kudryavtsev2a (947416), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Действительно, по условию теоремы, в точке (х"), уев~) ю, аг, ду," дут д (еь ..., Рт) д(уь ." Ут) дР'т дл,„ ду1 ''' дут а поэтому в этой точке хотя бы один элемент последней строчки определителя Якоби отличен от нуля. Пусть для определенности это будет последний элемент: дат (ят', у'в') ду Отсюда в силу теоремы 1' п. 41.1 следует, что уравнение г„(х, у)=0 может быть разрешено относительно у в некоторой окрестности точки (х„ув). Сформулируем это более точно. Обозначим через (7 окрестность точки (х~в>, у~в>), в которой функции г"» (=1, 2, ..., и, непрерывно дифференцируемы, и положим у = (уь ..., у г).
Тогда найдутся прямоугольная окрестность ГР"+я-г точки (х~в~, у~в~)=(х',", ..., х~, у'ы, ..., у"',) (41,9) и окрестность У' точки у" такие, что Р""к-'хИ с:.У, и суще- ствует единственная определенная на (/те"-' функция (41.10) у =ер(х» ..., х„, у„..., у 1), удовлетворяющая следующим условиям: если (х, у) =-(хь ..., х„, у„..., у,) е=(/~~" ~, 4ПЗ. Неявные функции, определяемые системой уравнений ЗВ ~р(х, у)=ср(х„..., х„у,, ..., У,) гн0', (41.11) Рм(ху» ".
» хп, Уг» " » Уы-м сР(х» У)) =О (41 12) Кроме того, согласно той же теореме 1', функция ~р(х, у) непрерывно дифференцируема на 0 ""-' и , ( ~в1 у!е1) у»»» (41.13) При этом если (х, у) ес»' +н-г и у яР, то система (41.8) эквивалентна системе Ру (х, у) = О, ! = 1, 2. .. т — 1, ум=4»(х у). Подставим в первые т — 1 уравнения системы (4!.14) выражение (41.10). Тогда, введя обозначение Ф,(хм ° ° х Ум "° Ут-г)= =Рс(хм "° х Уь "° Ум-м Ф(хо ° хн Ум ° Уе»-т)) ! = 1, 2, ..., т — 1, (41.15) получим следующую систему т — 1 уравнений с т+а — 1 нензвсстными: Ф,(х,, ..., х„, уо ..., У,) =О, (4! .16) Ф,(х„..., хя, у„..., у,) =О.
При этом для (х, у) г=!т'"-'н-', у ен(7' система уравнений Фу(х, У)=0, 1=1, 2, ..., т — 1, (41.17) уы=ср(х, у) эквивалентна системе (41.14). Покажем, что система (41.15) удовлетворяет условиям, отличающимся от тгх, которым удовлетворяет система (41.8), только тем, что т — 1 заменено чгрез тл. Действительно, функции Фы Й=1, 2, ..., т — 1, непрерывно дифференцируемы в окрестности (7 '"-' как композиции непрерывно дифференцируемых функций.
Из условий Р~(х~", уон) =О, 1=1, 2, ..., лт, и (41.15), (41.13) следует, что Фе(х<в> уон)=О, 1=1, 2, ..., тл — 1. Докажем, что в точке (х~в>, у(в~) (см. (41.9)) ") ФО. д (у,, ..., у„, ,) Для этого предварительно заметим, что из (41.10) и (41.15) следует, что — — — — 1, й=1, 2, ..., тл — 1, (41.18) дуя дуя дум дун ' 40 Ю й!. >1енвнще функции а из (41.12) — что — + —" — =О, 1=1, 2, ..., л — 1.
(41.19) дуо дущ дув д(Рь ..., Р,н) д(уь ..., ущ) ><к~ос у~о~> дР< дР < дф дР< дР> д<Р дР, <+ 1 < 1 1 дуо ду дуо ' ' ' дущ о дут дущ о дут дРщ дРщ дц> дРт' дРт дц> дРок — += —" — + — — — '" дуо дущ дуо ''' ду,н о дущ дув, < дущ <щщ, вин> дФ< вФ< дРо дуо " ' дущ о дущ дФщ < дФщ < дРщ о ау, " ду , ду О ... О дРщ дущ ду (хооо у~о~) дущ <кооц у(о~> д (Ф„..., Фт. д) о д(ущ ", ущ >) 1<ктцрт> и так как левая часть равенства отлична от нуля, то отлична от нуля и правая, откуда — ~О д(уь ° ", ущ->) ><топ;о~> В силу выполнения для функций Ф<, < =--1, 2,...,т — 1, условий, аналогичных условиям для функций Р;, < = 1, 2, ..., и, и согласно предположению индукции снстема уравнений (41.16) однозначно разрешима относительно переменных у„ ..., у в некоторой окрестности точки (х<о>, у<'>).
Точнее, пусть От>"-'— прямоугольная окрестность точки (х<о>, у<'>), полученная при разрешении уравнения Р = О.относительно переменной у . Разложим ее в произведение прямоугольных окрестностей У; и У точек хои = (х',", ..., х'„") и цщ = (р>о', ..., у,'„'',) соответственно в пространствах К и Л- < (здесь у = (уь ..., р ,)).(1 '" ' =0„'><У-' Тогда существует окрестность (У„ с: (У; точки х<'>, окрестность Теперь в определителе „ ' '"' к <г-му столбцу прибад(Рщ ..., Рщ) д(ущ ..., ущ) вим последний столбец, умноженный на —, к=1, ..., >п — 1, дуо от чего, как известно, значение определителя не изменится.
Поэтому, использовав (41.18) и (41.19) и разложив получившийся определитель по элементам последней с~роки, получим 4ГЗ. Паяанме Функции, опредеаяелмг еисгехад уравнений 41 ц; с: (), точки уои и единственная система функций у,=(,(х) =1,(хь ..., х„), (41.20) у,=1 „(х)=),(хь ..., х„), определенных на множестве У и удовлетворяющих следующим условиям: если х~ У„, то (г, (х), ..., )',(х)) енУ,-. (41.21) и на У„функции (41.20) непрерывно дифймренцируемы и удявлетворяют системе уравнений (41.16): гР;(х„..., х„, ~,(х), ..., )',(х)) =О, 1=1, 2, ..., т — 1.
(41.22) Важно заметить, что в силу единственности решения (41.26) системы (41.16) при хе(l, у я У,- и у я И, система уравнений у~=)„(х), 1=1, 2, ..., т — 1, уж='р(х у) эквивалентна системе (41.17). Подставляя выражения (41.20) в (41.10) получим функцию от х, определенную на У„; обозначим ее через 1: у = <р (х„ ..., х„, )~ (х), ..., ) ,(х)) = ) (х„ ..., х„) = ~ (х). (41.24) Покажем, что система функций у,=1,(хм ..., х„), Й=1, 2, ..., т, (41.25) (см. (41.20) и (41.24)) и является искомой системой функций, удовлетворяющей требованиям, сформулированным в теореме.
В самом деле, пусть (),=(~„-хУь, тогда если х~ 0„, то в силу (41,21) и (41,11) Г(х)=ф(х), ..., Г,„(х)) е-=У„. Из (41.15), (41.22), (41.24) и (41.12) следует, что Р;(х, г(х)) =О, 1=1, 2, ..., гп, для всех х ~ У„. В силу теоремы 1' и предположения индукции функции (41.10) и (41.20), а поэтому и функция (41.24) непрерывно дифференцируемы. Таким образом, доказано, что отображение 1(х), задаваемое функциями (41.25), является непрерывно дифференцируемым решением системы уравнений (41.8) на множестве У„', причем если х е= У,, то у = / (х) ен ()„.
Отметим еще, что если х еэ У„, то система (41.25) эквивалентна сйстеме (41.23). Остается доказать единственность решения системы уравнений (41.8). Для доказательства изобразим проделанные в процессе доказательства переходы от одних систем уравнений к другим, Э цд ууеввные функции им эквивалентным, т. е. имеющим в точности те же решения, системам в виде схемы следующим образом: Р;(х, д)=0, 1=1, 2, ..., лг, ''О ' Р,(х, д)=-0, у=-1, 2, ..., т — 1, д„=цз(х, д). О Фу(х, у)=ру(х, д, <р(х, д)), у=1, 2, ..., и — 1, Фу (х, д) =-О, у = 1, 2, ..., т — 1, д =ср(х, д). 0' ду —— )'у(х), у =1, 2, ..., и — 1, д„= ~р (х, д). (х)— = гр(х, у»(х), ..., у»(х)) д;.= у; (х), У = 1, 2, ..., л».
Двойные стрелки обозначают эквивалентность рассматриваемых систем уравнений, которая имеет место во всяком случае для х ~ (У„, д ~ (Ув. Из этой эквивалентности и следует единственность решения (41,25) системы (41.8) в рассматриваемых окрестностях, откуда, как было отмечено выше, в силу условия ус;(х~«1, д~в~)=0, 1=1, 2, ..., лг, вытекает, что у(хнн) =д~в~., [ ) Доказанная теорема о неявных функциях является одной из основных теорем математического анализа и имеет много разнообразных приложений в различных его разделах. С некоторыми из них мы познакомимся в последующих частях нашего курса. Она является «чистой теоремой существования»: ни из ее формулировки, ни из приведенного ее доказательства не следует, вообще говоря, никакого конкретного л«етода для решения системы (41.8).
Например, если все Г„У» =1, 2, ..., т в указанной системе уравнений являются элементарными функциями, то, следуя схеме доказательства теоремы, вообще говоря, не удастся «найти в явном виде» все те функции, существование которых использовалось при проведении указанного доказательства, и получить решение системы так же в виде элементарных функций. И в действительности в этом случае решение системы уравнений (41.8), .которое существует в силу указанной теоремы, не является, вообще говоря, набором элементарных функций (даже если эта система состоит из одного уравнения). Конечно, если функции Р» элементарные и, следовательно, задаются некоторыми формулами, то решение системы (41.8) может быть найдено с любой степенью точности, т. е. принципиально с любой степенью точности можно составить таблицы значений этих решений.
Фактическая же точность, с которой вычисляются решения, определяется, конечно, конкретной целью, для которой решается рассматриваемая система. Сама теорема 2 в этом случае 4НЗ. Неявные функции, определяемые системой уравнений 43 дает объективную уверенность, что проводя правильно соответствующие вычисления, мы действительно вычисляем искомое решение системы. Мы не будем останавливаться на численных методах решения систем уравнений; лишь некоторые вопросы численного решения уравнений рассмотрены в «Добавлении» в конце этого тома. Существенным является также то обстоятельство, что теорема 2, как и вообще теоремы подобного типа, дает качественные методы в данном случае для изучения свойств решений системы уравнений. Интересно отметить, что частные производные решения системы (41.8) при выполнении условий теоремы 2 легко выражаются в явном виде через частные производные функций Р», й = 1, 2,..., и.
дус Действительно, чтобы найти частную производную —, надо продифференцировать равенства (41.8) по хь считая их тождествами по х„..., х„, т. е. подставив в них их решения ус=у,(х„..., х„), с=1, ..., и. Тогда получим др» агтс дР» дус дкс хм дус дя; — '+ У вЂ” — =О, 1=1, 2,...,и. с=! дут Эта система уравнений, линейных относительно —, в силу того, с что в рассматриваемой точке ее определитель не равен нулю: д(рм...,р) ) д(ус, „,,у )~ имеет, и притом единственное, решение, которое может быть найдено, например, по правилу Крамера "'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
