kudryavtsev2a (947416), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Определение 1. Функция ), определенная на открытом множестве б с:):(л, называется непрерывно продолжаемой на еео замыкание 6, если существует такая непрерывная на 6 функция г', что Р=! на б. Функция г называется непрерывным продолжением функции )! (на 6) и для простоты будет также обозначаться символом !'. гй р Зу. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перел. Очевидно в силу единственности предела функции, если у функции, определенной на б, существует непрерывное продолжение на б, то оно единственно.
Определение 2. Функция )' называется непрерывно ди44еренцируемой (соответственно т раз непрерывно да44еренцирремой) на б, если функция Г опр. делена на 6 и все ев частные производные первого порядка (соопшетственно частные производные до порядка т вклгочимгелвно) непрерывно продоткаемы с б на б. У яр аж пенн я. х.
Доказать, что если функция 1 определена на открытом множестве 6 г. кл и имеет на нем аепрерывио продолжаемчю на его д) замыкание 6 производную — —, и в некоторой точке границы множества 6 дх, ' д1 существует (односторонняя) частная производная —, то оиа совпадает с недх, ' крсрывиым продолжением з эту точку частной пронзводной —. д( дх,' 3. Локаззть, что для того, чтобы непрерывная функция, определенная на ограниченном открытом лп:омгестве 6 ~ кл, была непрерывно продолзкаезюй на его гамыканне, необходвко и достаточно, чтобы она была равномерно иенрсрыаисй на 6 Показать, что в случае неограниченного открытого множества ус. оеие равномерной нспре[зывностн продолжаемой функции, являясь достато ным для непрерывного продолжения, не является необходимым.
4 Построить пример непрерывной н ограниченной в области функции, которую нельзя непрерывно продолвгить на замыкание этой облгсти. Вернсмся теперь к формуле Тейлора. Пусть функция ) т раз непрерывно дифференцируема на замыкании б открытого ограниченного множества б. Тогда, согласно результатам п. 39.1, в каждой точке х вн 6 имеет место разложение (39.20) функции Т по формуле Тейлора, причем стремление к нулю е „(х, Лх) т "~л в формуле (39.21) и е(х, Лх) в формуле (39.22) при р-ьО равномерно на множестве б (см. определение в п.
20.2), т. е. для любого е-> 0 существует такое 6=6(е) ~0, что если (39.26) ~е „, (х, Лх)! в и 1е(х, Лх)/(в для всех точек хен 6. Это в данном случае непосредственно следует из метода получения функций е„, и е(Лх). Действительно, в силу ограниченности и замкнутости замыкания б открытого множества б непрерывные продолжения на б частных производных порядка т данной функции равномерно непрерывны на б, поэтому(см.
формулу (39.13) для случая п=2; в общем случае справедлива аналогичная формула) если выполнено условие (39.26), то (е~ ... (х, Лх)~(оз(6,, бр (39.27) дх '„,дх„" ЗЯ.3. Замечания ой оценке остаточного члена формулег Тейлора И Здесь правая часть (модуль непрерывности соответствующей производной) не зависит от тееиси множества б и стремится к нулю при 6 — «О. Поэтому из (39.27) следует равномерное стремление еч, „к нулю на б. Теперь можно оценить бесконечно малую е(Лх, Лу) в формуле (39.22).
Лля произвольного натурального и ее можно, ана. логично случаю и = 2 (см. (39. 16)), представить в виде е(х, Лх)= ~)' е „, (х, Лх) г ") '...( — '"") ". ~ч+"' ~л "' Отсюда имеем: !е(х, Лх)~~ ~ ~е„, (х, Лх)1. (39.28) м +... +е„=га В правой части неравенства (39.28) стоит некоторое фиксированное число слагаемым; обозначим аго через Лг. В силу уже доказанного равномерного в б стремлении к нулю функцию ем , „, (х, Лх) для любого заданного е)0 существует такое с" и 6=6(е)'- О, что если выполнено условие р(х, х+Лх)(6, то ~е „, (х, Лх) ~к..—, т -1-...-)-пг =т. Отсюда и нз неравенства (39.28) следует, что ~е(х, Лх) ~ (а.
( 1 Отметим еще одну оценку в целом остаточного члена формулы Теилора, получающуюся нз записи его в форме Лагранжа (39.19). Если функция Т определена' на открытом множестве 6 и имеет на б ограниченные частные производные порядка т, т. е. существует такая постоянная М)0, что то при выполнении условия р(х, х+Лх) Сб для всех х~6 справедливо неравенство 1г,(х„Лх) ) ~ —, Это сразу следует из формулы (39.19), если абсолютные величины каждого слагаемого ее правой части оценить с помощью неравенства (39.29) и очевидного неравенства , 'Лх; ! ~ 6. 16 Э г9. Чаьрмрлы Тейлора и ряд Тейлора для функций многия лерам. ЗвиЕ РАВНОМЕРНАЯ СХОДНМОСТЬ ПО ПАРАМЕТРУ СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ В предыдущем пункте мы встретились с понятием равномерной сходимости на данном множестве семейства функций, зависящих от некоторого параметра, когда этот параметр стремится к определенным значениям.
Такими функциями в нашем случае являлись е „.„(х, Лх) и г(х, Лх), где роль параметра играло Лх. В простейшем виде этот случай встречался еще раньше в п. 20.2. Сформулируем определение равномерной сходимости семейства функций в общем случае. Определение 3. Пусть Х с )т", )к с )т -, у<о) — предельная пачка мноихества 1' или одна из бесконечностей а~ со, -1-со, — со (последние две бесконечности имеет смысл рассматривать только при т= 1).
Л устои долее, функция ф(х) определена для всех х н= Х, а Т (х, у) — для всех х е:- Х и у я У. Функция Т'(х, у) называется равномерно стремящейся на множестве Х к функции ф(х) при у-ьу'а' и пи«иепюя 1(х, У)-х ф(х), У вЂ” У~«1 если для любого и'- 0 существует такая проколотая окрестность с)(у'а~) пючки у"~, что для всех х ~ Х и всех у ~ 1'Д 1)(у~"), выполняется неравенство 1 Т' (х, у) — ф (х) ( ( в. (39.30) Переменная у часто называется в впюм случае параметром, а функция 1(х, у), у = )к, — «семейством функций от х» (в том смысле, что вта фу кция при различных фиксированных унн У задает функции переменной х). Подобно случаю равномерной сходимости последовательности функций (см. п. 36.1) условие равномерной сходимости функций по параметру можно сформулировать, используя понятие предела, следующим образом.
Функция Т'(х, у) равномерно стремгипся на мнозкестве Х к функции ф(х) при у- у"~ тогда и только тогда, когда 1пп зпр ~Т" (х, у) — ф(х) ~=0. у у'кмх Таким образом условие Т(х, у) =„-ф(х), у — у~о~, равносильно стремлению к нулю при у- у' функции р(у) ="- зцр ~~(х, у)— кжх — ф(х) ~. Доказательство этого утверждения совсем не сложно и *' Бесконечности оо, +со, -со буден длн нростоты называть в дальн«З- шем также точками («бесконечно удаленными»). ЗУЛ Равномерная сходимость по параметру семейства функций 17 а1щлогично случаю равномерной сходимости последовательности функций. Его проведение предоставляется читателю. Справедлив в рассматриваемом случае и аналог критерия Коши равномерной сходнмостн последовательностей.
Теорема 4 (критерий Коши). Для того чтпобы утункция )'(х, у) при у- у"1 равномерно стремилась на множестве Х к некоторой трункции, необходимо и достаточно, чтобы для любого е ) 0 напелась такая проколотая окрестность ()(у'е1) точки у)е), чтобы для любых у., () (у,а1) П У и у ~ ()(у,е.)() „. и любого х еп Х выполняюсь неравенство !) (х, у") — ) (х, у') ! ( е. (39.32) Действительно, необходимость условия (39.32), как всегда в подобных ситуациях, легко следует из условия (39.30).
Для доказательства же достаточности следует показать, что нз усло- вия (39.32) вытекает, что для любого фиксированного х еп Х су- ществует ипт )(х, у) и что стремление функции )(х, д) к этому а а <а~ пределу при у- д1е' происходит равномерно. Все это также рекомендуется проделать читателю самостоя- тельно.
Упражнение 5. Доказаны для того чтобы функции )(х, у), хщХ, у ~э Х равномерно на множестве Х стремилась при у- у'' к функции ~р(х), х сп Х, необходимо и достаточно, чтобы дли любой последовательности уаа св )', у'"' ~у'а®, а=1, 2, ..., стремящейся к у'е', последовательность ! (х, у'"'), п=1,'2, ..., равномерно на множестве Х сходилась к функции <р(х).
Примеры. 1. Рассмотрим семейство функций 1(х, у)=г-ха, где 0 «сх(1, 0-=у(+оо. Очевидно ~ О, если х)0„ 1пп 1(х, у) = + ' 1 1, если х=-0 (таким образом переменная у, если использовать указанную выше терминологию, является параметром), Обозначим предельную функ- цшо через ф(х), ( О, если х)0, ф(х)=~ (39.33) ~ 1, если х = О. Докажем, что стремление функции Р (х, у) к ~р (х) при у — «+ со про- исходит неравномерно.
Для этого достаточно показать, что су- ществует такое е,) О, что какую бы окрестность с)(+ со) ни взять, найдутся такие х ен 10, 1] и у ен У (+ со), что будет вы- полнено неравенство )г- т — ф (х)! ~ еа. Возьмем е, таким, что 0<ее<1, и произвольную окрестность (т'(+ оо). Тогда, какое бы уен()(*оо) ни взять, для него!ипг-™=-1, и поэтому найк- о 18 у 89. Формулы Тейлора и рпд Тейлора длпфункс>ийл~ногикперелс дется такое хан(0, Ц, что ! е-"" — ср (х) ! = ! е-к — О! ) о,. Таким образом, в данном случае условия критерия Коши (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
