kudryavtsev1a (947413), страница 39
Текст из файла (страница 39)
При доказательстве теоремы было сказано, что е(Лу) можно доопределить произвольно при Лу= О. Однако если, например, взять е(0)=1, то на первый взгляд формула (9.21) не получится, и не только иному, что в этом случае нельзя применить правило замены переменного для предела непрерывной функции, но и потому, что если е(0)=1 и если существуют такие ЛхчьО, для которых Лу=О, то равенство (9.25) будет неверным. Это, однако, не влияет на окончательный результат.
Действительно, если для сколь угодно малых Ля~О существует ~у= О, то отсюда легко следует, что ~'(ха) = 1ип Д =0 ак оок и, следовательно, второе слагаемое в правой части равенства (9.23) все равно стремится к нулю при Лх- 0 (более того, в этом случае, как легко видеть, все члены равенства (9.23) стремятся к нулю). Можно было воспользоваться также и тем, что из формулы (9.2) следует, что а(О) =-О. На примере доказательства теоремы 4 хорошо видно, как удачно выбранная вспомогательная конструкция (в данном случае просто доопределенис в нуле функции в(Лу) нулем, позволившее использовать правило замены переменного для пределов непрерывных функций), может существенно упростить доказательство.
Замечание 2. Формула (9.21) для производной сложной функции остается справедливой и в случае, когда под производными понимаются соответствующие односторонние производные, если только предварительно потребовать, чтобы сложная функция, необходимая для определения рассматриваемой односторонней (или двусторонней) производной, стоящей в левой части формулы (9.21), имела смысл, Следствие (инварнантнссть формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной): дз = Г (йо) е(у= Ф (яо) е(х (9.26) В этой формуле е(у=)'(л) е(х является дифференциалом функции, а е(х — дифференциалом независимой переменной. Таким образом, дифференциал функции имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на «дифференциал этой переменной» вЂ” независимо от того, является эта переменная в свою очередь функцией или независимой переменной. 3 9.
77раиввадная и дифференциал 778 Докажем это. Согласно формуле (9.6), с(г = Ф' (х,) с(х, отсюда, применив формулу (9.21) для производной сложной функции. полУчим с(г=Р'(Уе)7'(хе)с(х, но 7'(хе)с(х=с(У, а поэтомУ с(г= = Р' (ре) Йр, что и требовалось доказать. Формулу (9.26) можно интерпретировать и несколько иначе, если вспомнить, что дифференциалом функции в точке является функция, линейная относительно дифференциала независимой переменной. Согласно (9.21) дифференциал функции Ф(х)=Г17(х)1 имеет вид с(Ф =Г' (уе)7'(х„) дх, т. е.
является результатом подстановки линейной функции с(у =)' (х,) с(х, посредством которой задан дифференциал ф (где д = ( (х)), в линейную функцию с(г = Г (уе) с(у, задающую дифференциал сК (где г=с (у)). Иначе говоря, дифференциал композиции Ф = Р.7" является композицией дифференциалов с(Р и с(7": с((Р 7) =с(Е с(7. Отметим, что теорема 4 по индукции распространяется на суперпозицию любого конечного числа функций. Например, для сложной функции вида г(р(х(1))) в случае дифференцируемости функций г(у), у(х) и х(с) в соответствующих точках имеет место формула де дг ди дх Щ =тдх а. Если приходится иметь дело со сложной функпией г=г(у), у=у(х), то для обозначения ее производной г употребляется также нижний индекс х или у, указывающий, по какой нз переменных берется производная, т.
е. пишут г„' или г„'. Часто для простоты штрих опускается, т. е. вместо г„' пишется просто гх. В этих обозначениях формула (9.21) имеет вид г„ = геу„. П р и м е р ы. 1. Пусть у = х, х ) О, найдем — „. Имеем х"=е", ди сс где и=а1пх. Замечая, что — „— = — „, получаем — — еи, . еи!и к ссхи-1 дхи Ие" деи ди сс а де дх ди дх х х Таким образом, (х )' =ссх"-1.
Так, если у=ха, то р'=2х1 если у=1/х=х ' то у'=( — 1)х-1= — 1!ха; 1 1 если у=~Гх =хсзр', то у'= — х — сег ==. 2 217х У.7. !|роияводная и дифференуиол сложной функции 179 Если функция у=х" определена при х=О или при х(О, то при этих значениях х она также имеет производную у' =аха-' Например, при а=1, т. е. для функции у=х в точке х=О, как и во всех других точках у'=1. 2. Пусть у=|!'(х) ~, где функция 7(х) дифференцируема на некотором интервале (а, Ь). Полагая и=)(х), получаем у=)и!, и=7(х). Пользуясь формулой из примера 1, п. 9.2, находим у' =(~ и |)' и'=7"'(х) з!дп~(х). Эта формула справедлива для всех хе=(и, Ь), для которых 7(х)ч-':0; она позволяет найти односторонние производные в тех точках, где 7(х) =О. 3. Найдем производную функции 1 ! х — а 2 В силу сказанного в примере 2 х — а 5|Дав 1 х+а /х — а1' 1 х+а х+а — (х — а) 1 2а ~ х — а ~ (х+а/ 2а х — а (х+а)е хл — ал х+а 3.
Найдем производную функции у=!п,'х+)/ха+А |. Аналогично предыдущему получим яяп (х+)' х'+ А) ( ! ~,'ха я+ л) ! х+1' хе+ А! (!+ ' Л= х+)'хо+А ( 1Гх'+ А! )гх'+А 4, Пусть у=)п'агсяп-, х) 1. Найдем производную и диффе! ренциал этой функции: 1|' у'=(!паагсяп — ) =2 !пагсз|п — |1пагсз!и--) = х х ( х 1 1 1 ~ .
1~ |и агспп— х = 2 !п агсяп— ! агсз!п — ) = 2 х 1г ху агсв|п— агса|п х х 2 |и агсз!и -— 1 х — ! ! х ' Г хл — 1 агсв!гг— х Отсюда дифференциал находится непосредствннно по формуле г(у =у'г(х; однако, если бы мы еще не имели готового выражения для производной, т. е. дифференциал можно было бы найти у 9. Проызеодная и дифференциал ив г( ~! иа агсз1 п — ) = 2 !п агсв! п 1! х) — д !п агсз!п — ) = 1 ( . !г х х) 1 1 / . 11 — г(~агсз(и --) = х . ! '! х) агсып— х = 21п агсз!и ! 21п агсип— х 1 д(-1-) = 1/ 1 — — — ! х! 1'х' — ! агса!и— ха х 1 агса!ив х 5.
Выведем с помощью теоремы 4 еще одну часто применяемую формулу. Пусть у=й, где и=и(х) и О, о=о(х). Представим нашу функцию в виде у — е"'"" н вычислим — "-: вх — =е' '" — (о1пи) =и'( — 1пи+ — — ) = г гГо о г!и! Вх вх вх ~, гГх и пх) во вп =и" — !ии+ои -' —.
Их вх (9.27) Таким образом, производная функции и' равна сумме двух слагаемых, нз которых первое совпадает с производной и' в предположении, что и — постоянная, а второе — с производной и" в предположении, что о — постоянная. С помощью правила дифференцирования сложной функции можно находить и производные функций, заданных неявно. 6. Пусть дифференцируемая функция у=у(х) задана неявно уравнением Р(х, у)=0 (см. п. 4.2). (Вопрос о том, как установить что данное уравнение на самом деле определяет некоторую функцию и будет ли она дифференцируемой мы пока оставляем в стороне; он будет изучен в дальнейшем.) Дифференцируя тождество Е(х, у(х))=0 как сложную функцию, можно вычислить производную - — .
вр гГх ' В качестве примера вычислим производную неявной функции у(х), определенной уравнением х'+у' =а'. В данном конкретном случае существование подобной функции не вызывает сомнения, так как ею, например, является у=)Гаа — х', а также у = = — 3/аа — х'. Продифференцируем уравнение х'+у' = а', считая у функцией от х.
Получим 2х+2уу'=0; отсюда д'= — -" —. о С подобными задачами приходится сталкиваться в геометрии. Пусть, например, требуется найти касательную к окружности и непосредственно, используя его инвариантность относительно выбора переменных: у.7. //уоивводная и дифференциал сложной функуии /8/ х'+д'=25 в точке (3; 4).
Угловой коэффициент й касательной равен производной: й=д', и, значит, в нашем случае й= — —. 3. Для рассматриваемой точки й=- — 4'1 поэтому уравнение искомой 3 !к — 3) касательной можно записать в виде д — 4= — ', т. е. Зх+ 4 + 4д — 25 =0. Применим метод дифференцирования неявных функций к выводу формул, полученных ранее другим путем. 7. Рассмотрим снова функцию д = и . Логарифмируя, получаем ее неявное задание 1пд=-о1пи. Дифференцируя обе части этого уравнения будем иметь д'/д=о'1пи+ — "и' (выражение (1пд)'= =д'/д называется логарифмической про вводной функции д(х)), или д' =д(о'!п и+ — и'~; подставляя сюда у=и, приходим снова у / к формуле (9.27). Другой пример.
Функция д=агсз!пх неявно задается уравнением х=з1пд. Дифференцируя обе части по х, получаем 1= 1 1 1 =д'созд, откуда д' — — —, т. е. то же, сову 1 ! — ма'у !'1 — хв что н в п. 9.6. 8. В случае, когда функция задана не одной формулой, а несколькими, вычисление производной приходится иногда производить непосредственно, исходя из определения производной. Найдем, например, производную функции х' з)п — при х ~ О, 1(х) = х 0 при х=-О. При х ~ 0 производная существует и вычисляется по формулам ! ! дифференцирования: /' (х) =-2х в!и — — соз —. В точке же х = 0 к к производная находится непосредственно по ее определению /'(О) =!!гп =1ппха(п — =-О.
/рй — ПО) . 1 к о к *-о Таким образом, функция ) (х) дифференцнруема на всей вещественной оси. Замечание. Используя теорему 4, можно все полученные нами формулы для производных основных элементарных функций записать в несколько более общем виде: если с/=и(х)-дифферен- В У. Производная и дифференциал !а2 (сок и)' = — и' к1п и; ((я и)' =— созе и (с1я и)' = —— мпз и (ии)' = аии-'и' (и ) О) (аи) ' = аии' 1и а Из перечисленных формул видно (прн и=х), что производные основных элементарных функций являются элементарными функциями. Полученные же нами в совокупности формулы дают возможность вычислить производную и дифференциал любой элементарной функции в случае, если эта производная существует.
Следует иметь в виду, однако, что не всякая элементарная функция имеет производные во всех точках своей области определения. Примером элементарной днфференцируемой не во всех точках функции является функция ~х~ =3~ х', она, как мы знаем, не имеет производной в точке х=О (см, п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
