kudryavtsev1a (947413), страница 47
Текст из файла (страница 47)
у и р лжи си не 1 (дастаточные условии экстремума). Пусть функции г онасделсна на интервала (а, Ь) и неирсрывна в точке хван (а, Ьп доказатгч если 1 (строга) возрастает на интервале (а, кч) и (строго) убывает на (хз, Ы, то хч нвластси тачкой (строгого) максииума; если же функции 1 (строга) убывает на (а, х„) и (строго) возрастает на (к„Ь), то х„ивлиетсн точкой (строгого) минимума. Теорема 3 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть функция )' дифферснцируема в некоторой окрестности пгочки хгн кроме, быть может, самой точки х,~(а, Ь), в которой она яв.гяется, однако, непрерывной. Если производная ("' (х) лгеняет знсис при переходе через х, (это означает, чгпо суи(еспгв)лет гпакое число 6)0, что значения. пооизводной 1" гглгегггггг один и тот же знак всгоду в (хз — 6, ха) и противопололсный знак для всех х с= =(х,, ха+6)), то хз являетсл точкой строгого эксгпреггугма.
При энгом, если для х,— 6<х <ха выполняется неравенство г'(х))0, а для ха+6)х)х,— неравенство ('(х)<0, то ха является точкой строгого максимума, а если для ха — 6<х<хв вьиголняется неравенство (" (х) < О, а для ха+6) х)ха — нгравенство 1' (х) з О, то ха является точкой строгого минилгума (рис. 46), Доказательство. рассмотрим случай ('(х))0 для х<х, и ('(х) -0 для х з» хгн где х принадлежит окрестности точки хгн указанной в условиях теоремы.
По теореме Лагранжа (см. п. 11.2) й)=1( ) — 1(х,) =) (6) ( —,), где $ лежит па интервале с концами х, и х. Если х<хз, то х — х,<0 и )'($))0, так как х< 5<ха. Если х)х„то х — ха) О и 7'(Е) <О, так как в этом случае х,< 5<х. Таким образом, всегда гЧ" <О, т. е. точка х, является точкой строгого максимума. Аналогично рассматривается второй случай, ( ) В 14, Исследование поведения функцггй Из п.
14.1 следует, что если функция имеет всюду в некоторой проколотой окрестности данной точки хо производную одного и того же знака, а в самой точке х, производная либо равна нулю, либо не существует, однако сама функция непрерывна, т. е, если производная непрерывной функции «не меняет знака» при переходе через точку х„ то эта точка заведомо не является лычкой экстремума рассматриваемой функции (более того, функция в указанной окрестности строго возрастает или убывает в зависимости от того, положительна или отрицательна производная в точках хФхв). Рис.
46 Объединяя это утверждение с доказанной выше теоремой 3, получим следующий результат. Ес,ги функция 1' (х) определена в некоторой окрестности точки х, непрерывна при х ==х„имеет всгоду в рассмагприваемой окрестности кроме, может быгпь, точки х„производную и эта ггрогьзвгьдная с каждой сторонлг от ха сохраняет постоянный знак (следоьагпельно, можно говортпь о сохранении или перемене знака у производной при переходе через хо), пго для того, чпгобы пргс х = х, функция досп шг ало ад стрем ума н е о б х о д и м о и д о с т ат о ч н о, чтобы производная меняла знак при переходе через точку х,.
Следует, однако, обратить внимание на то, что рассмотренным здесь случаем, т. е. случаем, когда можно в указанном смысле говорить о перемене знака производной при переходе через точку хь, не исчерпываются возможные ситуации (даже для всюду дифференцируемых функций): может случиться, что в сколь угодно малых односторонних окрестностях точки х, производная функции меняет знак. В этом случае приходится применять другие методы для исследования функции на экстремум прн х=-х,. Поэтому в классе всех дифференцируемых функций теорема 3 дает лишь достаточные условия строгого экстремума.
Задача 9. Построить пример функпин, которая ди)»Ререн>>крусна на интервале, досгнгает в некоторов его точке хе строгого зкстремума, а ее производная в любой окрестности точки х„(как слева, так и справа от нее) прнни. мает и положительные и отрииательные значения (таким образом показать, ггд 14.г. Определение наибольших и наилепьших значений Рис.
4« Не следует думать, что если функция определена на интервале, то всякая точка этого интервала является либо точкой экстремума функции, либо точкой возрастания, либо точкой убывания: могут существовать точки, не принадлежащие ни к одному из указанных типов, Например, точка х=-О для функции х з1п — при х=,«:О, у= 2 х О при х=О (14.2) не является ни точкой экстремума, ни точкой возрастания, ни точк. й убывания. Производная функции (14.2) равна (см.
пример 8 в п. 9.7) ) 2хз(п — — соь — при хФО, 1 1 (14.3') у = х х О при х = О. (14.3«) Таким образом функция (14.2) дифференцируема на всей чис- л,зой оси. При х=О ее гроизводная имеет разрыв второго рода, пбо 1'ип г2хз(п--) =О, !г «-о х х) (14,4) В !гувр«еаьв Л. д. т. ! что условие изменения знака производной в данное точке, являясь достаточ.
ным для наличия строгого экстремума, не является вместе с тем необходимым). Введем еще одно понятие, которым будем пользоваться в дальнейшем. Определение 2. Пуспго 4ункг(ия 1' определена в некоторой окрестности точки х,, Будем называть х, точкой возрастания (убывания) фггнкг(ии 1, ес ги существует такое б) О, липа при х,— б~х~хо воггготяегггся неравенство 1(х) (У(хо) (соопгвегаственно 1(х)))(хо)), а пРихо х(хо+6 — неуавенство)'(х))7(хо) (состава стзенно ) (х) (7(л'о)).
Таким образом, точки возрастания и убывания функции 7' характеризуются тем, что при переходе через них приращение ЛУ лгеняет знак, а щззино с « — » на «+» в точке возрастания и с «+» ца « — » в точке убывания (рис. 47). у 14. Иве«единение поведения функций а второе слагаемое в правой части равенства (14.3'), т. е. ,! — соз —, не имеет предела при хо.О.
Кроме того зто слагаемое, изменяясь в любой односторонней окрестности точки х=О от — 1 до + 1, бесконечно много раз меняет знак. Отсюда, в силу формул (14.3') и (14.3") и (14.4) следует, что и производная функции (14.2) в любой сколь угодно малой односторонней окрестности нуля также меняет знак.
Общий характер поведения функции (14.2) изображен на рис. 48. Сформулируем теперь основанные на использовании производных высших порядков достаточные условия наличия строгого экстремума, атакже точек возрастания и убывания. 0 Х Теорема 4. Пусть в пгочке хо у функции 7 сугцествуют производные до порядка гггв 1 включительно, причем 7ггг(х,)=0 для г'=1, ..., и — 1, ~гп~ (хо) ~ 0 (14 5) Тогда, если п=2ге, й=-1, 2, ..., пг. е. и — четное число, то функция Г" имеет в точке х, строгий экстремум, а именно максимум при )'"яг(хо) (О и минимулг при ~г'яг(хо))0.
Если аке п=2й+1, й=О, 1, ..., т. е. и — нечетное число, то функция 1 не имеет в точке хо экстремума; в зтолг случае хо является точкой возрастания при )гое+гг (хо)) О и убывания при ггиеегг (хо) (О. Предпошлем доказательству теоремы одно простое замечание. Если р(х)=о(а(х)) при х — ~хо, то существует такое 6)0, что при ~х — х~ (6, хФх„справедливо неравенство ~р(х)~ — 2 ! (х)! ° (14.6) В самом деле, р (х) = е (х) я (х), (14.7) где 1пп е (х) = 0 и, ««« ~1х — хо((6, х=,йх„ следовательно, существует такое 6, что прн выполняется неравенство )е(х) ~( (14.8) Из (14.7) и (14.8) и следует (14.6).
Доказательство. Прежде всего заметим, что поскольку 7 имеет в точке х, производную порядка п-.-1, то (согласно опре- ЕЬ2. Определение наибольших и наименььиих зничений 227 делению производной) производная порядка и — 1 рассматриваемой функции определена в некоторой окрестности точки хен Поэтому и сама функция 7" также определена, во всяком случае в той же окрестности точки х,. Напишем формулу Тейлора и-го порядка для функции в окрестности точки х,, В силу (!3.5') и условий (14Л) будем иметь Л7 = ) (хе+ Лх) — 1 (хь) =, " Лх + а (х), (14.9) где а(х) =о(Лх"), Лх — »О, и, значит (см.
п. 8.2), Грьи (х,) а (х) = о ! ', ' Лхн), Лх-+- О. Поэтому, согласно сделанному замечанию, существует такое б'- О, что при ~Лх)(Ь, Лх~О, !а(') !'С ! ~~ — ( — 1 Лх" ~. Отсюда следует, что при )Лх «. Л„Лх~ О, знак правой части равенства (14.9), а значит и знак Лг совпадает со знаком первого слагаемого правой части. Если еь = 2я, й = 1, 2, ..., то в (!4.9) Лх возводится в четную степень, поэтому знак Л! не зависит от знака Лх чьО, и, значит, х, является точкой строгого экстремума, причем точкой строгого максимУма пРи !":»ь'(хь)(0 (в этом слУчае Л) '0) и стРогого минимУма пРи Р""(хь))0 (в этом слУчае Лр~ 0).
Если же я=2!«+1, !«=0, 1, 2, ..., то Лх возводится в нечетную степень, поэтому знак Л) меняется вместе с изменением знака Лх, и, значит, х, не является точкой экстремума. Если Лх меняет знак с « — » на «+», то при )'»"ы(хь)) 0 приращение Л) меняет знак с « — » на «+», и, значит, х, является точкой возра- станиЯ фУнкции 1, а пРи !т»"ьн(хь)(0 пРиРащение Лг менЯет знак с «л-» на « — », и, значит, хь является точкой убывания функции г. ( ] Из доказанной теоремы вытекают, в частности, при и = 1 и п = 2 два следствия. 1. Если !"'(хь)) О, то хь является точкой возрастания функции; если )'(х,)(0, то хе — точка убывания функции.
2. Если !"'(хь) =О, а 1" (х,) чьО, то нри !'"(хь)) 0 хь является точкой строгого минимума, а ари 1'(хе)(0 — точкой строгого мйксимуиа функции )' (рис. 49). Следствие 1 остается в силе и для бесконечных производных: если 1' (х,) =- 1- сэ (соответственно 7'(хь) =- — о. ), то х, является точкой возрастания (соответственно, убывания) функции.
В самом деле, если, например, !'(хь)=+о», то для любого е- 0 и, Вь У !4. Исследование поведения сРрнкцла ггв в частности, для г=-1 существует такое 6)0, что при всех Лх, удовлетворяющих условию ! Лх ~ < 6, имеет место неравенство ~~ ) 1. Поэтому при 0 = Лх < 6 имеем Лу) Лх ) О, а при — 6< Лх<0 — аналогично Лу<Лх<0, т. е. х,— точка возрастания. Подобным же образом рассматривается случай г"' (х,) = = — со. ! Заметим, что из первого след- 1 ствия еще раз вытекает теорема — — ьрс,рр~.ид.
действительно, если функция ) (х) определена в некоторой окрестноРис. 49 сти точки х, и имеет в этой точке экстремум, то производная в х„ не может быть нн положительной, ни отрицательной, так как в противном случае функция либо возрастала, либо убывала бы в этой точке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
