kudryavtsev1a (947413), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Этим и объясняется название «теоремы о среднем» для этой группы теорем. Докажем последнее нужное нам утверждение этого типа. Теорема 4 (Коши). Пусть функции т и д 1) непрерывны на отрезке 1а, Ь1; 2) илитот производные в каждой точке интервала (а, Ь); 3) д'~0 во всех точках интервала (а, Ь). Тогда существует такая точка $, а<3 <Ь, что 1(Ь) — 1(а) Р Я) я(Ь) — я(о) е' Я) ' Заметим, что из условий теоремы следует, что формула (11.11) имеет смысл, т.
е. д(а) чьу(Ь). В самом деле, если у(а) =д(Ь), 2дд д 1!. Теоремы о среднем длл длфферелцируемых функций Р(х) =1(х) — Ло(х), (11.12) где число Л выберем таким образом, чтобы Р(а) =Р(Ь), т. е. чтобы 1(а) — Лд(а) =1(Ь) — Лд(Ь). Для этого нужно взять «Ь] — (РО л (Ь) — д(о) (11. 13) Функция Р удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, следо- вательно, существует такая точка $, а($(Ь, что Р'(с) =О. Но из (11.12) Р'(х) =1'(х) — Ла'(х), а поэтому Г (э) =Лй'(ь) =О откуда следует, что Л= —,: —. а' (э) ' (11.14) Сравнивая (11.13) и (11.14), получим формулу (11.1!), обычно называемую формулой конечных приращений Коши, ( ] Отметим, что формула конечных приращений Лагранжа является частным случаем формулы конечных приращений Коши, в кото- ром р(х) =-х.
Мы привели независимые доказательства этих фор- мул, во-первых, из-за той важной роли, которую играет формула Лагранжа, а во-рторых, чтобы иметь возможность, используя одну и ту же идею (построения вспомогательной функции, удов- летворяющей условиям теоремы Ролля), применить ее дважды в доказательствах, причем сначала для большей наглядности в более простом случае. Формула Коши (1!.11), так же как и формула Лагранжа (11.3), справедлива не только если а(Ь, но и для а~Ь. 1 У п р а ж н е н и е 4. Пусть 1(х) = х' яп — при х чь 0 н 1(0) = О.
Применим х к этой функции на отрезке 10, х] формулу Лагранжа: ! 1 . 1 1] хз яп — = ~2й а(п -- — сем —, х, х ( $ где 0( В ~х. Сократим обе части равенства на х при х~О: 1 . 1 1 х яп — =2й з1п — — соз — —. е Переходя здесь к пределу при х-з 0 (при этом, очевидно, $-+0), получаем ! Игп сгм — =О, о то функция д удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля и, значит, нашлась бы такая точка $, что д'(с) =-О, а< 5 (Ь, что противоречило бы условию 3.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцикь гв1 12,1, 7(еопределеяностц вида 0<0 тан как два других слагаемых, очевидно, стремятся к нулю. Вместе с тем 1 предел функции соз . - при стремлении аргумснга к нулю не существует! Где ошибкар Задача 7 (Дарбу*').
Доказать, что если функция дифференцируема иа отрезке, то ее производная, принимая накис-либо два значения, принимает и любое промежуточное. 5 12. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕИ ПО ПРАВИЛУ ЛОПИТАЛЯ Во многих случаях отыскание предела функции, заданной аналитически, при стремлении аргумента к некоторой точке (числу или к одной из бесконечностей со, + со или — сс) выполняемое путем формальной подстановки соответству>ощего значения вместо аргумента в формулу, задающую рассматриваемую функцию, приводит к выражениям вида, †.-, О <х>, сс> — со, О, с. О' со' или 1 . Они называются неопределенностями, так как по ним нельзя судить о том, существует или нет указанный предел, не говоря уже о нахождении его значения, если он существует.
В этом случае вычисление предела называется также «раскрытием неопределенности». Йаряду с основным приемом, нахождения пределов функцни— методом выделения главной части, существуют и другие способы отыскания пределов. Некоторые из них, носящие общее название правил Лопат<ил**>, мы изложим в этом параграфе. 12Л. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ВИДА О/О Теорема 1. Пусть функции 1'(х) и д (х), определенна<в на отрезке (а, (>1, таковь<, ч<ло: 1) 1(а) =д(а) =О; 2) существуют производные (правос<поронние) Г' (а) и д' (а) при- чем у'(а) ФО. Тогда суи(ествует предел 1ип — ' 1(х) Р (а> к а + е в (х) в' (о) Док азате ль)ств о. Применим метод выделения главной части. В силу условия 2 имеем (см. и.' 9.2).
1(х) =1(а)+Г' (а) (х — а)+о(х — а), д (х) =а(а)+д'(а) (х — а)+о(х — а). Отсюда, согласно условию 1, получим, что 1(х) =Г'(а) (х — а)+о(х — а), а(х) =у'(а) (х — а)+о(х — а), *' Г. Да р б у (1842 — 1917) — французский математик. ч" Г. Л о п и та л ь (1661 — 1704) — французсний математик. усу у 12. Раскрытие яеопределепиостео по правилу Логгиталя а поэтому о (х — а) 1(х) . ) х — а 1' (а) + О д (х) + О ..
. , о (х — а) д' (х) ' В теореме 1 предполагалось существование производных в точке а. Докажем теперь теорему, близкую по содержанию к предыдущей, в которой, однако, не будет предполагаться существовапне производных 1' (а) и д' (а). Теорема 2. Пусть функции 1(х) и у (х): 1) дифферениируемы на интервале (а, Ь); 2) 1пп 1(х)= 1!ш д(х)=0; к аэо х а.г-о 3) у' (х) Ф 0 для всех х ~ (а, Ь); 4) существуепг конечный или бесконечныи, равньсй + со или со, предел )гш р() к а+О К (Х) Тогда существует предел 1!гп — '= !!ш 1(х) . Р (х) к-ач.о У(х) х-а.~.а У'(х) ' Пх) 1 (х) — 1 (а) 11' гч) у(х) у(х) — у(а) у' '(кй) ' (12Д) причем 1пп а (х) = а.
к а -~- О Поэтому, если существует 1пп — =Ь, то из правила замены 1' (х) „,~оа'(х) переменного для пределов функций следует, что существует и !пп —,' =Ь. Теперь из (12.1) получаем Г (=.) к ав-О а (О) 1'пп — = 1!ш, ". =й. ( ) 1(х) . Р (Ы к-а+О И(х) х-а ~-О У'(й) Теоремы 1 и 2 остаются верными с естественными видоизменениями, как в случае левостороннего, так и двустороннего предела. Теорема 3. Пусть функции 1 и д: 1) дифференцируелгы при х) с; 2) !!гп 1(х)=0, 1ип д(х)=О; к +со к +О» Дока з а тель ство. В силу условий теоремы функции ) и д не определены в точке а', доопределим их, положив 1(а) = у (а) = О. Теперь )' и у непрерывны в точке а и удовлетворяют условиям теоремы Коши о среднем значении (см.
п. 11.2) на любом отрезке (а, х1, где а(х(Ь. Поэтому для каждого х, а(х(Ь, существует такое ч=~(х) ен(а, х), что СДС. йевлределеиноехи вида 010 хоз 3) д'(х) чь О длп всех х ) е; 4) существует конечньсй или бесконечньсй, равньсй + оо или — сю, предел 1пп —,„—. р (х) х -С-сов ( ) Тогда существует и предел !1пс — '= !пп ! (х) р (х) + а (х) , + а'(х) ' Д о к а з а т е л ь с т в о. Без ограничения общности можно считать, что с)О (если с СО, те в качестве нового значения е возьмем, например, с=1).
1 Выполним замену переменного х= —. функции сг(С) =С (111) с' и ф(С) =д(111) определены на интервале (О, 1сс); если х-э+ со, то 1 — «+О и наоборот, На интервале (О, 1се) существуют произ- водные р'(с) = — ! ~~ —: —, и ф'(с) = — у с — ) —,, ~с) сс 111) Со' примененной к функциям со(С) и ф(!), сле- Е Но Теперь из теоремы 2, дует, что !оп — = т у) с-+о "(с(с) Ч (С) ! (1СС) ! (х) ~~ (С) у д(1СС) а (х) ' где х= —, поэтому 1 = 11 1цп — = 1цп — =)с ( ) ! (х) . со (С) х +оэ Ы(х) с -1.о ~Р(О Эта теорема остается верной с соответствующим видопзмене" нием, и при х-ь — со. где штрихом обозначены производные функций ( и д по первоначальному аргументу.
Из сказанного и условий теоремы следует, что функции ср(1) и 1р(1) удовлетворяют на интервале О, — ~ условиям 1, 2 и 3 11 теоремы 2. Покажем еще, что из существования предела 1'пп —,', который обозначим через сс, следует существование р (х) х а+оЫ (х) предела !пп —, и равенство его сс, т. е. что выполняется и сг' у) с - + о сг (с) условие 4 теоремы 2. Действительно, используя полученные выражения для производных со'(с) и с1!'(1), находим 1пп —,, = ! пп —, =- 1пп —, = )с. Ч' (С) . Г (1Н) Г (х) -ьо "Р (') с-+ой'(1СС) «-+- Х' РО 2ОГ э /2. Рпекрытпе неопределенноетегг по правилу Лопиталя $2.2, НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВИДА ао/ао Теорема 4. Пусть функНии /(х) и д'(х): 1) дифференцируемы на интервале (а, Ь); 2) 1пп /(х) =оо, Игп д(х)=оо; т а+О к а-го 3) и'(х) чь О на (а, Ь); 4) сугг(ествуепг конечный или бесконечный„равный +со или — со, предел Игп /' (.) х +Оп (х) Тоеда сул(ествуепг и предел 1'пп — = 1пп / (х) .
/' /х) , + о е (х) , .ал о е' (х) ' (12,2) Доказательство. Пусть сначала предел (12.2) конечен; обозначим его через /г; Игп —,~ =й. р (х) х -а Е О Я РО Покажем, что и Иш — =й. / (х) * а+О и (~) Для этого выберем точки х„н х так, чтобы а ~ х ~ х, ( Ь.
Тогда на отрезке )х, х,1 фуикппи / и д будут удовлетворять условиям теоремы Коши. Поэтому согласно этой теореме существует такая точка $еи (х, х,), что г(х) — /(х,) /' я у(х) — е(х~) Е'(О) ' / (х,) /(х) ' / (х) / /(:) Л (х) и (ха) у' д) ' й (х) получим й (ха) /(х) г' Н) е (к) ц(х) й'(4) /(хо (12.3) /РО Как бы пи выбирать при заданном хо точку $ так, чтобы выполнялось неравенство а(» — — $(х,х,):х„в силу условия 4) теоремы будем иметь 1пп —,,— = /г, р Г) х,- +О У (») (Очевидно, точка ~ зависит от выоора точек х и хть т.
е, ~ = -= ~(х, х,)). 11айдем из этой формулы отношение /(х)!д(х). Переписав ее в виде 12.2. Неопределенности вида аа/аа 205 а прп фиксированном х, в силу условия 2) теоремы получим я (ха) 1 —— 1пп ~ =!. (х) ) (ха) «« ! (х) Однако, в правой части формулы (12.3) нельзя просто вос- пользоваться теоремой о пределе произведения функпий, так как пределы стоящих там сомножителей берутся при разных усло- вияк: в одном случае точка х, стремится к точке а, а в другом— точка х„фиксирована, а к точке а стремится точка х. Тем не менее каково бы ни было е'- О, всегда можно выбрать х„так, чтобы отношение ('Я)1д'(1) было столь близко к числу й для всех 5~(а, х,), а затем выбрать такое 6)0, чтобы отношение р (ха) )(х ) было столь близко к 1 для всех х~(а, а+6), что 1 — —" )(х) в результате для всех указанных х выполнялось неравенство ~ )() й~( Собственно говоря, теорема в случае конечного предела (12.2) доказана, н на этом месте можно поставить знак [~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
