kudryavtsev1a (947413), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

е. г'(1) =(х(1), у(1), г(1)), и будем называть отображение г(1) и вектор-функцию г(1) соответствующими друг другу. Очевидно, что отображение г(1), а~1=-Ь, непрерывно на отрезке [а, Ь1 тогда и только тогда, когда на этом отрезке непрерывна соответствующая ему вектор-функция г(1).

Действительно, мы знаем, что вектор-функция непрерывна на отрезке в том и только том случае, когда на нем непрерывны все ее координаты (см. п. 15.1), что по определению является условием непрерывности отображения г(1) на отрезке. Теперь можно сформулировать определение кривой. Множество Г пространства, заданное как непрерывный образ некоторого отрезка "' называется непрерывной кривой или просто кривой.

Указанное непрерывное отображение, обозначим его сиопа через г(1), а=-1(Ь, отрезка [а, Ь) на множество Г ~ 1тз называется представлением кривой Г и пишется Г =(г(1), а=-т =Ь). Переменная г называется параметром кривой Г. Таким образом, кривая есть не просто множество простран. ства, а множество, рассматриваемое как результат некоторого непрерывного отображения отрезка, Иначе говоря, кривая — это " Непрерывным образом отрезка называется образ отрезка при непрерывном отображении последнего. в 16. длина дуги кравао удв множество пространства плюс непрерывное отображение на него отрезка.

Поэтому одно и то же множество, полученное как образ двух разных непрерывных отображений отрезков, рассматривается как различные кривые. Отметим, что непрерывное отображение г(г), а -г-= Ь, являющееся представлением кривой Г, не предполагается взаимно однозначным: в одну и ту же точку кривой Г могут отобразиться две нли больше точек отрезка [а, Ь). Точки кривой Г=(г(~); а.=-г'«=-.Ь), в которые отображается более чем одна точка отрезка (а, Ь), называются пгочками самопересгчения, или кра;иными точками этой кривой.

Таким образом, если точка М непрерывной кривой Г является кратной точкой последней, то при заданном представлении г(«), а-с-(~Ь, этой кривой Г существуют по крайней мере два таких различных значения г, и Гв параметра Г, а ~г, =.Ь, а-=.тл.~Ь, что г (г„) = г (гв) = — М. Точка г(а) кривой Г =(г((); а (=-Ь) называется ее началом, а точка г. (Ь) — ее концом. Определение 1. КриваяГ =(г(Г); аа:. (~Ь) называетсязаллкнутой кривой, или, что то вке самое, залвзчугпым контура,и, если ее начало совпадает с ее концом: г (а) =г (Ь).

Замкнутая кривая, не алгети(зя точек салгопересечения, кроме точка г(а) =г(Ь), и «пиная, что г(() ~г(а) =«(Ь) при а(((Ь, называется простылг замкнутым контуроли Будем говорить, что точка М=«(г) кривой Г =(г((); а==« =Ь) стремится к точке Мв=г((в) этой кривой, если ~ММ,, '— ~-О при г — („. Если кривая Г лежит в некоторой плоскости, то эта кривая называется плоской. Если указанная плоскость выбрана за координатную плоскость хОу, то представление кривой имеет внд х=х(~), у=у(г), в=О, причем уравнение в=О, если это не может привести к недоразумениям, обычно не пишется. График непрерывной на некотором отрезке (а, Ь1 функции у=-Г" (х) является плоской кривой в нашем смысле с представлением х=х, у=-)(х), а==х==.Ь (в этом случае параметр г=-х).

Отображение г (г), а = с =. Ь, задающее кривую Г, прп фиксированной в пространстве системе координат х, у, г можно задавать также в координатном виде, т. е., задавая координаты точки «(1): г(!) =-(х(г), у(г), е(()). 151 15.!. Понятие кривой В этом случае тройка функций х(1), у(г), г(1), а(1~Ь, называется координатным представлением кривой Г и пишется: Г =-(х(1), у(1), г(У); а(Г-.КсЬ).

Отображение г(1) можно задать и соответствующей ему вектор-функцией г (!), ая-.г' ==Ь, где, как всегда, «(1) — радиус-вектор с концом вточкег(1). вг В этомслучаекриваяГ=(~ (1);а -(~Ь! называется годографом вектор-функции «(1), а сама эта вектор- функция «(Π— векторным представлением кривой Г и пишется Г=(«(!); а((~Ь). Примером кривой является окружность. Возьмем для определенности окружность радиуса г с центром в начале координат. Ее можно, например, представить как непрерывный образ отрезка 10, 2п) с помощью функций х=г сов(, у=ге(пг, 0 =.1=2п.

(16.!) Очевидно, окружность является простым замкнутым контуром. Примером незамкнутой кривой является любая дуга окружности, соответствующая, например, изменению параметра ! на отрезке ")О, а), где О~ а<2п. Отметим, что множество точек кривой (!6.2) х=гсоз|, у=ге(пг', 0(1~4п совпадает с множеством точек кривой (16,!): и в том и в другом случае это окружность ха+у' = г' на плоскости х, у. Однако получена она как результат разных отображений: при отображении (16.1), т. е. при изменении параметра 1 от 0 до 2п эта окружность проходится один раз, а при отображении (16.2), т. е.

при изменении параметра ! от 0 до 4ч, она проходится дважды. Поэтому (16.1) и (16.2) — разные кривые. Аналогичным образом определяются специальные виды непрерывных кривых: (непрерывно) дифференцируемые, дважды (непрерывно) дифференцируемые и т. п. Определим, например, непрерывно дифференцируемые кривые. Отображение г (1) = = (х(!)„у(!), г(1)) отрезка (а, Ь1 в пространство называется непрерывно дифферениируемым, если все функции х(!), у(г), г(1) непрерывно дифференцируемы на отрезке (а, -Ь). Кривая Г =(г(1), а =-!.= Ь) называется непрерывно дифферент(ируемой, если ее представление г (1) непрерывно дифференцируемо на отрезке !а, Ь1. Аналогично определяются дифференцируемые кривые, дважды дифференцируемые, дважды непрерывно дифференцируемые и т. д.

*' Если не оговорено что-либо другое, то всегда предполагается, что иа. чало радиус-вектора накопится в начале координат. 9 Кулвявнев Л. д. т, ) 268 э !б. длина дуги кривой Приведенное определение кривой имеет в своей основе физическое представление о траектории (пути) движущейся в пространстве материальной точки. Но на такой траектории можно выбирать различные параметры, например, время движения 1, длину пройденного пути з или что-либо еще.

Поэтому условие, состоящее в том, что две кривые с разными представлениями считаютси всегда различными, не всегда удобно. Такое соглашение естественно для кривых (16.1) и (1б.2). Однако два представления кривых х=созг, у= — з!и«, — п~( =О и у=3/Т вЂ” х, — 1=х --1, естественно было бы считать представлением одной и той же кривой: полуокружпости х'+у«=1, у~О. Эти соображения приводят к мысли о проведении некоторого уточнения понятия кривой: объединения некоторых различных в смысле данного вышс определения кривых в одну кривую. Сделаем это. Будем говорить, что кривые Г«=(г(1), а~1~Ь) и Г,= =(р (т), а --. т ---.

р) являются одной и той же кривой, если существует непрерывная строго возрастающая функция т=«р(1), а«=.(~Ь, «р(а) =««, «р(Ь) =р или непрерывная строго убывающая функция т=«р(1), а--(-=.Ь, «р(а)=р, «р(Ь)=а, такая, что для всех 1~ а, Ь1 имеет место равенство г(1)=р(«р(«)). случае (непрерывно) дифференцируемых кривых предполагается, что функция «р: [а, Ь1-» [и, р) кроме того (непрерывно) дифференцируема иа [а, Ь) и имеет не обращающуюся в ноль производную. Последнее условие обеспечивает (непрерывную) дифференцируемость обратной функции «р-'. Подобные преобразования параметра, т.

е. такие, которые приводят к той же кривой в смысле сделанного определения, называются допустимыми преобразованиями параметра, а все представления одной н той же кривой называются эквивалентными между собой. Более подробно переход к другим представлениям данной кривой будет рассмотрен в следующем пункте. 16.2». ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАННЫЕ КРИВЫЕ Для построения строгой теории кривых, допускающих разные представления, введем предварительно понятие эквивалентных отображений отрезков в пространство.

Определение 2. Непрерывное отображение г(() отрезка [а, Ь1 в пространство называется эквивалент ым непрерывному отображению р(т) отрезка [а, [)1 в то же пространство, если существует такая непрерывная строго монотонная функция 1= «р (т) (возрастающая или убывающая), что она отображает отрезок [а, [1] на отрезок [а, Ь1 и для каждого т я [а, р1 справедливо ра- 16.2'. Парамегрически аадаккые кривые венство (рис.

63) (16.3) г (ср (т)) = р (т). Фувкция ~р (т) называется отображением, осуществляющим эквивалентность отображений «(1) и р(т). Если непрерывное отображение г(1), а=-(=Ь, отрезка [а, Ь] в пространство эквивалентно непрерывному отображению р(т), ы~т~[), отрезка [а, р] в пространство, то пишут г(1) — р(т). Легко убедиться, что всякое непрерывное отображение отрезка в пространство эквивалентно самому себе: г (1) - г (1) (здесь отображением, осуществляющим эквивалентность, является функция 1:=т, а=а-=-т== р =Ь).

Зто свойство называется свойством ре4лексивности. Легко проверяется также, что если г(1), а.=-1(Ь, и р(т), а т(р, суть непрерывные отображения соответственно отрезков [а, Ь] и [сс, 3] «1В«е„1т) ~,РЮ е *Р * ° ° (а -1и>. ° ' ° р (т) 1 (1) — свойство симметричности. Так в 1 е йтр же легко убедиться, что если «,(1,), а, 1„-Ьь г,(1а), а, =га(Ьа, и г,(1,), а, = 1, = Ь„являются непрерывными отображениями соответственно отрезков [а„ЬД, [ам Ьа] и [аз Ьз] в пространство, то из г,(1,) г,(1е) н г,[1,) г,(1а) следует, что г, (1,) га ((а) — свойство транзитивнасти.

Если в некотором множестве элементов введено понятие эквивалентности, обладающее тремя указанными свойствами (рефлексивностью, симметричностью и транзитивностью), то такое множество распадается на непересекающиеся классы эквивалентных элементов (см. 3 61). В нашем случае получаются непересекающиеся классы эквивалентных между собой непрерывных отображений отрезков. Наконец, заметим, что, если г(1), а(1(Ь, и р(т), се~т= =.[) — эквивалентные непрерывные отображения отрезков в пространство, то образы отрезков [а, Ь] и ~а, р] в пространстве соответственно при отображениях г (1) и р (т) совпадают.

Характеристики

Список файлов книги