kudryavtsev2a (947416), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Обратим внимание на то, что при т= 1 смешанные производные отсутствуют; для возможности же один раз дифференцировать функцию (39.3) по правилу сложной функции, а следовательно, и для справедливости теоремы 1 достаточно более слабого предположения о рассматриваемой функции Именно, вместо предположения о непрерывной дифференцируемости в вышеуказанной б-окрестностн точки (х„, уз) функции 1 достаточно ее дифференцируемости в этой окрестности (см. определения 2 и 4 в п. 20.2). Непрерывность частных производных порядка т (в точке (х„уз)) использована также при доказательстве следствия теоремы 1: она нужна для того, чтобы функции е;(Лх, Лу), определенные формулами (39.13), стремились к нулю при р — э.О.
Подчеркнем еще, что при сделанных предположениях в формуле (39.9) доказано, что гм(Лх, Лу) =о(рм) при р-«-0 не в смысле предела по любому фиксированному направлению, как может показаться на первый взгляд из приведенного доказательства, а в более сильном смысле — в смысле предела в точке (х„уз) (почему?). Формулу (39.1) можно несколько обобщить, если не стремнтьсн к тому, чтобы оиа была справедливой для всех точек (х,+Лх„ уз+ Лд) б-окрестности точки (х„уе), а рассматривать эту форлгулу лишь при фиксированных Лх и Л(с Именно, если фувкция 1 определена и имеет непрегывиые частные производные порядка т на открьпом множестве, содержащем отрезок с концами (х„уз) и (х,+Лх„у,+Лу), то формула (39.1) также остается справедливой вместе с ее доказательством. Из этого следует, что если функция 1 определена в выпуклой области 6 (см.
п. 18.2) и имеет в 6 непрерывные частные производные порядка т, то для любых двух точек (хз, уз) ~ С и (хе+ Лх, уз+ Лу) а 6 справедлива формула Тейлора (39.1). У и р а ж н е н и е 1. Пусть фуннция 1" (х, у) непрерывна вместе со свеями частными провзводными до парадна гп внлючительно в неноторой окрестности точии (х„, у,). Доназаттч что се многгмхен Тейлпри порядка и«, т. е. много шеи 1 Г д д1Ы1 Р(» У) = 7 Г[(х — хз)д +(У У«) ~ )(х«у«) л=з является многочленом наилучшего приближения фуинции 1(х, у) «в бесконечно малой онРестпостн точки (хз, У«)м Это означает следУюшее: яанов бы ни был мнсгочлен Я(х, и), степени ие большея и (т.
е в на«ядом его члене сумма по«ага«елей степенеч у переменных х и у должна не прейыпйать числа и«) такой, что 1(х, у)=Я(х, у)+о(р"), и ш, при р О, !О З Зу. грорл!улы Тейлора и ряд Тейлорадля(оунхпнймногихоерее. где Р=)' (х — хе)'-'Ч-(У вЂ” Уа)з, он соипадаот с указанным ыногочленоч Тейлора Р (х, у) функции ) (х, у). Все сказанное перепоснтсч и на случай функций любого числа переменных. Теорема 1'. Если функция и переменных у=)(х,, ..., х„) определена и непрерывна вместе со всеми своими наса!ными производными до порядка т, т 1, вклгочительно в некоторой б-окрестности точки х!'! =-(х<!о>, ..., х!"!), то справедлива формула Лу=("(хГ'+Лхы ..., х„"'+Лх„) — Т(х!", ..., х„'"')=- юп — ! — Лх, — -+... + Лх„— ) ) (х')+ г ! (Лх), ь=! (39.18) где г„, (Лх) = = „'-,~Л,,—,'+...+Л „,— ,'1")(~;+ЕЛ „„., Е+ЕЛ~л), х! ' дхл! 0~0«-'1, Лх=(Лх„..., Лх„), (39.19) а также формула Лу= ~ —;(Лх! —,+...+Лх„— 1 )(х(о!)+г (Лх), (39.20) х! хи/ л=! .
г (Лх) = " , 'е,„,„(Лх) Лх,, Лх е (39.21) ге!+... + ил — -- «! я где 1ии е,„,...,, (Лх)=0, р=- фГ ~Ч', Лх,', либо р-о ! — — ! (39.22) г (Лх) = е (Лх) р'", 1'ип е (Лх) =- О, р о г„(Лх) = о (р™), р-з-О. Наконец, через дифференциалы формулу (39.20) можно записал!ь в виде ЛУ 'м:.! г(а! (х(о))+г (Лх) ь=! (39.ло) где г (Лх) можно записать в каждом из следуюицих видов: либо 89.2 Форналн конечных нрнращенна Раскроем теперь скобки в формулах (39.18) и (39.19), воспользовавшись алгебраической формулой не и н„ ь, а, а,*... а,". <=-! / нке" +не=а Для того чтобы короче записать результат, введем новые обозначения.
Положим й=(й„..., й„), ; 'й, :=й,+...+й„, й< =й,<...й„!, )<М = ', (х — х")" —.— (х< — х<") ... (х„— хы) и, дх<'дх~е...дх„" й= (йм ..., йн) — называется мультаиндекаам.. В этих обозначениях формула Тейлора (39.18) с остаточным членом в виде (39.19) перепишется в виде ~(х) = у р"'""' (х — х<м)н+ у '""'"'+ "х х"'"(х — х<м)».
х й! М < н < <с т <и =т Здесь как всегда, х= — (х„..., х„), хкч =(х',", ..., ха') и х<'> + 9 (х — х<м) = — (х<ы + 9 (х, — х7н), ..., хы + 0 (х„— х'„"')). В этом виде формула Тейлора для функций любого числа переменных выглядит так же, как и для функций одной переменной. Иногда, особенно в случае функций многих переменных, для производных употребляется обозначение <, ее< д ' н дх ~...дх" < '" н где н=(йп ..., й„) — мультииндекс. Если пользоваться этой символикой, то формула Тейлора примет внд 1(;) = 5' ' тзнр( <о<)(х х<м)н 1 <и ~<л + ~1< --0н((х<'>+О (х — х<")) (х — х<о<)н, О <'9 (1. < и <=-ла 39.2.
ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Частный случай формулы Тейлора (39.18), в котором т= 1, обычно называется формулой конечных приращений Лагранжа для функций многих переменных. В силу сделанных в предыдущем пункте замечаний к теореме 1 о предположениях, при которых справедливы формулы (39.1) и (39.18), из теоремы 1' получаем следующее утверждение. (З у З9. формулы Тейлора и ряд Тейлора дляфункпггймногихаерем.
или, короче, л Пх+Лх) — у(х) =- '~ д(('д+О )Л,г, г г= 1 где х=(х„..., х,), х+Лх=(хм +ахи ..., х„+Ах„) и Х+В Тля=(Хя+О ЛХМ ..., Хл+О Лкл). (39.24) Формула (39.24), как указывалось, и называется формулой конечных приращений Лагранзга. Эта Формула, так же как'и вообще формула Тейлора, находит многочисленные и разнообразные применения в различных вопросах математического анализа. Обратим внимание на то, что теорема 2 не является частным случаем теоремы 1, поскольку в ней требуется не непрерывная дифференцируемость рассматриваемой функции в каждой точке множества 6, а лишь се дифференцируемость. Однако доказательство теоремы 2 фактически содержится в доказательстве теоремы 1. Действительно, как это отмечалось в замечаниях к доказательству теоремы 1 и ее следствию (см.
п, 39.1), прп т=1 приведенное выше доказательство теоремы 1 сохраняет силу и прн предположениях теоремы 2, т. е. при предположении лишь дифференцируемости (а не непрерывной дифференцируемости) функции Т. В качестве примера применения формулы (39.24) докажем следующее утверждение. Теорема 3. Если функция диффгренцируема в каждой точке выпуклой области б и игяеет в б ограниченные частные производные, то она равно,игрно непрерывна в втой области.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если !.',— — ~ ( с, ( = 1, 2, ..., и, х'гн б д) (я) (с — постоянная), то для любых двух точек х'=(х'„..., х„') их'= = (х,, ..., х„") из (39.24) следует, что л (Т(х) — 1(х) = ~ ~ — ~)хг — хг~~спР(х, х") 1=1 Теорема 2. Если функция ( (хм ..., хл) диффергнцируена в каждой тонге некоторой выпуклой областли бс-йл, то для каждой пары точек (х,, ..., хл) и (х,+Ах„...; х„+Лх,) из 6 суи(.сигарет тако В, О~В(1, что )(х,+Лхм ..., х„+Тзх,) — ~(хм ..., х„) = л д1(х,+Вахи ..., хл-1-Ваял) =Х дхз г=1 ВУ.З.
Замечания об оценке остаточного члена формуле~ Тейлора 13 (здесь $ — некоторая точка отрезка с концами в точках х' и х"). Поэтому, если задано в ) О, достаточно взять б = --, чтобы для сн' любых точек х' ен б и х" ~ б таких, что р(х', х")(б, выполнялось неравенство !1(х") — 1(х') ! е, (39.25) а это и означает равномерную непрерывность функции 1 в области 6. Ззск ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОЦЕНКЕ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА ФОРМУЛЫ ТЕИЛОРА ВО ВСЕИ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕ"! ЕНИЯ ФУНКЦИИ Остаточный член в формуле Тейлора, очевидно, зависит не только от приращений аргументов, по и от самой точки, в окрестности которой рассматривается разложение функции и которую мы в и.
39.1 считали фиксированной. Теперь нас будут интересовать поведение и оценка остаточного члена в зависимости от изменения указанной точки. Чтобы подчеркнуть эту зависимость, мы в этом пункте будем остаточный член порядка т обозначать г (х, Лх), где х = (х„ ..., х„) — точка, в окрестности которой раскладывается данная функция по формуле Тейлора. Как н раньше, Лх=(Лх„, ..., Лх„).
В формулах (39.21) и (39.22) будем вместо е„,, (Лх) и е(Лх) соответственно писать е,„, (х, Лх) и е(х, Лх). В дальнейшем нам потребуется оценка остаточного члена формулы Тейлора в форме У Пеано сразу для всей области существования разложения по указанной фор- — — — — -н) муле. Введем сначала понятие непрерыв- ! ности частных производных в замыка- й нии открытого множества.
Это требует ! специального определения, так как в ! граничной точке открытого множества 6 ! даже в случае, когда функция определена на замыкании 6 множества 6, поня- 4' тие частной производной, вообще говоря, Рнс. 144 не определено (см., например, точку М границы области б на рис. 144).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
