kudryavtsev1a (947413), страница 49

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 49)

Поэтому, если на интервале (а, 6) вторая производная положительна (следовательно, она положительна и в точке О), то для всех хан(а, б), кроме точки х=хе, выполняется неравенство 1(х) — Е(х)~О; если же на интервале (а, (т) вторая производная отрицательна, то для указанных точек справедливо неравенство 1" (х) — Е(х) (О. ( ) Поясним эту теорему исходя из несколько иных соображений. Если функция Г имеет всюду на некотором интеовале вторую производную, то в окрестности любой точки х, этого интервала можно выделить главную часть функции 1 в виде многочлена Тейлора второго порядка Р(х) =Р(хь) +)' (хо)(х — ле) + — й — '-(х — хь) +0((х — хь) ) х-~хо 1" (че) 2 и, следовательно, график функции 1 <ведет себя в окрестности точки х, почти как парабола» у=1(хо)+1'(л,) (х — х„)+ 1 ( ь) (х — х,)', которая, когда ее коэффициент прп х', т. е.

', положителен, е 1 (ть) 2 вь|пукла вниз и лежит выше любой касательной, в частности и выше касательной в точке (хь, 1(хь)) (эта прямая является и касательной к графику функции 1), а когда указанный коэффициент отрицателен, выпукла вверх и лежит ниже любой своей касательной. й тл. Исследование поведения функций Мы снова видим, как целесообразно при изучении функции в окрестности данной точки выделить с помощью формулы Тейлора главную часть функции в этой точке. В дальнейшем при решении разнообразных задач анализа мы еще неоднократно будем иметь возможность убедиться в больших возможностях и плодотворности метода выделения главной части. Определение 6. Пусть функция )' дифференцируема при х = хо и пусть у= — Е(х) — уравнение касательной к графику функции ) е точке (х„1'(хв)).

Если Разность ~(х) — Ь(х) мекает знак пРи переходе через пгочку хо, то хв ниялеается точкой перегиба функции 1, Рис. д2 Рис, ог Более потребно и точно это означает, что существует такая 6-окрестность Ь'(х„б) точки х,, что на каждом из интервалов (х,— 6, х„) и (хы х,-1 6) разность ) (х) — Е(х) сохраняет постоянный знак, противоположный ее знаку на другом интервале.

Геометрически это означает, что график функции ) переходит в точке (х„, )(хв)) с одной стороны (от наклонной) касательной в этой точке на другую (см. рис. 52). Если хо — точка перегиба функции, то точка (хв, ~(хо)) называется точкой перегиба графика функции ). Примеры. 1. 1(х) =х', ~" (х) =Ох. Очевидно, что в этом случае 1е(х)(0 для х(0 и )" (х) )0 для х)0.

Поэтому на бесконечном интервале ( — со, 0) функция 1(х) =х' строго выпукла вверх, на интервале (О, + со) оиа строго выпукла вниз, а точка х =-0 является одновременно концом интервалов выпуклости вверх и вниз. Она является и точкой перегиба, поскольку уравнением касательной в ней будет у=О, и прн х~О имеет место неравенство 1(х) < О, а при х) Π— наоборот ) (х) О.

2. Г (х) =- т' х', график этой функции (рпс. 53) называется 2 полукуоической параболой. Здесь )" (х) = —,, и потому для э 'г' ег всех х ~ 0 справедливо неравенство )"" (х) (О. Следовательно, 2зб !4.3. Выпуклость и точки перетбп интервалы ( — со, 0) и (О, + со) являются промежутками строгой выпуклости вверх. Вместе с тем при любом хФО )(.)+)( — к) )( )>О ((0) поэтому точка х=О не принадлежит никакому интервалу выпуклости вверх (интервалов выпуклости вниз у этой функции нет).

График функции Г(х) ут х' в точке (О, О) имеет вертикальную касательную, и его ветви, для которых х>0 и х<0, лежат по разные стороны от нее. Однако, х=О не является точкой перегиба, поскольку в силу вертикальности касательной в этой точке ее уравнение нельзя записать в виде у =Е(х), и, следовательно, х=О не удовлетворяет условиям определения 6. Образно говоря, график полукубической параболы не перегибается при переходе через касательную в точке (О, 0), а «возвращается назад»', поэтому точки такого типа называются точками возврата. Теорема 7 (необходимое условие наличия точки перегиба). Пусть функция г имеет непрерывную при х =хе вгпарую производную.

Тогда, если точки хе является точкой перегиба функции Г', то ~" (х,) =О. Действительно, если имело бы место неравенство )" (х,) >О (соответственио )" (хь) <О), то, в силу непрерывности второй производной прн х=х„нашлась бы окрестность У(хь) этой точки, в которой выполнялось бы условие ~" (х) > 0 (соответствепно, (" (х) < 0) и, следовательно, согласно теореме 6, для всех х ен У (х), хчьх„ график функции ( лежал бы выше (ниже) касательной, проведенной к нему в точке х,, что противоречило бы тому, что х„ является точкой перегиба. Ц Замечание. Подобно тому, как все точки экстремума функции принадлежат множеству точек, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, так и все точки перегиба функции (дважды непрерывно днфференцируемой, кроме, быть может, для конечного числа значений независимого переменного) входят во множество точек, в которых вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Теорема 8 (первое достаточное условие наличия точек перегиба). Если функция Г", диффгргнцируемая в точке х„ дсаясды диффгргнцируема в некоторой проколотой окрестности У(х, б) этой точки и вторая производная )" функции )' меняет знак при переходе аргумента через хь (т. г. либо ~" (х) <О при хь — б<х <хе и Т" (х)>0 пРи х,<х<хь+б, либо Гч(х)>0 пРи хе — б<х<х, и )'"(х):0 при х, <х<х,+б), то х„является точкой перегиба функции ). В самом деле, представим, как и выше, в виде у=Е(х) уравнение касательной у = г" (хь) (х — хь) +г' (х ).

При доказательстве р И. Исследовании поаеоення функций 2тб теоремы 6 было показано, что 1 (х) — Е, (х) =. 1" (г)) (е — ха) (х — ха), гд" точки х и с лежат по одну сторону от.х„поэтому при х~ха имеем (с — х,) (х — ха)- О, и, следовательно, з! и (1 (х) — Е (х) ) .=- з)яп У" (д). Точка т) лежит между ц и х,, т.

е. по ту же сторону от л, что и точка х. Отсюда явствует, что если 1" меняет знак прп переходе аргумента через точку х„то разность)(х) — г,(х) лгеняет знак, и, следовательно, х„ явля тся точкой перегнба. П '!'еорема 9 (второе достаточное условие наличия точки перепгба). Пуспго 1'"(хо) =О, а 1"'(ла) — О; гпогда х, яеляется точкой и. ргги ба.

Л о к а з а т е л ь с т в о. По фоолгуле Тейлора в силу условия 1" (лс) =- О писем г'(х) =) (хе)+1' (ха) (х — х,)+ 1 ( — '(х — л.,)'+о((х — ха)'), и посколькУ Е. (х) = — 1(хв)+)'(т,) (х — х,), то ) (х) — Д (х) = ',, ' (х — х,) + е ((х — л а)з). Отсюда следует (см. замечание о бесконечно малых перед доказательством теоремы 4 этого параграфа), что знак разности 1 (х!— †1(т) меняется при изменении знака х — х,. Это и означает, что х„ является точкой перегиба. ( ) задача 10, доказать, что если г!ггнкинп 1 непрерывна на интервачс (и, ь) и если для лгобых точек лт и х, и < х,.

хе «. Ь, выполгяется неравенство 1 ( г~ ) ц 1 (хз) !г лт зс г з ) 2 г 2 то (и, и) является интерва.юч ныпугглоспг вверх дчя функции 1. Задача 11. Доказать нгггггсзлсдзтогцггс утпер:нления. Для того чтобы диф4герен гг~руемая г!|ункцня была выпукюл вверх (вннз) на некотории интервале, нсобхолнио н достаточно, чтобы сс пронзводнап лгонотопио убывала (ноногонно возрасталз) на неи Для того чтобы дифферепшгруеиая функция была строго выпуклой вверх (вниз) на некотсроя интервале, достагочпо, чтобы се производная строго убывала (строго возрастала) па пои. 1йг.4. АО14В1ПТОТЫ Опрзд л ние 7. П))сгггь функция 1'(х) определена для всех л ~а (соопгсегггспгеенно для гссх х < а).

Еслгг сугг!ссггггугг'ггг п.ахи. пт. а )г и 1, что 1(х) — 1гх--1=-о (!) при л — ~-+ло (сеотзепгст'сино при х — и — о.), Гго гг)ггг,ггая у=)гх+1 (! !.9) низы ается асллтп отой графика функг(гги) (х) при л - + оо (снега секслгеснно при х — ~ — со). 14.4. Асп»гатотм гз7 Существование асимптоты графика функции означает, что при х- +со (или х-»- — со) функция ведет себя «почти как лвнейная функция», т. е. отличается от линейной функции на бесконечно малую.

Найдем, например, асимптоту графика функции у= х.~- ! Разделив числитель на знаменатель по правилу деления много- 2 2 членов„получим у =х — 4+ . Так как — = о (1) при х+1 х+1 х- .+.со, то прямая у=х — 4 является аснмптотой графика дгнвгй функции как прп хс-+со, так и при х — » — сю. Рассмотрим геометрический смысл аспмптоты.

Пусть М = = (х, ) (х)) — точка графика функции 1, М, — проекция этой точки на ось Ох, АВ— аспмптота (14.9), 8 — угол между асимптотой и положительным пап ранлен нем осн Сх, 9 ~ —, МР— перпенди- 2' ,и куляр, опущенный из точки М на аснмптоту АВ, Р точка пересечения прямой Л1М» с аспмптотой АВ (рпс. 54). Тогда ММ, — - ) (х), ! !Мо =. =- йх+ (, 1!4а =- ММΠ— ЮА!о=- Рис.

Характеристики

Список файлов книги