kudryavtsev2a (947416), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Если нужно найти все производные дус то целесообразно вычислить дифференциалы обеих частей указанных выше тождеств (41.8), Использовав инвариантпость формы первого дифференциала относительно выбора переменных, получим !)! — -' с(хс+ !! — 'с(ус=О, й=1, 2, ..., и. с=! с=! Эта система линейных относительно с(у„..., с(у уравнений д(уь " ° с ) в силу того же условия ' "'' чьО имеет, и притом единд (у! ". уы) *' Г. Крамер (!704 — 1752) — швейцарский математик.
Э вд Неявные функции ственное, решение. Если его найти, то коэффициент при е[х, ду» в выражении для»[у) и будет частной производной —. дх Оба эти метода применимы и для вычисления производных высших порядков функций уг(хы ..., х„), являющихся решениями системы уравнений (4! ий) (например, в предположении, что все функции са, й=[, 2, ..., т, имеют соответствующих порядков непрерывные производные). Применяя метод дифференциалов, следует, конечно, помнить, что дифференциалы порядка выше первого в случае, когда оии выражаются через дифференциалы функций, имеют более сложный вид, чем когда они выражаются только через дифференциалы независимых переменных (см.
п. 21.2). Производные высших порядков функций у)(хь ..., х„) можно получить последовательным дифференцированием и из выражений дуг для первых производных — „, найденных по формулам Крамера из указанной ранее системы уравнений д»а ч»т д»а ду» — + у — — =О, д.»; я'е дуг дхе г=! й=1, 2,...,т, в виде отношения двух определителей. Это отношение можно дифференцировать столько раз, сколько раз дяфференцируемы функции са, й=1, ..., т. При этом, если все производные функций Рю й=[, ..., т, до порядка г включительно непрерывны, то будут непрерывными и все частные производные функций уг(хь ..., х,), [ = 1, ..., т, до того же порядка г.
Множество (называемое также часто классом) всех г раз непрерывно дифференцируемых в области б функций обозначается через С'(б). Таким образом: если, дополнительно кусловиям теоремы 2, гав= С'(()), я=1, ..., т, еде [г' — некоторая окрестность точки (х~о>, у'е'), то решения у, =у,(х„..., х„) системы уравнений (41.7) также принадлежат классу С'Я„) в некоторой окрестности У тв вси х»е'. Упражнения. 5. При каких условиях, налагаемых иа [ и на я, уравнение у=к[(г)+д(г) определяет, в некоторой окрестности 0 точки (»~» уе), функнию г(х, у)»и се((г)? доказать, что если эти условия выполнены, то для всех' (», у)»н (»' г»г к хг г г +гхгоу — — О. б.
Дана система уравнений иу (о) = [у — [(о)[а, (х+ о) р (о) =у — [ (о). Найти условия, налагаемые па функиию й при которых эта система определяет в некоторой окрестности 0 точки (хе, уе), функции и=и (х, у). о=о (х у) класса С»(У). Доказать, 'по в этом случае и ио — — и всюду в (). 4Ь4, Отображения 41.4. ОТОБРАЖЕНИЯ В атом пункте будут изучаться отображения 1: Е-э.
)('", Е с: )г", т. е. такие соответствия, которые каждой точке х=(хг, ..., х,) множества Е, лежащего в и-мерном арифметическом точечном пространстве )гв (см. п. 18.1) ставят в соответствие точку у =(у„..., у ) т-мерного арифметического точечного пространства Р". Таким образом, 1: (х„..., х„) (у„..., у ), (х„..., х„) ен Е. Очевидно, что задание такого отображения 1 равносильно заданию т функций 14..Е- Й, таких, что(г..х У» 1=1, ..., т, хан Е, Уу анас. Эти функции Ду(х)=~1(х„..., х„), 1=1, 2, ..., тп, х~Е, (41.26) называются координатными функг(иями отображения 1 и пишется )=Ч "'1 ).
На рассматриваемые отображения обобщается понятие непрерывности. Определение 3. Отображение у:Е- гс", Е~Я", называется непрерывным в точке хгаг ~ Е, если для любой окрес ности )т (уга)) точки у 1'1 =1(ха) суи(ествуепг такая окрестность У (хгог) точки х<а), что 1(О(х(01) ПЕ) с- $Г(у10)). Поскольку в любой окрестности точки *)содержится ее сферическая окрестность, 'го зто определение равносильно следующему. Отображение у: Š— ь гх -, Е с: й", называется непрерывныи в точке хга) ~ Е, если для любой еокргстности точки уго) = у (х<а)) СущССтаувт таКая Ь-ОКрветлааПЬ тОЧКи Хса), Чта у(О(х'а), б) ПЕ) ~ О(уг'1, е). Это, в свою очередь, с помощью неравенств можно перефразировать следующим образом. Отображение у: Š— К™, Е с: )св, называется непрсрывным в точке хго) ен Е, ес,ги для любого е О существует такое 6) О, что для всех точек х ен Е, удовлетворяющих условию р (х, хга)) ~ б, выполняется неравенство рд(х), )(хнн))(е.
Можно сформулировать определение непрерывности н в терминах последовательностей. Определение 3'. Отображение 1: Š— ь- вг-, Е с: асв, называется непрерывным в точке х'а' е= Е, если для любой последовательности *' Навомвнм, что окрестностью точки называется любое отврьпое мно~кество, содержащее эту точву (см. овределение 14 в и. 18.2). э вл неявные функции х'в'енЕ, к=1, 2, ..., такой что 1пп х<">=«<в>, имеет место Ь-со 1пп 1(х< ">) = 7 («<ь>). Ь со Равносильность зтнх двух определений доказывается аналогвчно тому, как это было сделано для равносильности определений предела функций по Коши и по Гейне.
Проведем зто доказательство. Пусть отображение 1 непрерывна в пючке х<'> в смысле определения 3, х<"' ен Е, й=1, 2, ... и (41,27) 1<п> «<м «<ь> В со Зададим е)0. Для него существует такая б)0, что при х ~Е, р(х, х'в>) <б выполняется неравенство р(1(«), 7(х<в>)(г. В силу условия (41.27) существует такой номер йв, что для всех Й- йв имеем«<в>еИ/ (х<'>, б), а следовательно и р(1(х<в>), )(х<в>))(е. Это и означает, что 1(ш 1(х<в>)=1(х<в>). А со Пусть, теперь, отображение 1 непрерывно в точке х<'> в смысле определения 3' и пусть условия определения 3 не выполнены, т. е. существует такое ев)0, что для любой б)0 существует такое хь ен У(х< >, б)ПЕ, для которого р(7(хв), 1(х<~>)) =-есо Взяв последовательно 6= —, 1=1, 2, ..., и положив для краткости 1 х<">=хны получим х'в> е=У(х<в>, — ) ПЕ, т: е. р(х<'>, х<'>) - —.
1> 1 Следовательно, 1пп х<в> = х<в> и х<"> ~ Е; однакор(1(х<в>),1(х<в>))~ее и, таким образом, последовательность (((х<в>)) не имеет своим пределом точку 1(«<о~). Полученное противоречие доказывает сде- ланное утверждение. П Лемма 1. Отобуажение 1=(1ь ..., 1 ):Е>-Е, Е с: Ео, непРе- рывно в п>очке х<в> тогда и только тогда, когда в этой точкг непрерывны все координатные функции 1<, ..., 1, Доказательство необходимости. Пусть отображение) непрерывно в точке х<" ен Е, у"> = (у>",..., уД') '-'1 (х<'>).
Согласно определению 3, для каждой окрестности 1в (у<'>) точки у">, в част- ности — для каждой ее кубической окрестности (см. п. 18.1) р(у<о> е)=(у; ~у,— у<во ~(е) существует такая окрестность у(х<в>) точки х<в>, что 1(Ц(х<в>) П Е) с- Р(у<ь> е) Следовательно для всех х ен У(х<в>) ПЕ выполняются неравенства ~~1(х) — у7'( Се, 1=1, 2, ..., т.
4Д4. Огоираоеееия 3то и означает, что все координатные функции )з, ..., 1 непрерывны в точке х!'!. Доказательство достаточности. Пусть все координатные функции 1'„..., 1 непрерывны в точке х!'! енЕ, уип = = (у!", ..., у',„"')=~(х"') и задана окрестность У(у"!) точки у!". Тогда существует такое г)0, что е-кубическая окрестность Р(у!и!, е) точки у'о! содержится в У(у"!), Р (у!о!, е) с:. У (у!о!) В силу непрерывности каждой функции ~у, !=1, 2, ..., т, в точке х!о! существуют такие окрестности У!=У(х!о>), что при х ен Уе П Е выполняется неравенство ~У (.) ~о'~ е Положим У= П Ур Тогда У, как пересечение конечного числа о=! открытых множеств Уу, будет открытым множеством, причем, поскольку все Уз содержали точку х!'>, то У также содержит ее.
Таким образом„множество У является окреспюстыо точки х!о!. При этом, если хек УПЕ, то при всех 1=1, 2, ..., т выполняются неравенства (41.28). Это означает, что )(х) ~Р(у(о!, е), а следовательно, ) (х) е= У(у!'!). Итак, для произвольной окрестности У (у!'!) найдена такая окрестность У точки 'х!'!, что 1 (У () Е) с: У (у!о'). П Лемма 1 в частности показывает, что определения непрерывных отображений отрезка„данные при рассмотрении понятия кривой в п. 16.1 (для случая отображений отрезка в трехмерное пространство) и в п. 18.2 (для случая отображения отрезка в произвольное и-мерное евклидово пространство) как отображений, координатные функции которых непрерывны, равносильны определению непрерывных отображений отрезка, как таких отображений, которые в каждой точке отрезка удовлетворяют условиям определения 3 этого пункта.
Отображение: ~ ! Е-о.)!'„, Е с: )г,", называется непрерывным на множествг Е, если оно непрерывно в каждой точке множества Е. Лемма 2. Отображение 1 открытого множества пространства К и просп!рапетов И„непрерывно на этом множестве тогда и только тогди, когда прообраз каждого открытого множесп!ва пространства Я™, при отображении 1" является открытым множеством пространс!пва )!'„. Доказательство необходимости. Пусть( непрерывно отображает открытое множество 6 с: и" в пространство ео„и пусть й 41. Неявные функции У вЂ” открытое множество пространства 4„': У с:.)"„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
