kudryavtsev1a (947413), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Длина дуги «риоой ми О«„Оу и Ог. Тогда из равенства ~ — „-~=-1, очевидно, следует, дс дс что проекции вектора — на осн координат равны соответственно дз йг направляющим косинусам вектора —: соза, совр и сову, т. е.
дз ' — = (СО5Я, СО5 (3, СО5 "г). (16.17) Наряду с этим для вектор-функции г(5) =-(л.(5), у(5), г(5)), как для всякой вектор-функции (см. п. 15.2), имеем г(С (г(х с(у дг' г(Т тдз' дз' дз, Сравнивая (16.17) и (16.18), получаем — - =- сося, ~ — соз р, — = сову. (16. 19) В качестве примера рассмотрим кривую, называемую иингчобой линией. Эта кривая задается представлением х=-асов(, у —.аз(п(, г=Ь(, а'+ Ьв ~ь О, 0 =-.
( == Т. Очевидно, что винтовая линия является бесконечно днфференцпруемой кривой, и так как х'+у' + г' == =- ае 5(п' (-(- ае созе (+ Ье = ав+ Ье ~ 0 то она не имеет особых точек (рис. 67). Рис. бг Следовательно, переменную длину ее дуп1 можно принять за параметр. Найдем соответству(ощее представление. Согласно формуле (16.13), имеем 12 аг+Ьг й( 1 ОтСЮда — =- П,таККаК((0)==О,те(=51'а'-(-Ьг. ПОЭтОМу дз Уае+га искомое представление имеет вид 5 к(5) =асоз, у(5) =-аз(п —,. 1 агя аг 1'аг —,ог г (5) =. — =', О яи 5 =- Т 1/аг + Ьг. ! ат-';бе У и р аж ие н не 2 Докгзать, что для спряиля.иоа кривой без точек саиопересе|ения персчеингя длина дзти является непрерывной строго ионотонной 4ункг(исй аараиаяла.
!«ьа. Плаские клевые 16.6. ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ Пусть Г =- (г. (1); а -.=1== Ь) — иепрерызио диффереицируемая плоская кривая, лежащая в плоскости хОу, Р (() =(л И), у(1)) и пусть з = з(Ь) — переменная длина дуги кривой Г; для ее производпой из формул (16.13) и (16.!4) получаем: ав ~/ /дк'»+ (буев (16.20) здесь знак е+» берется, если длина дуги в(У) отсчитывается от начальной точки «(а) кривой, и знак е †», если от коиечиой точки «(Ь). Из формулы (16.20) для дифференциала дуги получаем выражение (16. 21) Пусть точка (х((в), у((е)) — иеособая, т. е. х' ((е)+у'(гв) )О, например х'((в)чьО. Пусть для определеииости х'((е)~0, тогда в некоторой окрестности точки 1, также х'(1) 0 и, значит, функция л(() строго моиотоиио возрастает в этой окрестности; поэтому существует обратная непрерывно дифферепцируемая функ- ция г=-г(х).
Подставляя ее в представление кривой Г, находим у =у(((х)) =-1" (х), т. е. в некоторой окрестности иеособой точки непрерывно диффе- ренцпруемая кривая, является графиком непрерывно диффереи- цируемой функции ~: точнее, существуют окрестность точки ге и непрерывно дяффереицируемая функция 1, определеииая иа ве- котором интервале, содержащем точку х„=х(ее), такие, что часть кривой, соответствующая значениям параметра, принадлежащим указанной окрестности точки йя является ~рафиком функции Г. В сл)чае, если кривая Г является графиком иепрерывпо диф- ферепцпруемой фуикцпп д =)(х), формула (16.20) превращается в формулу е'в,« --'-=-+.1 1-;-у', и, следовательно, Ж=-г-)«1-1-д' с(х. Рассмотрим геометрический смысл формулы (16,21) в случае, когда Г является граФиком непрерывно диффереицируемой фуикции у=)(х), а=х=с'Ь, и длина дуги кривой отсчитывается от начальной точки кривой (рпс.
68). Пусть х,~ (а, Ь), хв+г(хе=(а, Ь1, уе=-)(хв), М,=(хв, уе), де+ йу=((х,+г(х), М =-(х,+Нх, у,+Лу), М»Ьà — касательная в точке М„РМ = Лд — приращение функции в точке л., + е(х, РЛ' ==- г(д — приращеиие ординаты касательной у ПЬ Д гика дуги кривой в точке х,+г(х. Треугольник М»Р1Р прямоугольный; поскольку М«Р=«(х, Р1«' =г(у, то М )Уй М Р» 1 Рйг» (х» 1 (у«(з» т. е.
длина отрезка касательной Мв)и' равна г(в. Иначе говоря, приращение длины касательной )г'г1х»+ г(уг равно главной части г(з приращения длины дуги бз. Если теперь на кривой Г в качестве параметра взята переменная длина дуги з: Г=(г(з); О ~в ~5г), то, согласно (16.19), — =соха, — „, =созр=а(па, а+р= —, (16.22) дх ду я где (рис. 69) а — угол, образованный касательной с осью Ох, а () — с осью Оу.
Рис. 6В Отметим, что эти формулы могут быть получены применением к «криволинейному треугольнику» М,МР (см. рис. 68) формул, выражающих синус и косинус углов обычного прямоугольного треугольника через его катеты и гипотенузу, считая стороны указанного «треугольника» М,МР равными соответственно г(х, г(у, г(з. Подобное обстоятельство имеет место и для пространственных формул (16.19). Такой метод получения формул (16.19) и (16.22) является, конечно, необоснованным — он не имеет доказательной силы, однако он облегчает запоминание этих формул. $6.7.
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ Пусть теперь годограф Г непрерывно дифференцируемой вектор-функции г(1) есть траектория движущейся материальной точки, а параметр 1 — время движения. Обозначим переменную длину дуги, отсчитываемую от некоторой начальной точки г(1«), через з=з(1). Пусть 1) 1«; положив Лз=з(г+Лг) — з(1) согласно (16.13), получим !+— дг 1 дк . ав — ~= — = Ипз —, и~ и „,ж' «Д1.
Радиальная а трансвгргальная состаоляюжаг скорости 27д т. е. длина вектора — совпадает с величиной скорости в расее дг д сматриваемой точке (см. п. 9.4); сам же вектор -„—, как мы знаем де (см. п. 1б.2), направлен по касательной. Вектор — „называется в этом случае скоростью движения в данной точке и обозначается еч й 17. КРИВИЗНА КРИВОЙ 17Л. ДВЕ ЛЕММЫ. РАДИАЛЬНАЯ И ТРАНСВЕРСАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ СКОРОСТИ Докажем две полезные для дальнейшего леммы о производных вектор-функции. Лемма 1. Пусть вектор-функция «(1) имеет производную в точке 1,.
Если длина вектора «(1) в некоторой окрестности пючки 1, постоянна, то вектор «'(1о) ортогонилен вектору 1 (1,), т. е. «'(1,)1 (1,)=0. (17.1) До к аз атель с тв о. По условию, существует окрестность точки 1„в которой длина вектора 1'(1) постоянна: ~«(1) ~ =с, где с — константа. Поэтому для всех точек указанной окрестности имеем ~г (1)~'=с', а следовательно, и г'(1)=с'. Вычислив производную функции «' (1) в точке 1„получим (см. п.
15.2) 21'(1,) «'(1,) =0 откуда и следует (17.1). Ц Физическая интерпретация этой леммы состоит в том, что у материальной точки, движущейся так, что она все время остается на поверхности сферы, ее скорость направлена по касательной к этой сфере и, следовательно, перпендикулярна радиус- вектору. Пусть функция 1'(1) определена в некоторой окрестности У(1о) точки 1, и пусть в этой окрестности «(1) ~0 (если вектор-функция «(1) непрерывна в точке 1„то условия неравенства нулю радиус-векторов «(1) в достаточно малой окрестности точки всегда можно добиться переносом начала координат). Пусть =1а+Ж~У(1о) и пусть гр=гр(1) — угол (выраженный в радианах) между векторами «(1,) и «(1), ~гр ~~п, причем будем считать, что гр(1)~0 для Сь1~0 и гр~О для А(~0.
В точке 1, для приращения Агр функции гр имеем а'Р=Ч'(1) — 'р(1о) =Ч'(1) Аг ибо гр(1о) =0; поэтому всегда АА=О. Э 17. Кривизна кривой йт' (Ео) Определение 1. Производная ' называется скоростью вра- йЕ и(ения вектор-функции г (Е) в точке Е, и обозначается ео = = ы (Ео' 1" (Е)): (17.2) Заметим, что, если выбрать противоположный отсчет углов, т. е. определить угол между векторами г(1,) и г(Е) как угол ф= — тр, то, очевидно, йч йр йь йф йŠ— -~0 и оз((о; г)= — — = — — = в( йЕ вц Таким образом, как при одном, так н при другом отсчете углов ер между векторами «(Е,) н г(Е) всегда м((о г)'=)-,~~ ~ ° Лемма 2. Пусть вектор-функция г(Е) определена в некоторой окрестности точки Е, и г(Ео)ФО.
Тогда, если в точке Ео суи(е- ствует производная г'(Е,), пю в этой точке существует и ско- рость вращения ео =- оз((о; г(Е)), причем От = .т (Е )! «(ЕО) ХЕ" (ЕО) ~ ° (17,3) Следствие. Если в дополнение к условиям леммы длина век- тора 1 (Е) постоянна: Е«(1),'=г, г — константа, то оз = !г' (Е) Е(г. (17.4) До к а з а те л ь с та о. В силу сушествования производной «'(1,) функция г(Е) непрерывна в точке Е,. Отсюда и из условия г(Е,) чьО следует, что для всех достаточно малых ЛЕ выполняется неравенство г(Ео+ЛЕ) ~ь0 и, следовательно, определен угол Лр между векторами г(1о) и г(Е,+ЛЕ). Из непрерывности вектор- функции 1 (1) в точке Е, следует также*) и непрерывность в точ- ке Ео функции ер(1), т.
е. 1(гп Лев=О ае о (как всегда ЛЕ=Š— (о, Л'р='р(Е) — 'р((о) = — тр((), ибо тр((о) =-0). Для вычисления производной (17.2) заменим бесконечно малую Лтр на эквивалентную ей при ЛŠ— 0 бесконечно малую з(пЛ~р (см. лемму в п. 8.2), которую можно найти из формулы Ег((о)хг((о+ЛЕ) ' = (го((о) ~ ~ г((о+ЛГ) ) ! з(п Лер(. г(Е„) г(Е) *' Это вытекает, например, вз равенства ст ер = !7.!. Радиальная и трансвгрсаланая составляющие скорости 777 В силу теоремы 2 и. 8.3 о замене бесконечно малых им эквива- лентными при вычислении, пределов имеем ~т((а)хт(а+~О~ ) 1 (~)х (~о+ )~ ы о ~т(са)~~т(са+ЛО~,'дс: т'Ио) дт- о Здесь снова была использована непрерывность вектор-функции г (() в точке )о: 1(гп г((о+Л() =г(1,). ы о Далее, поскольку функция г (1) дифференцируема в точке 1,, то Г((о+ Л() -=г ((о)+гл ((о) Л(+ е (Л() Л(, где 1!п) в(Л1) =О.
Подставив это выражение для г(со-(-Л() в (17.5) ы-о и заметив, что (г(со) хг((о) ~ =0 и !ип',г(1о))(а(Ж) =0 получим: ы-о АР . Лтр , 'т ((а) М Г ((а) ~ от= — = Ищ — = ' а дт-о д( т'(са) Доказательство следствия. Если ~г(с) (с-г — постоянная, то в силу леммы 1 г (со) г' ()о) = О, т.
е. ~ г (1,) ~ ~'г' (1,) ~ соз гг'= =О. Поскольку (г((о)(~О, то либо г'((о),'=О, либо угол гг' между векторами г ((о) и г' ((о) равен а- н(2 и, следовательно, ) з(пгг') =1. В обоих случаях )7 ((о)хг ((о)~=(г((о)~~г ((о)~ эапгг !=с~г ()о)~ Подставляя это выражение в формулу (17.3), получим (17.4). ( 3 Леммы 1 и 2 остаются справедливыми и в случае, если в них под окрестностями понимать односторонние окрестности. Для выяснения физического смысла формул (17.3) и (17.4) будем снова интерпретировать кривую, описываемую концом радиус-вектора г (с), как траекторию движения материальной точки, а параметр с — как время.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
