kudryavtsev1a (947413), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Функция 1(х)=~х~, хан[ — 1; Ц удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2 (рпс. 44). Нанонец, функция 1(х) =х, х ~ [0; Ц удовлетворяет условиям 1 и 2, но не удовлетворяет условию 3 (см. рис. 41). Для всех этих функций не существует точки, в которой их производная обращалась бы в ноль. " М. Р о л л ь (1652 — 1719) — французский математик. П.2. Теоремы Ролла, Лагранжа и Коши о средних значенихх 49о Обратим внимание на то, что по условиям теоремы Ролля отрезок ?а, 61 может содержать точки, в которых функция имеет бесконечную производную, т.
е. в которых либо 1?щ — =+ со, ад Ьк Оак ад либо !пп — = — со. Это требование нельзя ослабить, заменив его ,к„о ах= условием 1пп — ~ = со. ?1апримар, для функции Т (х) = )/ ~ х~, Ьк О~х Рис. 42 Рис. 43 — 1.= х ( 1, не существует точки $ еи ? — 1, +11, в которой производная этой функции обращалась бы в ноль. Вместе с тем функция т" (х) = )Г~х~ удовлетворяет всем условиям теоремы Ралли на отрезке 1 — 1, 11, за исключением того, что в точке х=О эта функция не имеет ни конечной, ни бесконечной производной.
В самом деле, 1)гп — =со, причем ,Ху ' Ь, О ах= этот предел не является бесконечностью определенного знака. Этот пример показывает целесообразность определения бесконечной производной только как бесконечности определенного знака. Заметим, что построением соответствующих примеров (если, конеч- Рис. 44 но, это удается сделать) и проверяют обычно в математике существенность тех или иных условий доказываемых теорем. В дальнейшем мы не будем проводить проверки необходимости условий теорем, предоставляя это делать читателю по мере внутренней потребности.
Если функция Т (х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке ?и, Ь1, то функция Р(х)=Т(х) — 1(а) равна нулю иа его концах и Р'(к)=)'(х), в частности эти производные одновременно обращаются в ноль. Поэтому теорема Ролля равносильна утверждению: если функция непрерывна на некотором отрезке, обращается в ноль на его концах и дифференцируема во всех 7" губ У П. Теорелгы о среднем для дифференцируелгых функций его внутреннпх точках, то существует его внутренняя точка, в которой производная обращается в ноль. Коротко говоря, между двг,мя нулями дифференцируемой функции всегда лежит хотя бы один нила ее ггроизводной. Эта теорема является, очевидно, обобщением теоремы Ролла.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию Р(х) =Т(х) — Ъх (11.4) н определим число Л таким образогл, чтобы Р(а)=Р(Ь), т. е. чтобы 1(а) — Ла= — 1'(Ь) — ЛЬ. Это равносильно тому, что ) (Ь) — [ (о) Ь вЂ” а (1 1.5) Для функции Р выполняются все условия теоремы Ролля. Действительно, функция )(х) непрерывна на отрезке [а, Ь), а функция Лх, будучи линейной, непрерывна на всей числовой оси; поэтому и функция Р(х) =)(х) — Лх также непрерывна на отрезке [а, Ь1. Функция Т имеет во всех точках интервала (а, Ь) конечную или бесконечную производную, а функция Лх — конечную производную во всех точках числовой оси, поэтому их разность Р (х) также имеет всюду в интервале (а, Ь) конечную или бесконечную производную (см. замечание в п.
9.5). Наконец, на концах отрезка [а, Ь] в силу выбора Л (см. (11.5)) функция т принимает одинаковые значения. Поэтому существует хотя бы одна такая точка $, (а($~Ь), что Р'(й)=0. Из (11.4) получаем Р'(х) = =Т'(х) — Л, поэтому 1" (й) — Л=О. Подставляя сюда Л из (11.5), получим [ (Ь) — [ (и) Ь вЂ” а (11.6) Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в следующем.
Пусть А(а, т(а)), В(Ь, г'(Ь)) — концы графика функции 1, А — хорда, соединяющая точки А и В (рис. 45). Тогда отноше- " Ж.— Л. Л а г р а нж (1736 — 1813) — французский математик н механик. У и р а ж н е н н н 1. лгоказать, что если функция [ удовлетворяет условиям теоремы Ролла на отрезке [а, Ь[ н не является постоянной, то на этом отрезке существуют танке точки йг н 1л, что р (йг) ) О н р (ьз) ( О. 2. Привести пример функцвн, непрерывной на отрезке [а, Ь[, имеющей провзводную в кагкдой точке интервала (о, Ь), но не нмсющей производной (односторонней) в точке и. Теорема 3. (Лагранж *').
Если функция )' непрерывна на отрезке [а, Ь) и в каждой пючке интервага (а, Ь) имеет производную в игггроколг смысле, то в эгпом интервале существует по крайней мере одна такая точка $, что ) (Ь) — Т (а) = Т' ($) (Ь вЂ” а). (11.3) 1!.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних знаеениях 197 ( (ь) — ) (а) ние ( равно тангенсу угла() между хордой АВ и осью Ох, т. е. 1(ь) — 1(а) Ь вЂ” а а производная ['(~), как известно (см. п, 9.3), равна тангенсу угла се между касателыюй к графику функции т в точке ($,1(0)) и положительным направлением оси Ох, т. е. Т' Д) = 1дсе. Поэтому равенство (11,6) может быть переписано в виде 18 а = 18 р. Таким образом, теорема Лагранжа показывает, что в интервале (а, Ь) должна найтись точка 5 (может быть, и не одна, см.
рис. 35, где условию теоремы удовлетворяют точки $' и $"), в которой касательная к графику параллельна хорде АВ. )е Теорема Лагранжа найдет гг ряд важных приложений в дальнейшем.. Приведем другие формы за- Г(Ы-г" (а) писи формулы (11.3). Пусть а < Е < Ь и — =- О, Тогда 0 — а л ь-а Ь вЂ” а ! ! О=а+О (Ь вЂ” а), 0(0 ~1. (11. 7) Рис. 40 Наоборот, если $ выражается формулой (11.7), то, как легко видеть, а~$(Ь.
Таким образом, в виде (11.7) могут быть представлены все точки интервала (а, Ь) и только они. Поэтому формула (11.3) может быть записана в виде 1(Ь) — Т(а)=Т"'[а+0(Ь вЂ” а)1(Ь вЂ” а), 0~0(1. (11.8) Положим теперь а==х, Ь вЂ” а=((х и, значит, 0=к+ах; тогда (11.8) перепишется в виде [(х+Лх) — [(х) =['(х+Ойх) бх, Ои О «1. (11.9) Формула (11.9), а также равнозначная ей формула (11.3) и (11.8), называется формулой конечных приращений Лаеранлса, или просто формулой конечных приращений в отличие от приолпженного равенства 1'(х+ 1)х) — )'(х) = [' (х) йх, (11.10) которое называют иногда формулой бсскоаечно малых приращений. Она выражает тот факт, что левая и правая части приближенного равенства (11.10) равны между собой для дифференци- гзз У гд Теоремы о среднем для дифференккруемых функ«ив руемой в точке х функции 1 «с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем приращение ггх при Лх-+О».
Замечание. Формула Лагранжа (11.3) может быть пред* ставлена в виде 1(а) — 1(Ь) =1'($) (а — Ь), где а(Ь. Таким образом, она справедлива не только при а(Ь, но и для а) Ь. Отметим три следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего. Следствие 1. Писть функция ) 1) определена на некотором промежутке (конечном или бесконечном); 2) имеет производную, равную нулю во всех его внутренних точках; 3) непрерывна в концевых точках рассматриваемого промежутка, входягцих в него; тогда функция г' постоянна на указанном промежутке. Действительно, каковы бы ни были две точки х, и х«. хг(х„ рассматриваемого промежутка, функция ~, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на отрезке 1х„х,1 и, значит, 1 (хг) — ) (хг) = ~' Д) (х, — хг), где хг($ х,.
Но, по условию 2 следствия, )'($)=0, и, значит, р'(хг)=г" (хг) для любых двух точек х, и х, из области определения функции 1, что и означает, что функция 1 постоянна. ( ) Следствие 2. Если 4ункции г' и д ди44еренцируелгы во всех внутренних точках некоторого ггромежутка и в эгпих точках Г=к а на концах промежутка, которьге в него входягп, функцгги 7 и д непрерывны, то зти 4ункции отличаются на рассмапгриваемом промежутке лтиь на постояннуго ) — у=с. Действительно, функция Р = р — у удовлетворяет условиям следствия 1, в частности, Е'=~' — у'=0 во внутренних точках промежутка и поэтому Р=с.
( ) Следствие 3. Пусть 4ункция гр 1) непрерывна на интервале (а, Ь); 2) дифференцируема во всех пгочках интервала (а, Ь), кроме, быть может, некоторой точки х« ~ (а, Ь); 3) существует 1пп гр' (х); тогда существуепг и производная х м гр'(хо), причем гр'(хь) = 1пп гр'(х) х кр 11ль Теоремьг Рохля, Лагранжа и Коши о средних значениях 129 Действительно, пусть 11гп гр'(х) =А. Если а<х<Ь и хФх„ х кч то по теореме Лагранжа ф(х) — гр(х,) =ф'($)(х — х,), где $~(хв, х), если х»хсн и 5 е=(х, х,), если х<х„откуда ф (х) — ф (хв) Будем для определенности считать, что х'~хе, Точка 5= 5(х) является функцией от х и притом, вообще говоря, многозначной.
Выберем произвольно для каждого х ~ (а, Ь) одно какое-либо значение $, тогда получим однозначную функцию $ (х) (как говорят, однозначную ветвь многозначной функции). Поскольку хе<3(х) <х, то 1пп $(х) =х,. Применяя правило замены переменного для пределов функций (см. п. 4хйэ), получим, что существует предел 1пп ф'($) = А, к хч а следовательно, существует и предел 1 1 и ф ( х ) р ( х ) А к к, " хе Это и означает, что производная ф' (х,) существует и равна А. ( ) У яр аж пение 3.
Пусть функция 1 непрерывна на интервале (о, Ь) и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, быть может, некоторой точки хе ги (а, Ь). Пусть существуют 1пп )Ь (х) и 1пп р (х), 'причем х кк — 0 к х,+О они не равны между собой. Доказать, что при этих предположениях производная у (хе) не существует. В теоремах Ролля и Лагранжа (а также и в нижеследующей теореме Коши) речь идет о существовании некоторой точки й, а<3 <Ь, ее можно назвать «средней точкой», для которой выполняется то или иное равенство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
