kudryavtsev1a (947413), страница 45
Текст из файла (страница 45)
глл г' (х) т (х„) (х — хо)л „л(х — хо)л г ' ' ' л! (х — х,) л! т. е. действительно гл(х) =о((х — х,)'), х-~хо. Итак, доказана следующая очень важная теорема. Теорема 1. Пусть 4ункг(ия 1'(х) определеннач на интервале (а, Ь), имеепп в пгочке х,е=(а, Ь) производные до порядка и вклгочительно.
Тогда при х-~хо р~!! (х ) 1е(х)=~(хо)+ — "' (х — хо)+. ° ° + "" (х — хо)л+о((х — хо)л), (13.5) или 1(х) = ~~~ — „, (х — хо) +о((х — хо)л). %1 до' (хг) о=о Эта теорема остается справедливой, вмсте с ее доказательством, и для функции 1, определенной на отрезке [а, Ь), при х, он[а, Ь1, Э И. Формула Тейлора если для х„=а и х, = Ь под производными понимать соответствующие односторонние производные.
Формула (13.5), называется форлгулой Тейлора*1 п-го порядка с остаточным членоти в форлег 77еано. )))ногочлсн Р„(~) = Г(» )+' — ' (х — и„)+...+ — 1' (х — хо)' (13.5) р (хг) рио (л„.) называется мнагочлено1л Тейлора, а функция ги(х) =~(х) — Р„(х) (13.7) х хо= Лх Лу ~(хо+ Лх) ( (хо) получим Лу = ~~' ~ ~, " Лх'+о(Лх), Лх-«О. л=! Если в форл!уле (13.5) ко=-О, то получается частньш внд формулы Тейлора, называемый обычно форл!улой Л(аклорена икц 1(х)= ~ „, х'+о(х"), х-«О. з ры(о) г=о (13.3) Доказанная теорема позволяет любук1 функцию, удовлетворяющую условиял! этой теоремы заменить, в окрестности некоторой точки, многочленом с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем члены многочлена.
Таким многочленом является многочлен Тейлора. Величина погрешности дается прп этом остаточным членом. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано дает единообразный метод выделения главной части функции в окрестности данной точки. На этом обстоятельстве и основаны многочисленные и разнообразные приложения формулы (13.5) в различных вопросах анализа. Отметим полезное следствие из теоремы 1. Следствие. Пусть функция )(х) определена на интервале (а, Ь), а пусть в точке х она а,иеет производные до порядка а+1 *' В. Т и й нор (1686 — 1781) — английский математик.
К. М л к л о о ел (1698 — 1746) — шотландский математик. — остаточнылг членом и-го порядка форлгулы Тейлора. Как показано, остаточный член тл (х) является бесконечно малой, прн х«х„более высокого порядка, чем все члены многочлена Тейлора (13.6). Укажем другой вид записи формулы (13.5). Полагая 13.2. Многочхен Тейлора как иногочлен наилр ииего лаиб.чиъгения 2>3 бключительно. Тогда пРи х — ха ит рь' (х ) ! (х) =- Хг' ' й, —" (х — х,) а+ О (х — х,)"' з.
а=о Действительно, в силу теоремы 1 при х — >-хо л-1-! у (Х) = — „, ' (Х вЂ” Х,)а+о((Х вЂ” Х,)л"'), ры (х,) а=а (13.9) (13.10) 13.2. МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА КАК МНОГОЧЛЕН НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ Заметим предварительно, что, очевидно, всякий многочлен л Рл(х) = т Азха !=о * О. Ш л е м н л ь х (!823 — 1901) — немецкий математик.
Э. Р о ш (1320— 1833) — французский астроном н математик. и поскольку )л>! (х ) +,")"! (х — хе)л" +о((х — хв)'>>) =0((х — х,)'"') при х- хз, то иа формулы (13.10) непосредственно следует формула (13.9). ( ) У яр а ж н е н не 1.
Доказать, что если функция ((х) в некоторой окрест- ности точки хл имеет пронзводну>о порядка л, то, каковы бы ня были точка х этой окрестности и функцкя ф (Г), непрерывная на отрезке с концамн в точках х> и х, имеющая неравную нулю производную внутри этого о>резка, найдется такал точка 3, лен!а>цая между хл н х, что для остаточного члена г,, >(х) фор- мулы Тейлора функции Г(х) имеет место формула гл.>(х)=, — — (х — вр> >, л=(, 2, .... ф (х) — ф (хг) )ио ($) ф' (з) ( ! — 1)! Получить отсюда следующие вилы записи остаточного члена: г (х) = (х — х„)г (х — з)л а, р" О (форма Шлелшлька — Роша *'). рл' В л-! — ( 1) >и 1>л (е) гл, (х)= ь (х — х,)л (>1юрма Лаграп ка), и! гл, (х)= ', " (1 — 0)л '(х — хл)л, 0(0 ( 1 ()оРма Коши). Рл' [Хл+ 0 (х — хл) ) (и — 1) ! У к а з а и и е.
Рассмотреть вспомогательную функцвю л — ! %т ра> (!) ф(0=!"(х)- 2~, — (х — О" й! л=о и применить к функциям ф и ф теорему Коши о среднел! значении, Для вывода остаточного члена в виде Шлемилька — Роша положить ф 09=(х — !)г, у ТВ. Фарлгугла Тейлора может быть представлен, для любого х„в виде и Р, (х) = ~ а» (х — ха)'. »=а (13.12) В самом деле, достаточно в (13.11) положить х=хо+й и разложить правую часть по степеням й; тогда Р„(х) =а,+о,й+...+а„й", где )г=х — хгь г'(х) =Р„(х)+ о((х — х,)"), х-»х„ (!3.13) где Р„(х)= 5' ал(х — х,)" — некоторый многочлен степени, мень»:-о шеи или равной и. Тогда г~»' (ка) о» = ' ' , Уг = О, 1, ..., и, !г! (13.14) т.
е. Р„(х) является лгногочленом Тейлора, Иначе говоря, никакой многочлен степени, меньшей или равной и, отличный от многочлена Тейлора порядка п, не может приближать данную функцию с точностью до о((х — х„)") при х- х, (а значит, и с более высокой точностью о((х — ха)ь), у ~ и). Доказательство. Из формул (13.5) и (13.13) следует, что Л ( ' (х — хо)»+о((х — х,)") = ь=а = ~ а,(х — х,)ь+о((х — х,)"), х-».хв ь=- о откуда, перейдя к пределу при х — »'хо получим ао=Т(хо). Отбра- сывая слева и справа этот член, сокращая оставшиеся в обеих частях выражения на х — хо (х~ха) и замечая, что о((х — х,)")=е(х) (х — х,)', где 1нпв(х) =О, к к, т. е.
мы получили формулу (13.12). Многочлен Тейлора порядка п является многочленом, наилучшим образом среди всех многочленов степени и приближающим функцию Т ев бесконечно малой окрестности» точки хм т. е, при х — »хо. При этом такой многочлен оказывается единственным. Более точно, справедлива следующая теорема. Теорема 2. Пусть функция Т дифференг)ируемо до порядка и включительно в точке хо и пуспгь !Д2. Многочлен Тейлора как многочлен наиличигего ариблихгения г(б и, значит, при х — «хо о ((х — х„)") "— = е(х) (х — хе)" '= о((х — хо)" 1) и = 1, 2, ..., х — хе получим ( ") (х — хо)"-'+о((х — х,)" ') = Х "" ы и-1 и аи (х — х,)г-1+ а ((х — хо)"-').
и=1 ПеРейДЯ снова к пРеДелУ пРи х ч-хо бУДем иметь аг = ~' (хо). Продолжая таким же образом, получим ае= —,', А=О, 1, 2, ..., п, Д 1":е' (х.) Единственность представления функции в виде (13.13) может быть иногда использована для ее разложения по формуле Тейлора. Именно, если удается каким-либо косвенным путем получить представление (13.13), то в силу теоремы 2 можно утверждать, что это и есть разложение по формуле Тейлора (13.Б), т.
е. что коэффициенты найденного многочлена выражаются по формулам (13.14). Так, например, соотношение (13.12) представляет собой разложение многочлена (13.11) по формуле Тейлора, причем в этом случае г„(х) = О, поэтому согласно теореме 2 коэффициенты многочлена (!3.12) имеют вид р" (хч) ал — — —" ин Таким образом, р'„"' (хд Р„(х) = ) ",, (х — хо)и. В частности, при разложении многочлена степени л по формуле Тейлора остаток и-го порядка тождественно равен нулю. Пусть требуется разложить по формуле Тейлора функцию Т(х) = 14(1 — х) в окрестности точки х,=О.
Замечая, что 1((1 — х) есть не что иное как сумма бесконечной геометрической прогрессии 1/(1 — х) = 1+ х + х'+... + х" +..., ( х ( ( 1, х" +" и полагая гн(х) =хгм+х"+'+... = —, ~х(~1, получим 1/(1 — х) =1+х+...+х" +гн(х), 21б й ПЬ Формула Тейлора где г„(х) =0(хл") и, значит, го(х) =о(хо) при х-~0. Таким образом, представление о 1,'(1 — х) = 1 + х +... + х" + о (х") = з' х" + о (х'), х -+ О. л=е и есть разложение функции 1)(! — х), по формуле Тейлора в окрестности нуля. 1ЗЛ.
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИИ ПО ФОРМУЛЕ хЕИЛОРА 1. Т(х) =,з!их. Функция з!пх обладает производными всех порядков. Найдем для нее формулу Тейлора при хо=О, т. е. формулу Маклорена (13.8). Было доказано (см. п. 10.1), что (з)их)ра) = з!п (х+!и', поэтому и) 2)' 0 для т=2Й, !ое!О= згп — '" = й=О 1 2 (13,!5) 2 ( — 1)" для т=2))+ 1, и согласно формуле (13.5), хе хе х' хел 1 к)их=х —, + — ' +...+( — 1)о + о(х'" х) 3! ь! 7! (2а+ !)! при х-» О, и=О, 1, 2, ..., или, короче, хее н ип х = ~ ( — !)" + о(х'"") при х-~ О.
! 2й -!-! )! х=-о Мы записали здесь остаточный член в виде о(х'""), а не в виде о(х'" '), так как следу!о!ций за последним выписанным слагаемым член миогочлена Тейлора в силу (13.15) равен нулю. 2. 7 (х) = соз х. Как известно (см. п. 10.1), )!'"> (х) = соь (х+ л'-1, 2 ~' а поэтому 0 для т=2й+1, Т м)(0) =соб-- = и = О, 1, 2, ..., ( — 1)» для т=2й, соз = 1 — — + — — -- +... + ( — 1)" — + о (х "' ) хе х' хе 2! 4! 6! (2о)! при хе-0 п=О, 1, 2, ..., или, короче, хне созх= у ( — 1)" — +о(х'"+') при х — ~0 (2е) ! 1 л=о п = О, 1, 2„ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
