kudryavtsev1a (947413), страница 46
Текст из файла (страница 46)
ИХ Проогры розложенол по формуле Тейлора 2!7 3. 7(х)=ел. Поскольку (ел)'"'=ел то 7"'(0)=1, п=О, 1, следовательно, е' = 1+ х+ -, + й. +... + г + о (х"), (13.16) прп х-о.О, я=О, 1, 2, ..., или, короче, чз хй ел= у й, +о(хл) при х-л-О. Отс1ода, заменяя х через — х, получим л е-л= ~ ( — 1)";+о(х") пои х — яО, п=-О, 1, 2, ... (13.17) о=о от „-л л':+ о-л 4.
з)1х= и с!зх= . Сло1кнв и вычтя (13.16) и 2 (13.17), будем иметь о х~л" — -'- о (х'"") — 2. (ай+ Ц. л=о хзо сйх= У', +о(хе""') при х-+.О а=-О, 1, 2, .... (вй)1 при х-э-О, и=О, 1, 2, ..., или, короче, и (1+х)"=1+ ~~ "', хо+о(хл) при х-о-О, А=! о=1, 2, б. 7(х) =1п(1+х). Легко видеть, что 1'(х) = — =(1+х)-', ~" (х) = — (1+х)-' В силу единственности представления функции в указанном виде (см. теорему 2) полученные соотногнення являются формулами Тейлора для функций з)1х и с!зх.
б. 7(х) =(1+х)'., и — некоторое фиксировашюе число. Так как 7<о~ (х) = а (а — 1)... (а — и+ 1) (1 + х)и.", то )1" > (0) =- а (а — 1)... (а — п+ 1) и, следовательно, + ) + + 2 + 3' +'''+ и (и — 1), и (и — 1) (и — 2) и(и — 1)... (и — и+1) „+ о! .й !3. Формула Тейлора 2!8 и вообще )""1(х) =( — 1)1-1()о — 1)! (1+х) ", й=1, 2, .... Поэтому Т(х) (0) =( — 1)ь-1(й — 1)!, )) =1, 2, ..., и так как Т(0) =О, то хе хл 1п(1+х) =х — — +...+( — 1) — +о(х ) при х-~О, в=1, 2, ..., или, короче, л 1п(1+х)= ~~), ( — 1)"-'-„-+о(хл) при х-~О, п,=1, 2, ... ° 1=1 Замечание.
В силу следствия теоремы 1, полученныеформулы можно записать, используя символ 0 (О большое), следующим образом: л '11 хаМ1 з(пк= т ( — 1)1 — — +0(хол'!') (2л+ 1)1 1;=о л с аз к = ~~) ( — 1) о — + 0 (х'л+о) (2й)1 о=о л 'Ю х" О (кл+1) — ? вр о=о л Хео+! з1' = 2, 2 В +0(.'""') л=о Ъ.~ хеу с)! х = Рл — + О (х'л"), л~л (2й)1 о=о и = О, 1, 2, ..., л (1+ х)" = 1+ ~) ( ' "', ) хо+ О (х"+1), х=-! л 1Х 1п(1+х) = ~~~~ ( — 1)'-' „-+0(х"'), а =1, 2, ..., при х-+ хел Такая запись формул Тейлора в некоторых вопросах оказывается более удобной, чем их запись с символом о (о маленькое). 13.4. ВЫ1ШСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛЫ ТЕИЛОРА (МЕТОД ВЫДЕЛЕНИЯ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ) формула Тейлора дает простое и весьма общее правило для выделения главной части функции.
В результате этого метод вычисления пределов функций с помощью выделения главной части приобретает законченный алгоритмический характер. ИХ Вычисление аределов с помои(ыо грормггльг Тейлора к)э Рассмотрыы сначала случай неопределенности вида —. Пусть О О' требуется найти предел !)гп —, где 1)пг ('(х) = 1пп йе(х) =О. 1(х) „ (г(х) ' к к, х ке В этом случае рекомендуется разложить по формуле Тейлора функции Т и гк в окрестности точки х, (если, конечно, это возможно), ограничившись в этом разложениги лишь первыми не равными нулю членами, т.
е. взять разложения в виде ((х)=а(х — х,)" +о((х — х,)'), аФО, д(х) = 6 (х — х,)'"+ о ((х — х,)'"), (г ~: О, тогда 1(х) . а (х — х ]и+о ((х — х,)") 1ип — = 1пп в (к) к к Ь (х — лв)а-1-о ((к — ке)~) О, если п)пг, а = — - 1пп (х — х,)а-"'= х ко а Ь ' —, если п=т, со, если п~т. ек — е к — Вх 1)гп х о х — Мах Часто бывает удобно для разложения функций т и д по фор- муле Тейлора использовать готовый набор разложений элемен- тарных функций, полученный в п.
13.3. Для этого следует в слу- чае х, Ф О предварительно выполнить замену переменного = х — х,; тогда х- х, будет соответствовать Г-г-О. Случай х-~со ) заменой переменного х=-- сводится к случаю ( — ~0. Если имеется неопределенность вида —, т, е. требуется найти 1пп — „, где 1(гп Т (х) = !пп р (х) = оо, то ее легко привести к рас- 1(х) х к орй' х к„х к, смотреннолгу случаю — преобразованием — = ) . 0 1(к) )гх (х) Подобно вычислению пределов с поьгощью правила Лопиталя, при применении метода выделения главной части к раскрытию неопределенностей вида О.со и со — сз их следует преобразовать О к неопределенности вида -- Наконец, для раскрытия неопреде- ленностей вида 0', оо' и 1 указанным методом, необходимо предварительно прологарифмнровать рассматриваемые функ- ции.
Посмотрим на примерах, как применяется формула Тейлора к вычислению пределов функций. Пусть требуется найти р (З. Фар«сула Тейлора Заметив, что (см. п. 13.3) а сх хх х! Е«=1+Х+ 2 + 3, +О(Х'), Е-«=1 — Х+ 2- — 3, +О(Х'), ха а!пх=х —, +о(х'), получим е« вЂ” с-" — 2х . х",3+ о (х'),. ха/3 1ип . =1(гп „" ', =1!пт —.=2. х-о х — Япх «-ох'!6+о(х) «-о«16 Рассмотрим неопределенность вида оэ — со: ха за х — — +о(ха) ~ — ха 6 о(,хх яп~х) „„х" янах ха (х+о (х)!' ! В качестве последнего примера вычислим предел !ип( — '~ «О! х т.
е. раскроем неопределенность вида 1 . Согласно ойщему правилу, найдем предел логарифма выражения, стоящего под знаком предела: л+о(хх) 1пп — !п — =1!го = Ит ' =!пп — = О. 1 а)ох . ' х . !п(1+о(х)) . о(с) х-о х " «-о " «-о х «о Следователы!о, ! пп« вЂ” !и— " =1. 1(п! — ' = е'-о (яп х) « «о Упражпення. На!1ти пределы: сох(яп х) — соа х 5. 1пп «О х — япх 2. 1 оп х - о е" — 1 — х — х"-12 ' 3. !пп !п (1+«+«)+1п(1 — х ха) 6.
Исп (с(ах) ' ". х О хяп х «О 4 1' 1 — хх — 4." +1п (1+ «х) !!и! (1+ )'"— 4. !ип х О х асс!я х — а!п х «о соа (хсх) — соа (.х -«)+2хх 8. ига' ' «О ха хх — — +о (хх) 3 =!Вп „, . =!ип « о « !х + а (х )1 х-.о х' ха — +о («4) 3 3 1 = 1!п) — ' «!+о (х') о ха 3 221 14.1. Признак монотонности функции 5 14.
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ 14Л. НРИЗНАК МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ Теорема 1. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (а, Ь) функция )' возрастала (убывала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной, ) (х) ==. 0 (соответслсвенно, нелоложилгельнсй, 1'(х) .- 0). Если всюду на (а, Ь) лрсизвсднал згвложительна: 1" (х) ) 0 (сгответслсвенно оглрицательна: 1 (х)(0), то функция ) строго возрастает (строго убывает) на рассматриваемслс интервале, Необходимость. Если функция 1 возрастает (убывает) на (а, Ь), то для любой тсчки хи ~ (а, Ь) при нх)0 имесм Ау =1(х,+ +дк) — )(ХЬ)т 0(ау 0). ПОЭтОМу ===О ( 1:-..О);ПЕрЕйдяКПрЕ- делу при Ах — «О, получаем 1'(хь)-- 0(1'(х,) —.-' 0).
Достаточность. Пусть а<х,(х,<Ь. Тогда по срормуле Лагранжа (см. п. 11. 2) 1 (х,) — 1(х,) =- )' (5) (х, — х,), где х,(«(хз Так как хз — х,>О, то при )т(х)=-0 на (а, Ь) (откуда СЛЕдуЕт, Чта В Чаетиоетн )'(Ч)=..0) будЕМ ИМЕТЬ 1(Хз) =1(Х,), т. Е. функция 1 возрастает. Аналогично, при 1'(х) =-. 0 на (а, Ь) имеем 1'($) <О и, следовательно, 1(хз) ~)'(хз), т.
е. функции)убывает. Если же 1'(х))0 на (а, Ь), то 1" (с) >О и позтомУ 1(хз)) )~(х,), т. е. функция 1 строго возрастает. Пусть теперь('(х)(0 иа (а, Ь); тогда 1'(й) =О, следовательно, 1(хз)(1(х,), т. е. фуикцвя 1 строго убывает. ( ) Отметим, что условия )' (х) ) 0 и )' (х) ( 0 не являются необходимыми для строгого возрастания, соответственно строгого убывания, функции, показывают примеры функций 1,(х) =х' и )з(х) = — х'. Первая из них строго возрастает, а вторая строго убывает на всей числовой оси, но для х=-0 их производные обращаются в ноль.
Теорема остается верной для непрерывных функций„не имеющих в конечном числе точек производной. Утверждение второй части теоремы остается в силе, если кроме того, в конечном числе точек производная обращается в ноль. Например, если функция непрерывна на некотором интервале и имеет всюду в нем лоложительнусо (отрицательную) лроизвсднусо, кроме, быть может, конечного числа точек, в которых производная обрасцается в ноль или не суп1ествует, то функция строго моноли,нно возрастает (соответственно строго монотонно убывает) на рассматриваемом инлсервале.
Это непосредственно следует из теоремы 1: достаточно ее последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал указанным конечным множеством точек. У !е. Нееледовиние поведения функций П р и м е р. Исследуем функции> ~ Мпх и х о,г 1 — ' при 0(х:==-г, 2' ' 1 при х= О.
Функция 1 дифференцируема (а, следовательно, и непрерывна) на отрезке (О, --1. В специальной проверке нуждается лишь существование производной в точке х = О. Применяя, например, дважды правило г)пинта>гя, получаем ап Ах Нщ 1(лх) — 1(о) Вгп Ах яп г — г 1пп — = г-о =1(ли — — = — - - Нгп з)п г = О, Сов г — 1 1 г-.о 21 2 г о Это и означает, что существует 1'(0) =-О. Для всех х ~ 0 имеем ибо к<1их, если 0(х<п/2 (см.
доказательство леммы 1 в и. 8.1). Следовательно, функция 1 строго убывает на отрезке [О, п)21, и поэтохиу 1'(0))~(х)))(1), т. е. 2 мпх и й х --< — '<1 при 0<х< ' . 2 14 2 ОТЫСКАНтгГ НАИНОЛЬШНХ И НАИИЕНЬШИХ ЗНАЧЕННй гзуигтцтгй Определение 1. Пусть функ>1пя 1 определена в некоториг окреспгносгпи точки х,. Тогда х, называется точкой магсимулга (соотвстственно точкой минимума) функции 1, если существумп такое 6~0, что для всех Лх удовлепгворяющих условию 1Лх, '~б, вьтолняется неравенство Г" (х, -' Лх) /=-1 (х,) (ссответствгнно г (хо+ Лх) г (хо)) Если сущесгпвг>егп такое 6)0, что длч всех ЛхФО, пгоких, что ~ Лх,'(6, вьгполняется неравенспмо )'(хо+Лт) ~)(хо) (ссопгветсгпеенно г (хо+ Лх) )) (хо), то хо называется пгочкой сгпрогого максилиулга (соогггвегг;спгвенно строгого мингспулга).
Точки (строгого) лгаксимума и лтнимуиа наэываготся тьчко.ни (строгого) эьспгрсмума. Для точек х, строгого экстремума функции ), и только для них, приращение Лг=)(хо+Лх) — 1(х,) ие меняет знака при переходе аргумента через х,, т. е. при изменении знака Лх. Имен>го !4.2. Оняедс.гение наабальганх и наалсньигак значений 223 6)<0 для точек строгого максимума и й))0 в случае строгого минимума независимо от знака достаточно малого г)хчьО.
Теорема 2 (необходимые условия экстремума). Пусть х, является точкой экстремума функции (, определенной в некоторой окрестности точки хли 'Тогда либо производная 1"'(х,) не сдгиествует, либо (' (ха) =О. Действительно, если х, является точкой экстремума для функции ), то найдется такая окрестность (/ (х„б), что значение функции ( в точке х, будет наибольшим или наименьшим на этой окрестности.
Поэтому, если в точке х, существует производная, то она, согласно теореме Ферма (см. и. 11.1), равна нулю. Отметим, что условие у'(х,) =-0 не является, для днфференцируемой при х=.хз функции, достаточным условием наличия экстремума, как это показывает пример функции ((х) =х', которая для х=О имеет производную, равную нулю, но для которой х =О не является точкой экстремума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
