kudryavtsev1a (947413), страница 40
Текст из файла (страница 40)
9.2). Упражнения б. Ответнть на вопросы. ?бозкво лн доказать формулу дз дх ду да — — = — — — прн дуло, просто умножив н разделив — — на ду? Л1онсво нлп дх ду дх дх дх 1 нет доказать формулу — = — прн с1хчьо, разделив числитель н знаменаду ду дх дх тель дробк — на дх? ду б. Выяснить будет лн функция 1 х з1п — прн х сь О, 1(х)= х О прн х=о. непрерывной в точке у=о? Будет лн она иметь производную в этой точке? Будет лн она иметь в ней односторонкне пронзводные? 9.8. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ПХ ПРОИЗВОДНЫЕ Определение 5.
Функции (е" +е-х)12 и (е — е- )12 нагыоаются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом и обозначаются с)зх и йх: ах+~ х вх в х 2 ' 2 =с)зх, — =з)зх. цируемая функция, то (з(зз и)'= и'соки (е")' = еии'; (1и и)' = — ' (и) О); (агсз1п и)' = иа ' (агссоз и)' =— У1 — из' (агс1я и)' = и (агс1я и) = — — „,. 9.8. Гиперболические Чзуикяии и их производные Справедлива формула сп~х — зп х= 1. Действительно, (9.28) сЬ»х — зй«х=( ) — ( ) = (е»х+ 2+ е»х е-«х+ 2 е-«.ч) 4 Справедлива также формула з'о 2х = 2 зп х сп х; в самом деле, Еч + е-х е.х Е-х Езх Е -«х 2знхс)зх — 2 2 2 — 2 — зп2х.
Эти формулы напоминают соотношения между обычными (как их иногда называют, круговыми) синусом н косинусом. Для зпх и сих имеется и ряд других соотношений, аналогичных соответствующим формулам для з1пх и созх. Этим и объясняется название функций з(зх и спх. Эпитет же «гиперболический» связан с тем обстоятельством, что формулы х=асн(, у=азиг (9.29) параметрнчески задают гиперболу, подобно тому как формулы к=асов(, у=-аз1п( (9.30) параметрически задают окружность. В самом деле, если возвести в квадрат равенства (9.29), вычесть одно из другого и воспользоваться формулой (9.28), то получим х' — у'=а', т.
е. уравнение равнобочной гиперболы. Подобным же образом из уравнения (9.30) вытекает х'+у'=а', т. е. уравнение окружности. Найдем производные гиперболических синуса и косинуса. Замечая, что (е- )' = — е-', имеем (с)зх)'=( 2~ ) = ( 2 е' — е-х = айх, е +е- 2 с х' в'ох сйх — =(Ьх, — =сйх. свх ' зпх Таким образом, (снх)'=зпх, (зпх)' =сох. зззх «вх Частные —,„и — „по аналогии с обычными синусами и косинусами называются соответственно гиперболическим тангенсом и гиперболическим котангенсом и обозначаются 7В4 р !В. Производные и дифференциалы высших порядков У п р а мнения.
7. Вычислить производные функций (йх и с(йх. Построить графики функцнй у=ей х, у=ей х, у== юх и у=с1ах. Найти производные их обратных функций. Выразить указанные обратные функции и их производные через логарифмы (функция, обратная к ейх, определяется дополнительно условием неотрицательности ее значений). Вычислить производные следующих функций (во всех точках, в которых зто возможно), 1 29. у=агссоз —, сйх ' 30. у =-Ь-х+ 2 21 оз Ь» и а -Ги — Ь х) х асс!8(17 — 18 — ) (О -Ь ~и). а+в 2,) $10.
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 10.1. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ Определение 1. Пусть функция 7" (х), определенная на интервале (а, Ь) имеет в каждой точке хея(а, Ь) производную ~'(х) и пусть х, ен (а, Ь). Если при х =хо производная функции ~' (х) существует, то она называется второй производной (или производной второго порядка) функции р и обозначаегпся через 7»(ха) или )чз! (х,).
Таким образом, !'"(хо) =1!'(х)1;=„, или, опуская обозначение аргумента, у" = (у )'. Аналогично определяется п р о и з води а я у!"! любого порядка п=1, 2, с если существует производная у!"-О порядка п — 1 (при этом под производной нулевого порядка подразумевается сама функция: ущ! = у, а под производной первого ПОрядКа — у'), тО, ПО ОПрЕдЕЛЕНИЮ, усп! =[у(п-'1]'. 8 у = хз (хз — ! )».
х'+ 1 9. у= хз — х+1 ' 10. у= зГх. 1 11. у=== Ух !2. у=х'мп 2х-1-2хсоззх. 13, у=1п 12 - -. $ 1 !4, у=ух с182х — - — 1пхагс1йх. 2 15. у=2» 1пагссоьх. ! 16. у=агссоз —. х х 17. у=хуи' — хе+из агс1д —. и 18. у=хз ~ х ~. рй у — х» 20, у=! х !!п1х!. 2!.
у= 1п (х+)Гхз+и»). 1 хз+»1~2+1 У2 х' — х У2 -1-1 1 хУ2 + — агсс(й 1 — хе ' 23. у=агс12 х+1 х — 1' агссдп х ! 1 — х 24. у = — +- 1п 1' 1 — хз 2 !+х » 25. у=зГ» ° 26. у=х» +хв +о» ° 27. у=(е1п ») ' +(сов х)м" » ейх х 28. у= — — !п сШ --. з)з х 2' 10.1. Производнвсе высших порядков 1ВВ Вспоминая как определялась производная (см. п.
9.1), определение и-й производной в точке х, можно записать в виде предела 1()(хв)=1]гп ' ("з+ ") — ' (в) =! 2 ь в Отметим, что из предположения, что функция 1 имеет в точке х, производную порядка и, следует, в силу определения последней, что в некоторой окрестности точки х, у функции 1 существует производная порядка и — 1, а следовательно, при и) 1, и все производные более низкого порядка Й( и — 1 (которые к тому же непрерывны в этой окрестности, поскольку во всех ее точках они имеют производную, см.
теоремы 1 и 2 в п. 9.2), в частности сама функция определена в некоторой окрестности точки х,. Все здесь сказанное естественным образом переносится и на так называемые односторонние производные высшего порядка, которые читатель без труда определит самостоятельно. Определение 2. Функция называется и роз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, если во всех псочках этого промежутка она имеет непоерывные производные до порядка п включительно (п=О, 1, 2, ...). При этом на каком-либо конце рассматриваемого промежутка в случае, когда этот конец принадлежит промежутку, под производными, как обычно, понимаются соответствующие односторанние производные.
Для того чтобы функция была и раз непрерывно дифференцируемой на некотором промежутке, достаточно, чтобы она имела на нем непрерывную производную порядка и. Действзггельно, согласно определению, существование производной порядка и на рассматриваемом промежутке предполагает существование на нем производной порядка и — 1, и поскольку из существования производной какой-либо функции в некоторой точке следует непрерывность функции в этой точке, то производная порядка и — 1 непрерывна на данном промежутке. Аналогично, в случае п)1 доказывается непрерывность производной порядка и — 2 и т. д.
Примеры. 1. у=хз у'=Зхз у"=бх' у(з'=6 усе=у~в>= =... = О. 2, у = а.", у' =а'!па, у" = ах !п'а, у'= а" 1пз а. Всюбще по индукции легко установить, что у~"> = ах!п" а. В частности, (ех)оо ех 1, О 1 2 3, у=э]их. Вычисляя последовательно производные, получим у'=созх, у"= — з]пх, упн= — созх, ума=в]пх, далее производные повторяются в том же порядке. Чтобы записать полученный результат одной формулой, заметим, что созсс=з!п(а+-- ], и 2/' поэтому у'=созх=з]п(х+ — ), у"=сов]х+--]=в]п(х+2 ~) и т.
д. Иб У 70. Ороиааодлые и дифференциалы еыешик лорлдкоа ПО ИидуКцнн (а!ПХ)(л>=2!П~Х+П- ! дЛя ЛЮбОГО а =1, 2, .... 2/ 4. У=созх. Замечая, что — 2!псе=сов((2+г'-), аналогично 27' предыдущему примеру получим (созх)(л>=сов(х+п-2), и=1, 2, 10.2. ВЫСШИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ Теорема !. Пусть функции У1=71(х) и У2=72(х) имеют производные п-го порядка в точке х,; тогда функции у,+у,= 21(х)+ +>2(х) и у)уг=(1(х)(2(х) также имеют производные и-го порядка в точке х„причем (у +у)(л> у(л)+у(п) (10.1) (у у )(и) у(п>у +С(У(л 0 ()> 1 Сгу(п 2)у(г>+ ) у у(л> и ! 2 л 1 л = ч" ,С' '"-" "' (10.2) а=а где, как обычно, С, обозначает число сочетаний из и элеменп>ов а пой(2=0, 1, 2, ..., и). Формула (10.2) обычно называется формулой Лейбница *', ее символически можно записать в следующем виде, удобном для запоминания: (У)У2) (У1 + У2) Индекс (п) означает, что выражение (у, + у,)(л> записывается подобно биному Ньютона, т.
е. в виде суммы с теми же коэффициентами, что и в биномиальной формуле, только степени функций у, и у, заменяются их производными соответствующего порядка (см. (10.2)). Формулы (10.!) и (10.2) доказываются по индукции. При п=1, т.
е. для производных первого порядка, они были доказаны в п. 9.5. Пусть теперь эти формулы верны для производных и-го порядка. Докажем их справедливость для производных порядка и+1. В случае суммы функций имеем: (у +у )(л+1) — ](у +у )(л)] — (у( ) + у(л)) Ь"') +(у'л') у'л""+у'л" ' Формула (10.2) доказана. " Г. Ле й ба н ц (>662->7!6) — немецкий философ н математик. Г0.2. Высшие производные суммы и произведения фуинмие гау В случае. произведения функций выкладки несколько сложнее: (рп,!""" )(р,д,) "7= ~ т, с)«Г-"«Р1— М=. а Чч, «! (и.! 1 — «) («) (и — Ю («+(Л вЂ” и!У! У2 +У) У2 1~ Ч(, «(Л+1 — «) И), 'С) «(л — «) М+1) к л ! лу( У2 ! ~и !"лу( Уг «=а и и — 1 (и+1) (0), Ч ! с л (п.)-1 — «) «, чч, «(л-«) М+1), (0) (л+1) = У( Уг + с «У! Уг + Р( '- У! Уг + У! Уг «=1 «=-а Здесь мы воспользовались тем, что Са=Сп=!.
Теперь изменим индекс суммирования во второй сумме, положив й=р — 1; тогда новый индекс суммирования р будет меняться от 1 до и. После этого в полученных суммах объединим попарно слагаемые, содержащие производные одинаковых порядков. Обозначая общий индекс суммирования через р, будем иметь , )(л+1> (л+1) (а)+ т~л (СР 1 СР— 1) (пе! — Р)у(Ю+ Ю> Ы+П р=) Отсюда, заметив, что С„'+СР =Си+1 *> н чт С„+(=Слч+1=1, получим (у у а л«к) — у(« +1)у(а) + ~~ Ср у(л+1 — р)у( р) + у(а>у(л+1]— 1 2/ 1 2 л+1 1 2 1 2 р =-! и+1 = У. С„ ,у( -- - у, . Г-) р =-а Следствие. Если с — постоянная, а у=-)(х) — функция, имеющая производную и-го порядка в точке ха, то функция сЦх) такяге имеет производную порядка и при х =ха, причем (еу)(п) = еу'">. (10.3) Действительно, если в формуле (10.2) положить у,=с, у,=у, то получится формула (10.3).
Впрочем, она следует очевидным образом н нз и-кратного применения ф()рмулы (9.19) к функции су. *1 В самом деле, если зафиксировать один из л+1 элементов, составляющих сочетания по р элементов, то числа сочетаний, в которое вошел этот фиксированный элеиент, будет равно СР, а число сочетаний, в иотарое он не вошел будет равно Сю поэтому СР 1 — — СР !+С„". Г88 З 10.
Проивводиые и дифференциалы выыиих порядков Рассмотрим пример. Пусть у=хвз!пх. Найдем с помощью формулы Лейбница производную уаь'. (хвз!пх)ыь~=х'Мп х+10 -!+!О Зх'з1п~х-~-9 )+ +10 9 ЗхМп !х+8 — )+10 9.8з!п(х+7 .--) = = — х' з!пх+30х'созх+270х з!пх — 720 сов х, 10,3, ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ, ОТ ОБРАТНЫХ ФУНКЦИЙ И ОТ ФУНКЦИИ» ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ Пусть функция у=у(х) имеет вгпорую производную в точке хв, а г=г(у) — вторую производную в точке у,=у(х,). Тогда сложная функция г!у(х)) имеет при х=х, вп|орую производную, причем гхх = г ух + глух»' (10.4) Действительно, поскольку существуют производные у" (хв) и г" (ув), то существуют также у'(хо) и г'(у,).
Следовательно, функции у(х) и г(у) непрерывны соответственно в точках хо и у,. Поэтому в некоторой окрестности точки х, определена сложная функция г=г(у(х)). Дифференцируя ее и опуская для простоты обозначение аргумента, имеем г„'=г,',у„'.; дифференцируя еще раз по х, получим г„,=(г„)„у,+г у",=г у„+г',у" . ( ) Аналогичным образом вычисляются, при соответствующих предположениях, и производные высших порядков сложной функции. Этот метод позволяет также доказывать существование и находить производные высших порядков от обратной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
