kudryavtsev1a (947413), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Для полноты изложения сделаем некоторые разъяснения отдель- ных этапов доказательства, которые, впрочем, каждый, кто доста- точно хорошо овладел предшествующим материалом, легко может провести самостоятельно. Прежде всего, производилось деление на ) (х) и д(х). Для обоснования этого надо показать, что для соответствующих зна- чений справедливы неравенства ((х)~0, д(х) ~0.
Конечно, эти неравенства не имеют места, вообще говоря, при любом выборе точки х ~(а, Ь), но онн справедливы для всех х, достаточно близких к точке а. В самом деле, в силу условия 2) теоремы существует такое 6, О, что для всех х е= (а, а+ бт) выполняются неравенства )~(х)!) О, )а(х)',)О, Поэтому, если выбрать х, так, что а(ха(а+бы то х будет также удовлетворять этому нера- венству, т. е. а(х(а+бы и, следовательно, деление на 1(х) и й'(х) будет заведомо возможно. Далее производилось деление на 1 — ((хе)Й(х).
Это также воз- можно для всех х достаточно близкнх к точке а. Действительно, в силу условия 1нп ((х) = со существует такое б„что для а+в всех х, удовлетворяющих условию а (х ( а+ б„справедливо неРавенство )1" (х) ~) ~~(ха) ~, а поэтомУ и неРавенство 1 —— ) (хе) ! (х) чьО. При этом выберем 6, так, чтобы 6,(6,— это всегда возможно, лдд э 12. Раскрытие неопределенностей по праеилу Лопиталя Таким образом, формула (12.3) заведомо справедлива для всех таких х и х„что а(х х,<а+6,. Далее, для заданного е- 0 в силу существования конечного предела 1пп —, = — й, р (х) а+о а' (х) найдется такое бе)0, что для всех хеп (а, а+бе) выполняется неравенство (12.4) при этом выберем 6, еще я так, чтобы бх(б„а выбор хо под- чиним условию а(хе<а+ба Положим теперь, ах=- —,— и, х(5(хо сей 1' (й) й (с) (12.5) Точка $, а потому и функция ао зависят от точек хо и х, однако при сделанном их выборе, т, е.
цри а (х (хе < а+ бе, ~ах)( —. (12,6) Положим далее у (х.) )(хе) (12,7) )(х) Очевидно, в силу условия 2) теоремы имеем 1(гп аа (х) = О. к а+о Из (12.3), (12.5) и (12.7) следует, что ~(х))д (х) =(й+ат)(1+ссх(х)) =й+а,+()с+ах)ах(х), (12 9) Выберем теперь 6„0(6,<б„так, чтобы при а<х<а+6, выполнялось неравенство (~' й ~ + ! «, ~) ~ ая (х) ! ( —, (12. 10) для чего в силу (12.6) достаточно, чтобы выполнялось неравенство е ~"с(хИ 0 ~ ) Это возможно в силу (12.8). (12.8) будем иметь а(а(а+б„и, следовательно, в силу неравенства (12.4) будет выполняться неравенство 12.2. Неопределенности вида оо/оо Из неравенств (12,6) и (!2.10) следует, что для всех х, удовлетворяющих условию а(х «., а+ 6„выполняется неравенство 1ад+()»+ад) а»(х) ! = ~ ад(+((Й(+(ад ~) ~ а„(х) ) ( — + — =е, и потому из (12.9) следует, что ~ — — А~(е при а <х а+б .
1 (х) е (х) а. Это и означает существование предела 1пп — = й. 1(х) х а'Оа() Так раскрываются на «языке неравенств» сделанные выше высказывания о выборе достаточно близких значений ха и х к точке а, обеспечивающих нужную близость отношения Дх))д(х) к числу А. Рассмотрим теперь случай бесконечного предела. Пусть 1пп —, = + со. Тогда в некоторой окрестности ' р (х) +О а (х) точки а имеем 1'(х)„-ьО (почему?) и 1пп —,„=О. Поэтому, а' (х) к а-)-О д ОО согласно доказанному выше, )пп — = О, откуда следует, что е (х) к а+01() 1 х 1 (х) х а+О в(х) Но нужно доказать более сильное утверждение, а именно— что этот предел равен + оо. Покажем это. Поскольку, согласно предположению, — —,— » 1 со при х — »а+О, то существует такое 1' (х) в ОО т),- О, что для всех х, удовлетворяющих условию а(х(а+д)д, будем иметв — ) О.
1' (х) а' (х) Лалее, зафиксиРуем х„а(хо(а+д)д, так как нам приде я снова использовать формулу (12.3). Наконец, выберем «1„0(д)О(хо — а, так, чтобы для всех хан(а, а+т)О) имели место неравенства ~)'(х)()()(хо) ~, (д(х)!) ~! й'(хо) ~ вследствие чего Тогда для всех х, удовледворяющих условию а < х ( а+ «)О, выполняются неравенства (12.11), (а' (О) ~,~~~ >О, где х($=Ц(х)(х„ 208 и' !2. Раскрытое неопределенностей но вровали Лолиталя и справедлива формула (12.3).
Из нее следует, что для всех указанных х — ) О. )(х) а (х) Из доказанного выше утверждения !пп — =со следует ! (х) к а-1-0 о(х) теперь, что !пп — — = + со. ) (к) к- !.о Ы(х) Аналогично рассматривается случай 1пп —,") = — со. ( ) )' (х) х а-1-вв () Теорема 4 вместе с ее доказательством остается в силе с естественными видоизменениями, и при х- а — О, х- + оэ и х— оо, а также в случае двусторонних пределов.
Меж!то показать, что при выполнении условий 1, 2 и 3, входящих в любую из теорем 2, 3 илн 4, не может существовать предел 1пп —,, =-оо без существования одного из двух «зиад (х) алвЮ ( ) коопределепных» бесконечных пределов 1'пп —,— = + со или р (х) л в а' (х) г' (х) !пп —,- = — со. х ач-оя (к) Задача 8. Доказать, что если выловлены условия 1, 2 и 3 теоремы 4 и !пп —,=ос, то либо 1пп, -=+ со, либо !пп —,' = — со. р (х) р (х) р (х) х а -1- Ов (х) х ач-ос (х) к а+о в (х) !их Примеры. 1.
Найдем 1пп —,— ", я- О. Замечая, что к Л-со ()пх)' = -, (ха)'=тхх"-' и !пп,, = — !пп — „-=О, 1,, !1х 1, ! х ', „иха-к я к +„хв получаем: !!!и —,„= О. 1пх х -1-со Это означает, что прн х-+-+ оо функция 1пх растет медлен- нее, чем любая поло>т»ительная степень переменной х. Иногда правило Лопиталя приходится применять несколько раз. хк 2. Найдем 1пп — '-„, где и — натуральное число н а)1.
Имеем: к +о х" . (хк)' . лх" 'с . сс! 1пп — — = 1пп -, — „= 1'пп — =... =- !пп —.— '=О. а" (акт' як1п а ак 1и ° а к Л-со х -1-со с х 4-со х -!. со (12. 12) Таким образом при х- +со любая степень х" растет медленнее, чем показательная функция ак, а)1. 2И, /2.2. Неопределенности вида пп/по 3. Следует иметь в виду, что проведение вычислений по образцу (12.12) оправдано только в том случае, когда в результате получается конечный нлн бесконечный предел. Так, например, было бы ошибкой написать к — 5!п х 1.
(х — мп х)' х+5!п х (к+ми х)' !пт, = пп так как предел (х — 51п «)',. 1 — соз х 1'пп — . , = 11!и (х+5! л)' „1+снах не существует. В самом деле, беря последовательности х„'=2п!1-5+со и х„'= +2пп-1-+со прн п-».са, получаем и ! — СОБ К„' 1 — сов х,', 1+са5х, 1+совх со Вместе с тем данная неопределенность вида — — может быть расоз крыта элементарным путем; 5!П Х 1 —— Х вЂ” 5!П Х х Ит .. = Пш . =1. Х+51П К 51П Х х Уп р а мненно 1. Пусть /(х)=хвв!п — - о(х)=5!их. На!!«и 1!п»вЂ” ! /(к) -о Ы(х) и доказать, что в атом случае правило Лопиталн неприменимо.
4. Неопределенности О', соо или 1 можно раскрыть, предварительно прологарифмпровав соответствующие функции. Например, чтобы найти 1!щ х, следует найти предел х Ьо 1пх . 1/к 1!гп х1пх= !пп — = — )пп —,, = — !пп х=О. х +о - по ! к -!.о 1/х л-+а х Поэтому в силу непрерывности показательной функции 1! Ш Хх = 1(Щ Е» !пк =- 1 л- +о х .1-о Неопределенности вида О со и со — оо следует привести к виду О/О илн о:.,/КБ. При этом, как и всегда при применении правила Лопиталя, по ходу вычислений рекомендуется упрощать получающиеся выражения..
Поясним это на примере. / 1 ! ! . 5!ивх — хв сов'х б. 1Нп, —:; — с1 '- х; =-11и,, Заметим, что ЯП Х вЂ” Х С05 Х 51П Х+Х СОБХ 5!П К вЂ” ХСОБХ л'мох х' Битах в1п х гго У 1З. Оьорхдла Тейлора Предел первого сомножителя правой части находится непосред. ственно: !пп ею к+"'~' =!!гп(1+ —" сов «) =2 ЯОХ х Ог ЯПХ а предел второго — путем применения правила Лопиталяг ЯП Х вЂ” Х СОЯ К к Огн х 1 ! 1!П1 '"' ' 1!П1 2 '' — 1пп о ххппх, О2«ошх+кхсаах о х 3' х О 2! Ооох апх Такигл образом, Бгп( —, — с(яо х) = 2!3.
х О ~ 1 хо У п р а ж и е и н о. 1! Ойтн пределы: 5 13, ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 43.!. ВыВОд ФОРмулы теилОРА Если фУнкциа У=-Т(х) имеет в точке хо пРоизвоДнУю, тО Ее приращение можно представить в виде Лу=АЛх+о(Лх), Лх — «О, где Лх=х — «о, ЛУ=Т(х) — Уо, Уо=г(хо) и А=!'(ха), т. е. 7(х) = =уо+А(х — х,)+о(х — х„). Иначе говоря, существует лннейиая функция Рг (х) = Уо+ А (х — «О) 7(«) =Рг (х)+о(х — х,), х-«х„ Рг (хо) = уо = ~ (хо) Р1(«о) = А = ~' (хо) (13,1) такая, что причем Поставим более общую задачу.
Пусть функция Т имеет в точке х, и производных. Требуется выяснить, существует ли многочлен Рл(х) степени не выше и, такой, что ~ (х) = Рл (х) + о ((х — хо)"), х -«хо, (13.2) и )(Хо)=!'л(Хо), )' (Хо)=рл(«о) °" УОЧ(«о)=~ '„"'(Хо) (133) Будем искать этот многочлен„по аналогии с формулой (13А), в виде Рл (х) = Ао+ Аг (х — ха)+ А. (х — хо)о+ ° .+ А (х — хо)л ах х" 2. 1'пп, а)0 О х — а 3. иго х' 1п х, О ) О. х +О 1 4. 11гп хг х 1 5.
1пп (с13« — 1/к). х о 1З.1. Во)вод л()о(хвалы Теллера 21! Замечая, что Рл(х,)=А,, из первого условия (13.3), т. е. 1(хо)=Р„(хо), имеем Ао=1(хо). Далее, Р„'(х) = А,+2А,(х — х,)+...+пА„(х — хо)л-', отсюда Р„'(х) = А„и так как Р„'(х,) = т' (хо), то А, =1' (хо). Затем найдем вторую производную многочлена Рл(х): Р„'(х)=2 1 А,+...+п(п — 1) А„(х — х,)л-'. Отсюда и из Условна(' (хо) = Рл(хо) полУчим Ао= —" н вообще Р (хо) 2! ро) (,) В силу самого построения, для многочлена Рл (х) (го) (х ) 1 л (хо) = 1 (хо) + [' (хо) (х — Хо) +... + " (х — хо)" +... + —,' (х — хо) л выполнены все соотношения (13,3). Проверим, удовлетворяет ли он условию (13 2).
Пусть гл (х) в— '-' [ (х) — Рл (х). Из условия (1З.З) следует, что Гл(ХО)=1'л(ХО) =."=Гл (ХО) =О. (л) (13А) Поэтому, применяя п раз правило Лопиталя для раскрытия неопределенности л при х-+ х„а именно сначала и — 1 раз 'л (х) (х — х„)л теорему 2 из й 12, а затем теорему 1 того же параграфа, получаем". 1пп " ' = 1пп =...= 1ип = — =О, гл (хо) ° ел (х) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
