kudryavtsev1a (947413), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Следовательно, производная в х„или не существует, илн, если существует, необходимо равна нулю. Отметим еще, что нз теоремы 4 непосредственно вытекает следующий критерий наличия точек экстремума. Пусть у функции г в точке хв сугцеспсвугопа производные до порядка и= 1 вклгочительпо, причем г*(хс) ~в Хс тая ипат ы(хс)= О, )г=1, 2, ..., и — 1, ~~с>(хв)ФО Тогда для того чтобьс при х = х, функция достигала эксгпремума, необходилсо сс достаточно, чгпобьч и было четным числоль Все полученные правила справедливы лишь в том случае, когда функция ) определена в некоторой окрестности точки х,.

Однако об экстремуме функции можно говорить не только в этом случае: пусть функция ) определена на некотором числовом множестве Е; будем называть х, ~ Е пючкой максимума (минимума) *1, если существует такое 6>0, что если хан Е и ~х — хв)<6, то )(х)~)(хс) (соответственно Р(х)з:((хв)). Подобным же образом определяются в этом случае и понятия строгого максимума и строгого минимума, следует лишь знаки нестрогих неравенств заменить знаками строгих неравенств и дополнительно потребовать, чтобы хФхв. Например, если функция ( определена на полуннтервале [а, Ь), то точка а в указанном смысле может являться экстремальной.

Заметим, однако, что производная (правосторонняя) в этой точке, вообще говоря, не обязана обращаться в ноль. Так, функция у=-х, рассматриваемая на отрезке [О, 11, имеет строгий минимум *> Правильнее было бы Лобаинть — лоиалыюго, но не будем усложнять терминологию. И.2. Определение наибольших и наименьших значений 222 при х=О и строгий максимум при х=1, однако в этих точках, как и всюду на отрезке [О, 11, у' = 1. Выяснение осстоятельства, имеет илн нет функция экстремум на концах промежутка, принадлежащего ее области определения (такой экстремум будем называть концевым), требует специального исследования.

У п р ежи ение 2. Пусть функция 1 определена нз отрезке (а, Ь) и имеет производные при х=а и х =Ь. Доказать, что если )',. (а) ) О (соответственно р (Ь) ( О), то точке х=а (соответственно х=Ь) является точкой строгого минимуме, з если 1' (а) ~ О (соответственно )2 (Ь) )О), то х=-а (соответственно х=- Ь) является точкой строгого максимума. Установленные нами теоремы лежат в основе метода, позволяющего единообразно решать многочисленные математические, физические и технические задачи, в которых ищутся экстремальные значения какой-либо величины.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции ) на отрезке [а, Ь). Может случиться, что это возможно сделать достаточно просто каким-либо способом, исходя из конкретного вида функции. Если же не видно, как это сделать, то следует найти все се критические точки, лежащие на [а, Ь] (точка, в которой функция определена, а ее производная либо равна нулю, либо не существует, обычно называется критической точкой этой функции). Затем из этих значений х необходимо, исходя из сказанного, отобрать те, в которых возможен максимум (можно заведомо отбросить точки, удовлетворяющие достаточным условиям наличия минимума).

После этого достаточно сравнить между собой по величине значения функции в полученных точках и числа Г(а) и ((Ь); наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [а, Ь1. Эта задача принципиально заведомо может быть решена, если множество критических точек конечно. Если функция определена на полуинтервале (конечном или бесконечном), например на полуинтервале вида [и, Ь), задача об определении се наибольшего значения на этом полуинтервале требует дополнительных исследований; найдя множество указанных выше точек, надо изучить еще поведение функции при х- Ь вЂ” О. Аналогпчньм образом решаются и задачи на определение наименьших значений функций.

Не следует, однако, думать, что изложенный метод позволяет находить точки экстремума данной функции с любой нужной степенью точности. Это не так, поскольку если пользоваться им, надо прсжде всего уметь решать уравнение Г" (х) =-0 с заданной степенью точности, что является другой математической задачей. 1(ак она решается с помощью дифференциального исчисления в тех случаях, когда точное решение уравнения не выписывается в явном виде, будет показано в дальнейшем (см. том 2, й бО). Э 14. Исследование поведения функций 2ЗО Пример. Две точки движутся с постоянными скоростями и, и о, по двум прямым, образующим прямой угол в направлении вершины этого угла, от которой в начале движения первая точка находилась на расстоянии П, а вторая — на расстоянии Ь.

Через какое время после начала движения расстояние между точками будет наименьшим? Пусть р = р (() — расстояние между точками через время после начала движения, которое будем считать начавшимся при (=О, Тогда р' (() = (а — о 1)'-'- (Ь вЂ” о ()и Функция р((), очевидно, достигает минимума при том же значечении 1, при котором достигает минимума функция у=ри((). Физически ясно, что расстояние р(1) должно достигать минимума (тела начинают сближаться), а максимума заведомо нет, ибо р(1)- +со при 1-~+со.

В силу необходимого условия экстремума это может быть только в точке, в которой у'=О, и, так как у'= — 2от(а — о1() — 2ои(Ь вЂ” ои(), то из условия у'=0 получаем единственное значение ао,+Ьи, и= „и+ос которое и дает ответ на поставленный вопрос, 14Л. ВЫПУКЛОСТЬ И ТОНКИ ПЕРЕГИБА Пусть функция ) определена на интервале (а, Ь) и пусть а(хх<х,<Ь. Проведем прямую через точки А(хи ((х,)) и В(х„((х,)), лежащие на графике функции ). Ее уравнение будет у= ) (х,) (х — х,) + ) (х1) (хе — х) х,— х, (14.7) (14 с8) (соответственно Геометрически это означает, что любая точка хорды АВ (т. е.

отрезка прямой у=((х) с концами в точках А и В) лежит не Обозначим правую часть этого уравнения через ((х); тогда оно кратко запишется в виде у=((х), Очевидно, ((х,) =)(х), ((х) =1(хи). Определение 3. Функция 1' называется влвнуклой вверх (выпук- лой вниз) на интервале (а, Ь), если каковы бы ни были точки х, и хм а«х,(х,(Ь, для любой точки х, интервала (х„х,), выполняется неравенство ((хи) ~1 (хи) гз( (4.3. Выпуклость а точки асрссаба выше (не ниже) точки графика функции 7', соответствующей тому же значению аргумента (рис. 50). Определение 4.

Если вместо (14.7) и (14.8) выполняются строгие неравенства 1(хс) <) (хь) и соответственно 1(хь) )((хо) при любых х„х, и х, таких, что а <х,<х,<х,<Ь, то функция ) называется строго выпук ой вверх (строго выпуклой вниз) на интервале (а, Ь). В этом случае любая точка хорды АВ, исключая ее концы, лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции. Определение 5. Всякий инпьервал, на кос ором функция (строго) выпукла вверх, соопьвгтспменно вниз, называеьться интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, втой функции. мсухлссвь 66слх высуслссвь 6сас Рис.

60 Теорема 5 (достаточное условие строгой выпуклости). Пусоьь функция (" дважды дифференцируема на интервале (а, Ь). Тогда, если )'<О на (а, Ь), то функция ) строго выпукла вверх, а если 1"-»О на (а, Ь), то функция 1 строго выпукла вниз на зьпом интервале. Доказательство. Пусть а<х,<х< х,<Ь.

Тогда 1(хь)(х — хт)+1(хь)(х,— х) ...(х — х,)+(хь — х) 1(х) — 1(х) — х х 1(х) 11(х,) — 1 (х)1 (х — х,) — 1) (х) — 1 (хьЦ (х, — х) х,— хь Применяя теорему Лагранжа (см. и. 11.2), получаем 1(х) (х)— р (Ч) (ха †)(х — х,) — р (с) (х — х,) (х, — х) (Р (ч] — Р ($)1 (х, — х) (х — х,) х,— хь где хь<$<х<т) <хь. Применим снова теорему Лагранжа: 1( ) )(х) Р(,')(хь — х)(х — хь) (Ч вЂ” 1) ц ~< х,— хь у 14. Исследование поведения функций Отсюда видно, что если 1" (О на (а, Ь), следовательно, в частности, 1" (й)(О, то 1(х)()(х), т. е.

функция 1 строго выпукла вверх; если же 1")0 на (а, Ь), то 1(х)>Г(к), т. е. функция 1 выпукла вниз. Д Условие знакопостоянства второй производной, являясь достаточным для строгой выпуклости (вверх илн вниз), не является вместе с тем необходимым. Так, функция у =хе строго выпукла вниз на всей числовой прямой, однако ее вторая производная у" = 12х' обращается в ноль прн х ==О.

Отметим, что если функция ) (строго) выпукла вверх на интервале (а, Ь), то функция — 1 (строго) выпукла вниз на этом йз дц (х) интервале и обратно, а поскольку — „-,1 — 1(х)1= — „,, то, например, приводимое в теореме 5 достаточное условие строгой выпуклости вверх следует из содержащегося в этой же теореме достаточного условия строгой выпуклости функции вниз. у яр а ж не н н я 3. доказать, что для функции г хмп — прн хьио, ) (х) = х О прн х=о точка х=о не прннадлегкнт ннкакнн ннтсрвалам выпуклости вверх нлн вниз н не является концом какого. либо вз этих интервалов 4, доказать, что функция В=хе строго выпукла вниз на асей числовой пряьгсй. й(ы видим, что выпуклость вверх илп вщгз функции) зависит от знака ее второй производной.

Оказывается, что расположение графика дважды дифференцируемой функции относительно касательной гй(з) также в определенном смысле свя- зано со знаком второй производной. г"сх! г Теорема 6. Пусть функция имеет во всем интервале (а, Ь) по гожительную (отрицапгельную) вторую производную: 1'" (х) 0 (соответспгв в х а; ь а венно )" (х)<0), х~(а, Ь)*'. Тогда, какова бьг ни была точка ха е— : (а, Ь), Рис. 51 все точки (х, 1(х)), хе=(а, Ь), гра- фика функции 1' лежат ваше (соответственно ниже) касательной, проведенной к нему в точке (х,, ) (хе)) (исключением является, естественно, сама эта пгочка, которая лежит на указанной касательной *а') (рис.

51). *' Отсюда следует, что функция 1 строго вьпукла вниз (вверх) на (о, Ь). Если функция й кроме того, определена н имеет одностороннюю производную в конце и нлн Ь интервала, то указанное свойство, как это видно нз ннагепрнводнмого доказательства, выполняется н для касательной в точке (о, 1(о)) (соответственно в точке (Ь, ((Ь)). 14.8 Выпуклость и точки перегиба Действительно, уравнением касательной к графику функции ) в точке (х„, 1(хь)) будет У.= ~' (.

а) ( — Хс)+'1 (хь). Обозначим правую часть этого уравнения через I (х). Тогда, применив теорему Лагранжа к разности )(х) — 1(хе), получим У (х) — ~ (х) =У(х) — Р(. о)1 — Р'(хо) (х — хе) = = ~' (ь) (х — х,) — )' (хь) (х — х,) =-(1' ($) — ~' (хе)) (х — х,), где а(хе(!т, а(х(й, а точка е лежит между х и х,. Применив еще раз теорему Лагранжа, но уже к приращению производной, получим )(х) — Т. (х) =-Г(т)) ($ — х,)(х — х,)„ где точка т) лежит между $ и хе При х-,е:хь имеем (с — хь) (х — хь) ) О, ибо точка а всегда лежит между х и х„и, следовательно, всегда по ту же сторону от точки х„что и точка х, В силу этого знак разности 1(х) — Е(х) совпадает, прн х~х„ со знаком 1" (т)).

Характеристики

Список файлов книги