kudryavtsev1a (947413), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Положим И ) г)'й) гга) Очевидно (рис. 65), а,— длина ломаной с вершинами г(а), г((т), ... Р) ..., г(1„,), г(Ь), т. е. как обычно говорят, ломаной, вписанной в Рис, гз кривую Г. Всякую ломаную, в частности и вписанную в кривую Г = =(г(1); а -1=Ь), можно рассматривать как кривую в смысле данного выше определения, если только задать ее представление. Пусть Х вЂ” ломаная, т. е. множество, состоящее из конечного числа отрезков с вершинами в точках Мви М„..., М„(эти отрезки называются звеньями ломаной). Возьмем некоторый отрезок [а, Ь) и какое-либо его разбиение иа и отрезков: т = — (Я[==о.
Будем для простоты всегда считать, что представлением ломаной является непрерывное отображение р()), линейно отображающее каждый отрезок [г;,, г;] на отрезок М;,М,, 1=1, 2, ..., и; таким образом, если обозначить через р; радиус-вектор точки М;, 1 = О, 1,..., п, то векторное представление ломаной будет иметь вид рЯ= )' )Р' ' (1 — 1;-1)+р;-и (; т-.=1 =(о )=1, 2,, и. Э тд Давно дуги кривой 2вв Если М;,~М; при а'=1, 2, ..., п, то ломаная называется невырожденной. Определение 18. Величина 5г = зир а„где верхняя грань взята т по всевозможным разбиениям т отрезка [а, Ь1, называется длиной кривой Г. Если 5г +со, то кривая Г называется спрямляемой.
В силу этого определения спрямляемость кривой и ее длина не зависят от выбора представления кривой и всегда 0 = 5г (+ оо. тельно, а, ~5г +5г . При переходе от разбиения т к разбиению т*, быть может, лишь одно звено г(га т)г(й) заменяет я двумя г(1, т)г(с) и г(с) г(1,), и поскольку /г(1;,)г(1)/=-/г(П,)г(с)1+;г(с)г(1д/, то а, =.а; и, следовательно, пт~5г +5г,. Но 5г=зпра„поэтому т 5г~5г,+5гь (16. 7) Докажем теперь обратное неравенство. Для произвольных т„ и ть разбиений соответственно отрезков [а, с) н [с, Ь! и разбиения т* =та Ц ть отрезка [а, Ь) имеем о, + ать = а,* — 5г Отсюда а, ~ 5г — о,; фиксируя разбиение т, и переходя к верхней 'а 'ь' грани и, при всевозможных т„получаем неравенство 5г ~ ~5г — а,, и затем— ь' 5г,+а,,«5г.
У яр ажие и и е 1. Доказать, что кривая, являюояаяся частью спрямляемой кривой, также спрямляема. Лемма 2. Пусть Г=1',ОГ„тогда 5г=5г +5г,, (!6.6) Док азательст во. Пусть а(с<Ь и Г=(г(1), а==.1==Ь), Г,=-(ю (1), а==1 -с), Гь — — [к(1), с~!(Ь). Пусть т — разбиение отрезка [а, Ь), а т" — разбиение этого же отрезка, совпадающее с т, если точка с входит в разбиение т, и получающееся из т добавлением к нему точки с, если эта точка не входит в разбиение т. Разбиение т* является объединением двух разбиений отрезков [а, с) и [с, Ь), которые мы обозначим соответственно т, и т„ т.
е. т" =т,()ть. Очевидно, для длин ломаных, соответствующих разбиениям т*, т„и ть справедливо равенство па=о; +а,, Но апра, =5г, зпро; =-5г, следова- !бб. Длина дуги кривой лбр Беря верхнюю грань множества чисел, которое получается прн всевозможных разбиениях т,„будем иметь: ~ .+~ „=-Е' П Отметим, что в лемме 2 не предполагается, что рассматриваемые кривые спрямляемы. Задача !2.
Построить пример иеспрямляемой кривой. Теорема 1. Если кривая Г=(г(!), а==.(=-.Ь) непрерывно дифференцируема, то она спрямляема, и ее длина Ег удовлетворяет неравенству ~ г (Ь) — г (а) ! -.=- 5г М (Ь вЂ” а), (16.9) где М = !пах ) !' (!) (. (16.10) !л, ь! Отметим, что в силу непрерывности производной г'(!), ее абсолютная величина (г'(!) ~ также непрерывна и потому достигает на отрезке !а, Ь) своего наибольшего значения М. До к аз а тельство. Возьмем какое-либо разбиение = !!г)!:о отрезка !а, Ь1. Тогда применив неравенство (! 5.! 1), получим л ~г(Ь) — ! (а) ~ = У, г((д — г(гг,) г=! л л ~,У', ! ! (г!) — !' ((! !) ! — ~ !! г' (Б!) ! ((! — !! !), (16.11) т=! г=! ! = 1, 2, ..., и.
где $! ен (!! „!!), Поскольку — длина вписанной в кривую Г ломаной, соответствующей разбиению т, и для всех !=1, 2, ..., п в силу (16.10) имеет место неравенство ~ г'($!) ! = М, то из неравенства (16.11) для любого разбиения т, будем иметь л ! !" (Ь) — г (а) ~ ~ ат = М,У', (!! — !! !) = М (Ь вЂ” а). (16.12) Перейдя в этом неравенстве к верхней грани по т, получим утверждение теоремы. ( ) Теорема 2. Луста кривая Г = (г (!) =(х (!), у (!), г (!)); а ~ 1 ~ Ь) непрерывно ди44еренцируема. Тогда переменная длина дуги з, отсчитываемая от начала т (а) кривой Г или соответственно от ее конца г (Ь), являгптся возрастающей, соответственно убывающей, э 1В. длина дуги кривой непрерывно ди4г4еренцируемой функцией параметра г; при этом ф=и+~~" ~ =! — "„!, 116.13) соответственно в' = — 'г'Ргр' +Р = — ! —, !.
~16Л4) щ Доказательство. Пусть в=в(г) длина дуги кривой Г от точки т (а) до точки г(1). Пусть гвен [а, Ь), Гв+Лг ~ [а, Ь! и Лв=в(то+Л1) — в(г). Очевидно, что функция з=з(г) возрастает на отрезке [а, Ь1, т. е. если Л()0, то Лэ==О; если же Л1(0, Лв то Л в ~ О. Поэтому всегда — -= О. Применив неравенство (16.9) к части кривой Г, соответствующей отрезку [1„1о+ Лг] при Л1 ) 0 (соответственно отрезку [го+И, Я при Лг(0), получим: )Р (Го+ Лг) — Р'(Го) ! --! Лз!(М ! Лг !1 откуда где М вЂ” наибольшее значение !г'(1) ! на отрезке [(о, 1и+Л(1 при Л()0 или на отрезке [(о+ЛГ, го) при ЛГ(0.
В СИЛУ НЕПрЕрЫВНОСтИ ПрОИЗВОдНОй гл (Г) ЕЕ абСОЛЮтНая величина ! г' (1) ! также непрерывна и потому ее наибольшее значение существует, т. е. принимается в некоторой точке 5= = 1,+ еЛг, О «= Е ( 1, указанного отрезка, Поэтому неравенство (16.15) можно переписать в виде ф !~" ((,+е Л() !, О(е(1. Перейди здесь к пределу при Л(-эО, в левой части неравенства в силу определения производной, а в правой в силу непрерывности производной г'(Г) в точке Г=(„получим !г'(го)!. Следопв вательно, предел Игп —, существует и также равен !г'(1о) !, т. е. аг оаг существует производная з'(гв) и з'((в)=!г'((о)!. Если г(г) =(х(Г), у(Г), г(г)), то г" (Г)=(х'(г), у'((), г'(г)) и потому в' (г) = ! '' (() ! = )'[х' (Н'+ Ь' (1)1'+ [г' (г))'. Если теперь а= о(г) — переменная длина дуги, отсчитываемая от конца г(Ь) кривой Г, то, очевидно, а=юг — в, откуда, дифференцируя это равенство по Г, будем иметь 1блс Длина дуги кривой 271 %1=' (16.16) Это сразу следует из формулы ~ —, ~ = —, при 1=в.
йк! вв йг ~ йг 3 а м е ч а н и е. Формула (16.16) имеет простой геометрический смысл. Поясним его. Пусть параметром непрерывно дифференцируемой кривой Г является переменная длина дуги в: Г =. =-(1'(в); О=в -5г), Величина ~бъг/=!г(в+Лв) — г(в)! равна длине отрезка, соединяющего точки г(в) и г(э+Лв). Этот отрезок называется обычно хордой, стягивающей дугу кривой Г с началом в точке г(в) и концом в точке г(в+Лв). длина указанной дуги, очевидно, равна !Лв! гйО (рис.
66). Поскольку — (= !!ш ~ — ~, то из Вв ( — ~ав1 ь о г(г+ев) равенства (16.16) следует, что д !пп — =1. (Лк~ Рис. бб а -о !ав! Это означает, что предел отношения длины дуги к длине стягивающей ее хорды равен единице, когда дуга стягивается в точку. В этом и состоит геометрический смысл формулы (16.16).
Следствие 2. Для всякой непрерывно дифференцируемой кривой Г без особых точек, т, е. для всякой гладкой кривой, суи1гствует ее представление 1' =1 (в), в котором за параметр в взята переменная длина дуги кривой Г. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть непрерывно дифференцируемая кривая Г=(г(1); ас="1(Ь) не имеет особых точек, т. е. г'(1) ~0 для всех 1еп[а, Ь). В этом случае переменная длина дуги в= =- в(1) является строго монотонно возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией, ибо „= ~г'! О во всех точках [а, Ь1.
Поэтому существует обратная функция 1=1(в), О~в~Яг, которая также строго монотонно возрастает и имеет непрерывную не обращающуюся в ноль производную на отрезке [О, Яг], т. е. функция 1 = 1(в) является допустимым преобразованием параметра для непрерывно дифференцируемых кривых без особых точек и представление г = г(1(в)) является искомым представлением, в котором роль параметра играет переменная длина дуги.
( ) Выясним теперь геометрический смысл координат вектора — . лг йв ' Обозначим через а, () и у углы, образованные вектором -„— или, лг что то же, касательной к кривой Г = (1 (в)) соответственно с ося- Следствие 1. Если параметром непрерывно дифферениируемой кривой является переменная длина дуги в, то 272 р !б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
