kudryavtsev1a (947413), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть функция у =- у (х) непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности тонки х, (ср. л. 9.6) и пусть при х=х, существуют производные у' и у", причем у' (хь) нь 0; тогда и обратная функция х=х(у) имеет вторую производную в точке у,=у(х,), причем она может бгить выражена через значения производных у' и у" функции у(х) при х=х,. В самом деле, опуская, как и выше, обозначения аргумента, согласно теореме 3 $9 (см.
п, 9.6), имеем хе'=1/у,'. Вычисляя производную по у от обеих частей и применяя к праной части правило дифференцирования сложной функции, получаем ! . Ухх ! ухх ухе» ух 8» у Аналогично при соответствующих предположениях вычисляются и производные высших порядков для обратной функции. 1О.З. Производные высгиих порядков от ехожньы функций 189 (10.7) = а ~ЛŠ— 2 соз (Е+ — -) з!Ег — 1) а ( ЛŠ— 2. 1.
— - г = О, ле г . ле1 е ле'г 21 21 (г 2) Подобным же образом можно поступать и в случае так называемого параметрического задания функции, Определение 3. Пусть функции х=х(Е) и у=у(1) определены в некоторой окрестности точки Е и одна из них, например х=х(Е), непрерывна и строго монопгонна в указанной окрестности; тогда сущеспгвует обратная к х(1) функция Е = 1(х), и в некоторой окрестности пючки х,=х(1,) имеет смысл композиция у(Е(х)).
Эта функция у от х и назьшоется парометрически заданной формулами х=-х(Е), у=у(Е) функциеи. Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций. Если функции х(Е) и у(Е) имеют в точке Ев производные и если х'(1„) Ф О, то параметрически заданная функция у(Е(х)) также имеет в точке хь=х(Еь) производную, причем у,,= (10.5) В самом деле, по правилу дифференцирования сложной функции имеем (опуская обозначение аргумента) У у„' = угЕ', (! 0.6) по правилу же дифференцирования обратной функции ! Ех— г х х — х,' Из формул (10.6) и (10.7) и следует формула (10.5). Если, кроме того, существуют хгг (1,) и у,", (Е,), то существует и у,"„(хе) причем ( уг г, ( уг' 'г у„"х', - у,'х,' у.".=(у').= —, = —, ! Е*'=-, ° гге хг еьналогичио вычисляются про вводные более высокого порядка параметрически заданных функций.
рассмотрим в качестве примера параметрически заданную функцию х=-а(Š— з!пЕ), у=а(1 — соз1), (а~О, — оо(1(+со). (10.8) Ее график называется циклоидой (рнс. 39). Пусть для определенности а)0; тогда функция х(1) =а(Š— з!пЕ) строго монотонно возрастает. Действительно, пусть М ) О, тогда, замечая, что ЛЕ ЛЕ 0( з!и — — имеем 2 2 ' х (Е+ ЛЕ) — х (Е) = а (ЛŠ— 1з)п (Е+ ЛЕ) — з(п ЕЯ = 120 в то. производные и дифференциалы высших порядков что и означает строго монотонное возрастание функции х(1). В силу этого существует однозначная обратная функция 1=1(х).
Т(алее, х[=а(1 — соз() = 2аз)п' — =О, у! =аз)п1, и х) обращается в ноль только в точках вида с=2вп, Й=-О, .+.1, .+.2, .... Поэтому, если (Ф2йп, то, согласно правилу дифференцирования функции, заданной параметрически, имеем В[ з)п ! ух=, = =с1к —; х' 2 ппз— 2 Уп р а жи ение !. Доказать, что циклоида 1!0,8) является траекторией кочки окружности радиуса а, катяецейся без скатывания по оси х-в. 10Д.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ В настоящем пункте мы для удобства будем иногда вместо символа дифференцирования с( писать букву б, т. е. вместо ду, Йх писать бу, бх. Пусть функция у = г (х) дифференцируема на некотором интервале (а, Б). Как известно, ее дифференциал с(у = ~' (х) с(х, который называется также ее первым дифференциалом, зависит от двух переменных: х и дх. Пусть 1'(х), в свою очередь, дифференцируема в некоторой точке хе~(а, Ь). Тогда дифференциал в этой. точке функции ду, рассматриваемой как функция только от х (т. е. при некотором фиксированном дх), если для его обозначения использовать символ б, имеет вид б (ду) = б [~' (х) с(х) !, =, = [Г (х) с(х7' ~х „, Бх = Рв (х,) дх бх.
Определение 4. Значение дифференциала б(с(у), т. е. дифференциала от первого дифференииала, в некоторой точке х, при с(х= — бх называется вторым дифференциалом функции [ в впюнй точке и обозначается через с(зу, т, е, азу = ~" (хе) дхз. (10.9) Заметим, что в силу этого определения с(ах = О, ибо при вычислении дифференциалов мы считаем приращение ах = бх постоянным. Подобным же образом в случае, когда производная (и — !)-го порядка уш-и дифференцнруема в точке х„или, эквивалентно, когда при х = — х, существует производная и-го порядка уьв), определяется дифференциал и-го порядка е("у функции у=1(х) 10.4, Диффереициилы высших порядков в точке хо как дифференциал от дифференциала (а — 1)-го порядка е( -'у„в котором взято бх=с(х: <(пу = 6 (<!и-'у) )о„=. е„. Покажем, что справедлива формула <1пу=у)л'<(хл а= 1, 2, ... (10.
!0) Ее доказательство проведем по индукции. Для а= 1 и а = 2 она доказана. Пусть эта формула верна для дифференциалов порядка а=1: >у у<л-<) )1хл > Тогда, согласно данному выше определению, для вычисления дифференциала а-го порядка <1<п)у необходимо вычислить сначала дифференциал (мы его обозначим символом 6) от <>и-)д) 6 (е(л-)д) 6 (у<п-<) е(хл-ъ) (у)п <) <1хл <)' бх = у<и) бх <!Хл-< а затем положить бх=)!х) <!лд 6 (<)п-<д) ~ у! л) !хл Д Из формулы (10.10) следует, что у<л) дед дхл (10.
Н) Отметим некоторые свойства дифференциалов высших порядков. <(и (д 1 д ) <<лу +<1лу 2'. <(п(су) =с«лу, с — постоянная. л 3'. <(" (у,уо)=,У', С, <1у) <<ум или, употребляя символическую о .о запись, ("(д у )=((д +с(д )<л>, где выражение (е(у, + с>до) < "> записывается по биномиальной формуле Ньютона, т. е. представляет собой сумму вида л ~", С„<!"-од<<(~уо; при этом для любой функции и считается, о=о что е<ои а<о) <(хо и.
Эти свойства непосредственно следуют из соответствующих формул для производных а-го порядка (см. (10.1), (10.2), (10.3) и (10.10)). Важное замечание. Формулы (10.10) и (10.!1) справедливы, вообще говоря, при а~1 (в отличие от случая а=1) только тогда, когда х является независимым переменным.
В случае дифференциалов высших порядков по зависимым переменным дело обстоит сложнее. 192 д 11. Теоремы о средним дхя дифференцируемых функций Пусть г=-г(д), у=у(х), имеет смысл суперпозиция г(у(х)1 и функции г(у) и д(х) дважды дифференцируемы. Тогда е(г =- г„йу, дифференцируя еще раз и не прибегая для простоты к символу 6, т. е. считая запись е((с(г) равносильной записи 6 (йг) 1а» .
а, (так всегда и поступают на практике), причем здесь под 6(йг) понимается дифференциал по х от функции йг = г„' (у) с(у = =. ги (У (х)!ту.' (х) с(х, получаем (ги) "У+ ги " (йд) =- гии с(у + г„' с('у (10.12) (мы написали с(ги'=г,',ниу на основании формулы (9.26), т.
е. использовав инвариантность первого дифференциала). Сравнивая формулы (10.9) и (!0.12), мы видим, что онн отли- чаются вторым членом, и так как, вообще говоря, е(аузе0, то они суптественно различны. Деля обе части равенства (10.12) на с(хя, мы получаем формулу второй производной для сложной функции: 2 гхх — гиид» + гиухх> которая была нами получена раньше (см.
(10.4)) другим путем. Подобным же образом могут быть вычислены дифференциалы и производные высших порядков сложной функции. Упражнения. Вьмислить произнодные и дифференциалы: !их 8. ану для функции у= — —. » 9. у,"х для функции х=2!-Р, у- З! — 1', 1о. У'„',.'х дла фтнкции »=а (! — мп О, у =- а (! — соз 1). 11, у,'. ну"„,для функции х=у — анну У» и У„х дл" ФУ"к'и'н хе-1-2ху — уе=!„ для функции у.='1' х. 1'1 —.. для Функции у =- 1'1 — , 'х. ах+ Ь для Функции у=-— с» -' 2. Унн З у аа> 4 у~а~ 5. Уоо для функции у=-нпх х.
6, уно для функции у=-хс1! х 7. дну для Функции У=х"е". 4 11. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 11Л. ТЕОРЕМА ФЕ1'МА *' П. Ф е р м а (1601 — 1665) — Французскиа математик. Если функция 1 имеет в некоторой точке х, копечнузо или бесконечную производную, то 1(х) называется функцией, имеющей при х=-х, производную в широком смысле. Теорема 1 (Ферма"'). 1)усть функния 1" определена в некоторой окрестности точки х, и принимаетп в впюй точке нпиболь- 1ЗЗ 11.1.
Теорелм 4Уерхм тее или наименьшее значение. Тогда, если при х=-х, существует производная в шорокогл сунь еле, то она росна нрл)о. Доказательство, Пусть функция ) определена в окрестности У(х,) точки х„и принимает для определенности при х=-х, наибольшее значение, т. е.
для всех х еи(/(х,) выполняется неравенство 1(х) =) (х,). Тогда, если х(х„, то )(х) ) (ху)- х — хх (11.1) а если хохм то ) (х) ! (хо) О х — хв (11.2) Если существует производная в широком смысле, т. е. если существует конечный илн бесконечный, определенного знака, предел (,)= 1! П' !(ч' Рис. уа Рис, 11 Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, чяо если при х =- х, функция 1 принимает иаибогьшее плй наименьшее значение на некоторой окрестности точки хгл то касательная к графику функции в точке (т„1(х,)) параллельна оси Ох (рис. 40). 3 а м с ч а н и е.
Если функция 1 принимает наибольшее или наименыиее значение при х=х, по сравнению с ее значениями в в некоторой о д н о с т о р о н и е й окрестности точки х и им-ет о хл (одностороннюю) производную, то эта производная моькет не разниться нулю. Так, например, функция 1(х)--х, рассматриваемая на оярезке 10,1), принимает при к=О минимально=, а для х=1 — максимальное значение, однако, как в той, так и в другой точке производная равна единице (см. рис.
41). 7 кулрнвчеа л. д,т. ! то, перейдя к пределу при х х„— 0 в неравенстве (11.1), получаем 1'(х,) =0; аналогично из неравенства (!1.2) при х- х,+О находим 1'(х,) ==О. Эти неравенства выполняются одновременно лишь при 1'(хл) =О П 19а Э 11. Теорема о среднем длл дифференцируемые функций 11 2 теОРемы РОлля~ лАГРАнжА и кОши О сРедних ЗНАк1ЕННЯХ Теорема 2 (Ролан*1). Пусть Функция 1 1) непрерывна на отрезке [а, Ь'11 2) имеет в каждой точке интервала (а, Ь) произьодную в инерокол1 сл1ысле; 3) принимает равные значения на концах отрезка, т.
е. 1(а)= =-1(Ь); тогда суи(ествует хотя бы одна такая точка $, а ($(Ь, сто 1'(9) =О. Доказательство. Мы уже знаем, что функция, непрерывная на отрезке, принимает наиболыпее и наименьшее значения в некоторых точках этого отрезка (см. п. Б.!). Пусть М = гпах7 (х), т=ш(п1(х); тогда для всех х ~у[а, Ь1 выполняется неравенство т ~ [ (х) == М. Если т=М, то функция 1 постоянна и, значит Т'=0 на [а, Ь1, В качестве точки $ можно взять любую точку интервала (а, Ь). Если же т-~:М, то из условия 1(а) =1(Ь) следует, что хотя бы одно из значений т или М не принимается на концах отрезка. [а, Ь). Пусть этим значением является М, т. е, существует такая точка 5ен(а, Ь), что 1(еь)=М, и, значит, в этой точке $ функпия 1 принимает наибольшее значение и на интервале (а, Ь). Поэтому из теоремы Ферма следует, что Т'(с) =О. [ ) Геометрически теорема Ролла означает, что у графика непрерывной иа отрезке и днфференцируемой внутри него функции, принимающей на его концах одинаковые значения, существует точка, в которой касательная гараллельна оси абсцисс (рис 42).
Заметим, что все предпосылки теоремы Ролля суп1ественны. Чтобы в этом убедиться, достаточно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два из трех условий теоремы, третье же не выполнялось и у которых не существует точки $, такой, что Т' (5) = О. (При этом в силу условия 3, в котором говорится о значениях функции в концевых точках промежутка, следует рассматривать лишь функции, определенные па отрезках.) Функция 1(х), определенная на отрезке [О,Ц и равная х, если 0 =х 1, и О, если х=1, удовлетворяет условиям 2 и 3, но яе удовлетворяет условию 1 (рис. 43).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
