (ка)) вытекало включение)(х) ~(г'(уо), т.
е. неравенство (1(х) — )тха)(( ( е. Это и означает непрерывность функции 1 в точке х,. [ ) Удобные для приложения достаточные условия однозначной разрешимости уравнения Е (х, у) =0 в некоторой окрестности точки (х„у,), для которой Е (х„уо) = О, даются следующей теоремой. Теорема 1. Пусть функция Е(х, у) непрерывнп в некоторой окрестности точки (х„у,) и имеет в этой окрестностп частную производную Гв(х, у), которая непрерывна в точке (ха, у,). Тогда, если Е(хо уа) =О, Ео(ха, уо) ФО то найдутпся такие окрестности (I(ха) и (!(у,) соопметственно точек х, и уо, что для каждого хе=(У(хо) существует и припюм единственное решение у=)(х) е-:(т (уо) уравнения Е(х, у)=0 а!.
Зто решение непрерывно всюду в (у(хо) и уо=Р(хо) ' Если дополнительно предположить, что функция Е илаеет в некоторой окрестности точки (ха, уа) частную производную а' В атон случае говорят также, что уравиеиие г(х, у)=.0 олиозиачио рааремиио в окрестиости Ы (хо, у ) = ((х, у): х т !т (х,), у аа Н (уаЦ точки ("а уа) ° вн/. Неявные функции, определяемые одном уравнением 3) Р,(х, у), непрерывную в точке (х,, уо), тв функция )(х) также имеет в точке хо производную и для нее справедлива формула Рл ("о у.) ее (хо уо) Доказательство.
В силу непрерывности функции Р(х, у) в некоторой окрестности точки (х„, у,) н непрерывности частной производной Р„(х, у) в точке (х„ уо), су;цествует прямоугольная окрестность (у(х„уо) =((х, у):)х — хо) ( $, ~у — уо!< о)) о ха Рвс. )Я где р = 3ГЛхо+ Луо. 1ипе,=Ив ее=0, р о р о точки (х„у,), в которой сама функция Р(х, у) непрерывна, а значения частной производной Р, (х, у) имеют тот же знак, что и ее значение в точке (х„у,). Поэтому при каждом фиксированном хан(х,— $, хо+5) функция ер(у)е — '~ Р(х, у) дифференцируема на интервале (у,— т), уо+т)), а ее прОизводная ~р' (у) = Р„(х, у) сохраняет постоянный знак.
Следовательно, функция ч~ (у) строго монотонна на указанном интервале. Таким образам все условия леммы для уе 1' функции Р(х, у) в построенной прямо- 1 угольной окрестности (у (х„у,) выполнены. и,(,й) ! Следовательно, сугцествуют окрестности 1 ! ы (хо).=(хо — д, хо+д) ( (уо) =-(уо — е,уо+е) и единственная функция у=) (х) определенная на 0 (х,), такие, что при каждом х ~ (/(хо) имеют место включение ~(х) енУ(уо) и равенство Р(х, 1(х))=0, причем функция ~ непрерывна в точке х,. Поскольку для каждой точки (х, у), для котордй х е:- (/(хо), У ен (у(уо), существует ее прямоугольная окрестность У (х, у), содержащаяся в прямоугольной окрестности Уо (х„у,) = ((х, у): ~ х — х, ~ ( 6, ( у — у, ( ( е) (рис.
151), то для 0(х, у) также выполняются все условия леммы. Следовательно, в силу единственности решения ((х) уравнения Р(х, у)=0 в окрестности Уо(х„уо) согласно той же лемме функция у=~(х) непрерывна в каждой точке хенУ(хо). Докажем теперь последнее утверждение теоремы. В силу непрерывности частных производных Р и Ре в точке (х„уо), функция .Р дифференцируема в этой точке: Р(хо+Лх уо+йу) — Р(хо уо)= =Рх(хо, уо) Ах+Ре(х„уо) Лу+ео Лх+ео Ьу (41 2) 32 у 41. Не»вине функции Возьмем в формуле (41.2) х, + Л У(хо), Лу= У(.хо+ Ах) — У(х,).
Тогда в силу условия Р(х, )'(х)) =-0 получим Р(хо+Лх, у,+Лу) =Р(х,+Лх, )(хо+ Лх)) =О, и так как Р(хо, уо) =О, то из (41.2) имеем Рх (хо, уо) Лх+ Ру (хо уо) Лу+ ед Лх+ ео Лу = О. Отсюда ау у»(х, у„)+о (41.3) ах Ё,(хо, уо)+о, ' Пусть теперь Лх-о 0; тогда, в силу непрерывности функции г, Лу- О, а, значит, при Лх- 0 имеем р= у'Лхо+Луо-эО, откуда следует, что в формуле (41.3) !ип ед= !!ш со=О.
Позтому при ьх-о ь -о Лх-о.О предел правой части равенства (41.3) существует и равен ух (Хо уо) — (напомним, что Рв (х„у,) чь 0), следовательно, при у„(х.„у.) Лх — 0 существует и предел левой части, т. е, сущсствует произ- водная Г(х) у (х у) П ху (хо.
Уо) (41.4) 3 амеч а н ие. Если функции Р„и Ру непрерывны в окрестности У,(х„у,) точки (х„у,), то производная 1' непрерывна на интервале У (хо). Действительно, прим~низ формулу (41.4) к произвольной точке х ен У (х,) получим ~~ ( ) Ух(» д 00) уу (х, д'(х)) ' откуда по теореме о композиции непрерывных функций вытекает непрерывность функции Р(х) на (l(х,). Аналогичным образом вводится понятие неявной функции, определяемой уравнением Р(х„..., х„, у)=0, (41.5) а также формулируется и доказывается теорема, аналогичная теореме 1.
Для того чтобы получить ее формулировку, достаточно лишь в формулировке теоремы 1 под х понимать точку п-мерного пространства, х=(х,, ..., х„) ен)св, в частностй »~од = = (х'", ..., х„'"'). Теорема 1'. Пусть функция Р(х, у) — = Р(хд, ..., х„, у) непрерывна в некоторой окрестности точки (хдод, у'о') и илдест в эпюй окрестности частную производную Р„, непрерьдвную в точке (хдод, у"'). Если Р(х~о' уо))=0, а Р„(хдо) удо>)~0, то найдутся такие 41.1. Неявные функции, онредеяяемые одним уравнением 33 окрестносьпи (ь"„и (/„соотсетствеиио точек х(со и у"1, что для каясдого х е= 0 (х) сущгсьпвугпг, и притом единственное, решение у=)'(.к) =)".(х„..., х,) ~Ув уравнения г (х, у) =О *', причем это решение у=1(х) непрерывно г1 (е, ь( .(е;) Если, кроме того, в некоторой окрестности точки (х(вг, у(ег) существуют все частные производные с„., непрерывные в точке (х(вг, у(зг), то, в пючке х(вг существуют и частные производиоге )„о ь'=1, 2, ..., п, причем если часпгные производиыерю ь'=1,2,..., п, и- + рв непрерывны в окрест- уе кость! точки (х('>, у('!), то частные произыгдные 1, су- е' ! ществуют и непрерывны в 1(е-2 некоторой окрестности точки х (з! 'т е ! При атом формулы для частных производных неявной функции, определя- О смой уравнением (41.5), хг имеют вид ! ! дР ду дхь л; дхь ду ду Рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
