kudryavtsev2a (947416), страница 4
Текст из файла (страница 4)
теорему 4) не выполняются. Однако, при любом а, 0(а«-1, семействофункций !'(х, у)= =е у при у-е.+со равномерно стремится к нулю на отрезке (а, Ц. Проверим в этом случае выполнение условий критерия Коши (см. теорему 4). Для любого е) 0 существует число >1,)0, такое, что е ес а (достаточно взять любое г1) —; поэтому — аи ! 1!и и1'! а для всех у~ е)о и всех х е= 1а, Ц будем иметь )е-ку — 0(=у-ку(е " -в.
Конечно, исследование равномерной сходимостн рассматриваемого семейства функций можно выполнить и применив критерий (39.31). Действительно, использовав формулу (39.33), получим аир ! е-ку — <р (х) ! == зир е-ку = 1, о~к<> о<к~> поэтому условие (39.31) заведомо не выполняется. Если >ке 0( (а(1, то !пп зир !е-ку — ер(х) != !1гп звр у-ку= 11гп е- у=О. у + со а~к~1 у +со а<кап у +са Таким образом, е "" -Ф ср(х), е "" " ер(х), у — ы+сс, 0(а(1. 1о, О ' 1а.а1 2. В случае, когда г' является множеством натуральных чисел У=(1, 2, 3, ...), а ум>=+ се>, приведенное определение равномерной сходимости по параметру превращается в определение равномерной сходимости последовательности функций )„(х) = =Т(х, и), и=1, 2, ..., на множестве Х.
3. Пусть функция т(х, у) непрерывна на прямоугольнике кг= = ((х, у): — со(а~х~(>(+со, — сс(с«=у -г(с +си>) и пусть у, ен (с, д!. Обозначим через о>(6, Т) модуль непрерывности функции в прямоугольнике Я; тогда !Т(х, у) — )(х, уо)(=-о>((у — уо11 '~), (х, у)с=1,"с (39.34) Правая часть этого неравенства ие зависит от х и в силу равномерной непрерывности функции Т на прямоугольнике 1!шо>(6; Т) =О. Поэтому из неравенства (39.34) следует, что при о-о У-+.Уо фУнкциЯ Т(х, У) РавномеРно на отРезке 1а, Ь! стРемитсЯ к функции р(х, у,).
рй 40.Е Нвобходимыв условия эьстремумо У п р аж и ение 6. Доказать, что если семейство функций )(х, у), хси яХ с )<«< у я )" е Р™ таково, что функции т(х, у) при любом фиксированном у еа )< непрерывны по х па множестве Х и равномерно на этом множестве стремятся к <р(х) прн у- у"', то <р(х) така<с непрерывна на мноя<е. стае Л.
39.5. ЗАМЕЧАНИЯ О РЯДАХ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Если функция )" (х) определена и бесконечно много раз дифференцируема в некоторой б-окрестности точки х"! = (х',"', ..., х,",в)е:— е= <г", то для этой функции формула Тейлора (39.20) будет, очевидно, справедливой при любом натуральном и = 1, 2, ... и л '5', Лх;"(ба. Если пря этом ряд <-= 1 л=! будет сходиться к Лу=((х) — ((х<е!) (см.
п, 38.2), то получится формула ЛУ вЂ” )(х) — ~(х! ) — т' --<(Лх! --+...+Лхэд ) )'(х ), а=! где х=(х„..., х„) и х; — х,"'=Лх<, <=1, 2, ..., л. Отсюда, перенося ) (х<о!) в правую часть, получим разложение функции в степенной ряд, называемый рядом Тейлора функции ): )'(!) ) ~(х! х! ) ' + +(хи х» )д 1 <т(х< ) а=о или, что то же 1 (х) = 2' 1 Па1 (х<о)) (х — х(о))в, !а!=о где й=(й„..., й„) — мультииндекс. Уп р аж пение 7.
Разложить в ряд Тейлора функцию 1(х, у) =ее+в. $40. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ййсЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА Изучаемые в настоящем и некоторых следующих параграфах вопросы носят аналитический характер, и их доказательства не усложняются при увеличении числа переменных. Поэтому мы Э ео: Экстремумы функций многих переменных проведем их рассмотрение сразу в общем и-мерном случае, указывая при необходимости их специфические особенности для случаев п=2 и и= 3. Определение 1. Пусть функция 1(х) определена на мноясестве Е с )си.
Точка х<'1 е= Е называется пичкай строгого мангал<уз<а, соответственно строгого минимума, если существует такая окрестность 0(х<е<) точки х<'>, что для всех хе:-0(х<е<) ПЕ, х4=х<е>, выполняется неравенство 1' (х) (7 (х'е<) соответственно неравенство 1 (х) ~ Р (к<О)). Е Рас. 146 Рис. 14о Таким образом, точка строгого максимума (соответственно строгого минимума) характеризуется тем, что Ь) =1(х) — 1(х<е'! (О (соответственно Л~) О) при всех х е— = У(х<е<) () Е, х пах<о< (рис. 145). Если же для точки х'е1 существует такая окрестность 0 (х<"), что при всех х~0(х<ю)ДЕ выполняется условие 1(х)=1(хю) (соотвгтственно 1(х) )~(х<е')), то х«ч называется прог<по точкой макси.иул<а (соответственно минимума).
Определение 2. Точки (строгого) максимума и минимума функции называются точками (строгого) экстрел<ума. Теорема 1. Пусть функция Е(х), х=(х„х„..., х„) определена в некоторой окрестности точки х<е'1 если она жгяется точкой экстремума функции ) (х) и если в ней существует какая-либо из производных -.- (1' люэхет принимать одно из значений 1, 2, ..., и), д) дхл дг(хн ) она равна нулю, ' = О.
Следствие. Если функция ) (х) дифференцируема в точке экстремума х"1, то ее дифференциал равен нулю в этой точке, й((х<ю) = О. Доказательство (теоремы и следствия). Пусть для определенности 1=1. Если х"'=(х', ..., х,'") является точкой экстремума для функции 1(х)=) (х„..., х„), то х<" является точкой экстремума для функции Е(х„хе", ..., х'„") одной переменной х, (рис.
146), а поэтому если в этой точке существует производная 40.2. достаточныс условия строгого экстремума —, то по теореме Ферма (см. и. 11.1) она равна нулю, т. е. д! дх,' ах~а~) д)(х„хг"', ..., х'„") ~ дх! дхт 1х =-х~> !— Аналогцчно обстоит дело в случае любой переменной х7(/= =2, ..., и). Рис. 146 Рис. 147 Если функция 7(х) дифференцируема в точке экстремума х!о1, д) то в этой точке существуют все производные —, !'= 1, 2, ..., и, дх и, согласно доказанному, все они равны нулю, поэтому и л 4(хсс!)= ~ '„'т(хт=-О. Д т=! П р и м е р ы.
1. Найдем точки экстремума функции г =х'+ух. Точки экстремума в силу доказаннсго находятся среди тех, для которых с(г=О. Так как с(г=2хс1х+2ус(у, то условие т(г=О выполняется в единственной точке (О, 0). В этой точке г=О, во всех же других точках г = хи+у') О. Поэтому (О, 0) является точкой строгого минимума для функции г=х'+ух (рис. 147).
2. Исследуем точки экстремума функции г = хи — у'. Поступая анало~ично предыдущему случаю, находим, что условие г(г=О снова выполняется в точке (О, 0) и в этой точке г=О. Однако здесь при у=О и любых х~О имеем г)0, а при х=О и любом у~=О имеем г О. Поэтому точка (О, 0) не является точкой экстремума, н, значит, функция г =- лл — у' вообще не имеет экстремальных точек (рнс. 148).
40,2. ДОСТАТОЧНЬЖ УСЛОВИЯ СТРОГОГО ЭКСТРЕМУМА Напомним несколько определений из курса алгебры. Определение 3. Квадратичная форма А(х)=-А(хт, ..., х„) = о — аухтхп ан = ау, !'„1= 1, 2„..., и, называетсЯ положи- !,з= — ! З 49. Зксггниуиы функций многих переменных тельно (соответственно отрицательно) определенной, ес,ги Л (х) 0 (соответственно А (х) (0) для любой точки х ~)(", х~= О, Квадратичная форма, являющаяся положительно или отрица- тельно определенной, называется также просто осгределеиной (или зн коопределенной) квадратичной формой.
Определение 4. Квадратичная форма, принимающая как поло- жительные, спок и отрицательные значения, называется неосгреде- ленной. Лемма 1. Пусть Я вЂ” единичная афера в )ггкг 3=(хг хг+...+х'„'=1',, и пугсть А (х) — определенная квадратичная форма; тогда ий ~ А (х) (= 1х ) О. к е=. 5 Д о к а з а тель ство. Функция А (х) является многочленом второй степени по переменным х„..., х„, поэтому Л(х), а, следовательно, и ! А (х) ( непрерывны во всем пространстве Р'. Отсюда вытекает, что функция ~ А(х) ~ непрерывна на компакте Я.
Согласно теореме Вейерштрасса, функция ~ ~А (х) ~ достигает на Я своей нижней грани, т. е. существует такая точка хг'г ец5, что р г — ' —" (п( ~ А (х) ~ = ~ А (х"') ~. хаз По определению знзкоопределенной квадратичной формы )А(х) ~)0 для всех точек х пи 5, значит, в частности, р = = ! А (хг'г) ) ) О. П Определение б. Пусть функция 1 дифференцируема в точке хг'г е= Яп. Если йс" (хг'г) =-О, то хг'г называется стационарной точкой функции 1. Очевидно, что точка хг'г, в которой функция 1' дифференцируема, является стационарной в том и только в том случае, если й)(х(0~) — = О, г = 1, 2, ..., и.
(40,1) йхс Согласно следствию из теоремы 1, точка экстремума, в которой функция 1" дифференцируема, является стационарной; обратное, конечно, вообще говоря, неверно: не всякая стационарная точка, в которой функция дифференцируема, является точкой экстремума (см. пример 2 в конце и. 40.1). Теорема 2 (достаточные условия строгого экстремума). Пуспгь функция с' определена и имеет непрерывные производньи впгорого порядка в некпторой окрестности точки х"'. Пусть хггп является стационарной точкой функции Сгг тогда если квадратичная форма л Л (йхг ' ' " ' йхн~ = ~~~~~ Ох дх дхс йхт, (40.2) с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
