kudryavtsev1a (947413), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Если положить г= — н выбрать Лх так, что (Лх((/г, то /г (х) /, (х) Л(хо) Л(хо)+Лдг 1в (хо) /о (хо)+ Лдв Л /г (хо+Ли) )о (х„+ Лх) поэтому Лдг Лдо Лг Лх — — /о (хо) — Л (хо)— Лх 1/о (хо)+Луг) /о (х„) Отсюда, как и нри доказательстве формулы (9.17), заключаем, что в точке х=х, существует 1(пг — =г', и г' ="'"',"'"'.
( ) ьх о У1 Следствие 1. Пусть функция у =/(х) имеет производную в точке х,. Тогда функция с/(х) (с — постоянная) также имеет в этой точке производную, причем (су)' = су', 2'. Пусть функции 1/г=/(х) и уо=Ях) имеют производные в точке х,. Тогда и их произведение угуг=/г(х)/в(х) имеетв точке хо производную, причем (Угуо) =Угув+Угуг~ (9.17) а если уо~ О, в хо, то частное — = — также имеет в точке х, УЛ /г(х) уо /г Рд производную, причем пг Э У. Производная и диФЧ1еренциал т.
е. производная произведения функции напоспюянную равна произведению этой постоянной на производную функции, Действительно, вспоминая, что с'=О, из формулы (9.17) получим (су)'=с'у+су'=су'. ( ) (9,!9) следствие 2, пусть фунлции ус=71(х), ..., у„=(„(х) имеют производные в точке х,', тогда функи,ия с,)(х)+...+с,7„(х) также имеет в точке хо производную, причем (С,У,+...+С„У„)'=С,У1+...+С,Ув, т. е. производная линейной комбинации функций равна линейной комбинации с этими же коэффициентами соответствуюи(ах про- изводних. Это утверждение непосредственно выводится из формул (9.15) и (9.19) с помощью метода математической индукции. Замечание.
Используя свойства бесконечных пределов, от- носящиеся к арифметическим действиям над функциями (см. п. 4.7), можно установить и соответствующие свойства бесконечных про- изводных. Например, если существует конечная производная у,'(хо) и бесконечная (определенного знака) производная у',(х,), то у функции у(х) ='у,(х)+у,(х) в точке х, существует беско- нечная производная того же знака. Например, если у,'(х,) =+со, то у' (х,) = +со. Действительно, Лу = Луг+ Луо Поэтому если .'ЛУ, .
ЬУ5 существует конечный предел !ип - — и !пп —,=1=-+со, то ь о х ь о "х Лх !1гп У !1пз !-.'У1 ! Уз\ !1гп У1 ! !1гп ~У5 со Ьк-ОЬХ Ьх-01ЬХ ЬХ) Ьх О ЬХ Ьх О ЬХ 2. Пусть у= 1ях; так как 1цх = — ' —, то по формуле (9.18) получаем 5 1 51П Х 1 ССМ Х Соз Х вЂ” 51П Х ( — 51П Х) 1 (СЗ15 Х ) СО5 Х сиззл' Таким образом (1ях)' = —, 1 3. Аналогично для у=с1ях Сов яс' ( — 510 Х) 510 Х вЂ” Созхе05Х Мпх) — Мпзх '-( 1 Мпзх ' т. е.
у'(хо) =+со. Примеры. 1. Пусть у=е" ыпх — 2х'созх( в силу формул (9.15), (9.17) и (9.19) имеем у'= (ех ып х)' — 2(х'сов х)' = = ех ып х + е" сов х — 2 (2х сов х — х' ы и х). У.б.Лроивводнал обратной функкаи т. е. (с(н х)' = — —, Свойства 1' и 2' переносятся и на дифференциалы функций. При тех же предположениях относительно дифференцируемости в точке хв имеем: с( (Утув) = Ув дут+Ут дусь д Сут Сст с(сп Ус йув .ув С у) '1 (У!+ Уз) = дут+ дут д (су) = сду; Вычислим, например, дифференциал произведения у = у,у,: ду = у' дх = (у,у,)' дх = усуа дх + у,у,' дх = уа ду, + у, дусь ибо у;дх=ду„у.,'дх=ду,.
Аналогично доказываются и остальные формулы. 9.6. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ Теорема 3. )!усть функция У=1(х) непрерывна и спгрого монотонна в некоторой окрестности точки хв и пусть при х=хв 4 (хв) существует производная й ' ~0; тогда и обратная функция х=Гт(у) имеет производную в точке ув=((хв), причем йс '(Ув) ! йу йС(хв) ' йх (9.20) Лх ! Ау Лу' Ах При Лх-н.О (или, что то же в силу сказанного выше, при Ьу-с 0) предел правой части существует, значит, существует и сп.
е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. Д о к а з а т е л ь с т в о. Зафиксируем какую-то окрестность точки хв, на которой функция Г определена, непрерывна и строго монотонна и, будем рассматривать Г только в этой окрестности. Тогда, как доказано ранее (см. п. 6.3), обратная функция определена и непрерывна на некотором интервале, содержащем точку у,; он является образом указанной выше окрестности точки х,. Поэтому, если Лх=х — хв, Ау=у — у„у=с (х), то Лх-+О равносильно Лу-~ О. Для любых ЛхФО, АУ~О имеем б У. Производная и дифференциал 774 предел левой части, причем Лх .
Лх 1 1 1)пт — = !ип — = — = ве о У ак о У Нщ ЛУ 4 (хэ) в обх Но 1пп л —— — ", поэтому —" = —. ( ) Лх 4 '(у„) 4 '(у.) ва-о ЛУ дУ ду д4)(хэ) ' Их Эта теорема допускает наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 38). Как известно, — „= 1дсх, где а — величина угла, 4 (хо) обРазУемого касательной гРафика фУнкции 1 в точке (хо, Уо) с положительным направлением оси у гэ 4 '(у) Ох, а — "= 1й р, где й — величи- пх на угла, образованного той же касательной с осью Од.
! — и Очевидно, р) =-- — сх, а поэтому Ф ! хе и дг '(Уэ) ! д "=101= с, с!й й ! 1 ! с!й (п)2 — а) !й сс 4 (х„) дх Упражнения. 1. Доказать, что если функция 1=)(х) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки хр, если в этой точке суще- 4 (х'а) ствует производная и а =О, то обратная функция ) — г(у) имеет в точке дх уз=)(х,) бесконечную производную; следовательно, если считать условно, что ! — =со, то формула (9.20) справедлива н в этом случае, О 4.
Сформулируйте и докажите аналог теоремы 3 для односторонних производных (конечных и бесконечных). Примеры. 1. 1(=агсз(пх, к=з(ну, — -2- --у~ 2, — 1~х--.1. Применяя формулу (9.л()), получаем ду, 1 1 дх — = (агсз)п к)' = — = —. ах соз у ду Так как — 2-~у~-, тосозу О, поэтому соху= )/1 — з(п'у = з= )гни — х'. Таким образом, (агсз(п х)' = )' 1 — х 9,7. Производная и дифференциал олозкное функции 176 2. у=агссозх, х=соэу, О~у~я, — 1(х~1. Аналогично предыдущему примеру имеем: ву 1 1 — = (агссоз х)' — — — — —.
вх Вх оиз у ву Р 1 — соо'у У! — хо ' т. е. (агссозх) = — —. 1 )' 1 — хз 3. у = агс1Я х, х = 19 у, — —" с, у ( "-, — сю ( х < + со. Имеем. ду ;,-„- = (агс1н х) ' = 1 з,—, = сов у = . Ф х о итак, (агс1я х)' = 1/(1+ х'). 4. у = агсс(д х, х = с1я у, О .. у С и, — ос < х < со. В этом случае ау т, е, (агсс1н х)' = —, 5.
Если у=1од,х, х=аи, а~О, аФ1, х- О, — со~у< +со, то — =(1оЯ х)' = — = ву Вх " дх аи !па х1па' ду т. е. (1од,х)' =— х!па' в частности, при а=е имеем (1нх)' = — „. 1 9.7. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Ф' (хо) = и' (уоу' (хо) ° (9.21) Теорема 4. Пусть функция у=7(х) имеет производную в точке хо а функция г=у(у) имеет производную в точке уо — — 7" (хо).
Тогда сложная функция Ф (х) = Р 17" (х)1 также имеет производную при х=хо, причем » в. Произ«одних и дифференциал Если сложную функцию Ф обозначить символом Ф=-Р ~ (см. и. 4.2), то формулу (9.21) можно записать в вида (Р К(х,) =Г'()(х,))Р'(х,). Следует обратить внимание на то, что утверждение о существовании в точке х, производной у сложной функции Р(Г(х)1 содержит в себе предположение о том, что рассматриваемая сложная функция имеет смысл, т.
е. определена в некоторой окрестности точки х,. Опуская значение аргумента н используя запись производной с помощью дифференциалов„равенство (9.21) можно переписать в виде дг дг ду Ых ду йх ' Доказательство. Согласно теореме 2 настоящего параграфа, функции у=-д (х) и г=г" (у) непрерывны соответственно в точйах х, и уо=-)(хо), и, следовательно, в силу теоремы 2 из п.
5.2, в некоторой окрестности точки х, определена сложная функция Ф(х) =Г[)(х)]. Положим, как всегда, Лу=-у — у„, Лх=х — х,. Функция Е имеет в точке у, производную и, значит, диффзренцируема в этой точке (см. п. 9.2), т. е. Лг=Г'(уо) Лу+в(ЛУ) Лу (9.22) где 1)гп в(ЛУ) =О. Функция е(ЛУ) не определена при ЛУ= О. йе-о Для дальнейшего удобнее доопределить ее и при ЛУ=О. Это можно сделать произвольным образом.
Проще всего продолжить ее «по непрерывности», положив е(0) =О. Доопределенная таким образом функция е(Лу) непрерывна при Лу=О. Поделим теперь обе части равенства (9.22) на Лх~О: г (уо) + е(Лу) (9.23) Функция у=((х) имеет производную в точке х„т. е. существует предел 11гп Л-,.— — )'(хо). (9.24) Из существования производной Г'(х,) следует непрерывность функции у=((х) в точке хо. !нп ЛУ=-О.
йк о При Лх=0 имеем ЛУ=О. Следовательно, приращение Лу, рассматриваемое как функция Лх, непрерывно в точке Лх=О, Поэтому, согласно правилу замены переменных в предельных соот- 9.7. ГГроивводная и ди4ференииал елояснод финкиии !77 ношениях, содержащих непрерывные функции (см. п. 3,2), (9.26) 1пп е(Лу) =--О. а о Теперь из (9.23), переходя к пределу при Лх-э-О, в силу (9.24) и (9.25), получим формулу (9.21). ( ) 3 а меча н не. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
