kudryavtsev1a (947413), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Пусть длина вектора г(1) остается постоянной: ~ г(7) ) = г, т. е. точка движется по сфере радиуса г. Рассмотрим движение точки в каждый момент времени как вращение около так называемой мгновенной оси вращения, т. е. оси, проходящей через начало координат перпендикулярно плоскости движения (так называется плоскость, проходящая через радиус- вектор 7.(7) параллельно скорости тт=- —. Тогда вектор от = дт (О д( = (гхг')/то физически означает вектор угловой скорости, а формулы (!7.3) и (17А) выражают связь между угловой скоростью оа и линейной скоростью е.
В частности, формула (17.4) в этих обозначениях принимает вид ~ ~ао ) = ) та )/г. г7В В 17. Крививиа кривой 3 а м е ч а н и е. Используя лемму 1, можно легко получить разложение производной вектор-функции на две ортогональные составляющие: в направлении вектора г (() (радиальная составляющая) и в перпендикулярном направлении (трансверсальная составлиои(ая). Пусзь вектор-функция г(1) определена в некоторой окрестности точки (о, «(() ~0 и существует производная г'(1,). Положим го(()= —, очевидно, (го(О)= — 1. В точке го существует г(О /г(Ф)/' производная й~г, 'й .г — о« вЂ” '= — "Р 1' = — =1,Г', от ги г ~г~ о следовательно, в точке го существует и производная- — „, которая, йго согласно лемме 1, ортогональна вектору г,(1,), а потому, и вектору г((о).
Дифференцируя равенство г(1) =)г(1) ) го(1) в точке („ получим —" = — го+! г ! — „' = («ог') го+ ~ г! — "' . (17.6) Это и есть искомое разложение. В случае, если годограф вектор-функции г(1) является траекторией движущейся материальной точки, то формула (17.6) дает разложение ее скорости на составляющую поступательного движения (радиальиая составляющая) и составляющую вращательного движения (траисверсальная составляющая).
(7.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВИЗНЫ КРИВОЙ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ Пусть Г = (1 (з); 0 ( з ~ 5) — непрерывно дифференцируемая и, следовательно, спрямляемая кривая, з — переменная длина дуги О(во~5, аз=э — з„а со=а(з) — угол между касательными к кривой Г в точках г(з,) и г(во+Аз), причем будем считать, что а(з)= 0 для 11з~О и сс(з)(0 для бз(0. Очевидно, Асс= = сс(з) — а (зо) = сс (з), ибо а (зо? = О.
Пусть теперь е(з)= й . Как было показано, Г(з) является йг (в) единичным вектором (см. (16.16)), параллельным касательной к кривой в соответствующей точке (см. и. 16.4), поэтому угол Ьа является и углом между векторами Г(зо) и е(во+ стз). Определение 2.
Угловая скорость враи„ения касательного единичйг ного вектора г= — и данной точке кривой называется кривизной йв й(зо) кривой в этой точке, й(зо) = со(зо' 1) = — „ йа (во) 17.2. Онреоеление кривизны кривой и ее вьыиеление 279 Опуская для краткости значение аргумента, получаем (17.7) Поскольку ~2~=1, то в силу следствия леммы 2 из п. !7.1 отсюда имеем й=ф~ (17.8) йе если, конечно, производная --; существует). Определение 3. Величина, обратнол кривизне, называется ра. диусом кривизны в данной точке и обозначается Гт, т. е. ее = 117».
Пусть à — окружность радиуса )т. В этом случае угол Лсе между касательными равен углу, образованному радиусами точек касания (рис. 70), а для длины дуги Лз между этими точками имеется фор- йа1 1 мула Лз =- ЯЛа. Поэтому ав~ я По определению же кривизны для окружности имеем й=!ип1 — ~ = —. за 1 1 ю-в лв ~ Таким образом, в случае окружности ее кривизна й постоянна (не зависит от точки) и равна обратной вели- Рие. 70 чине радиуса; радиус же кривизны окружности равен ее радиусу. Отсюда и произошел термин «радиус кривизны».
Достаточные условия существования кривизны в данной точке и метод ее вычисления даются следующей теоремой. Теорема 1. 77усть Г =(г(1); а =1н=Ь) — дважды дифференцируемая кривая без особых точек. Тогда в каждой ее точке суи(ествует кривизна и (17.9) я=~г'хг")/)гн )». Штрихом здесь и в дальнейшем обозначаются производные по произвольному параметру Л Производные по длине дуги з будем обозначать символом —. йе Дока за тель ство.
При предположениях теоремы переменная длина дуги в=з(1), а.=.г~Ь, О==в(3, кривой Г может быть принята на этой кривой за параметр (см. следствие 2 из теоремы 2 в и. 16.5). При этом единичный касательный вектор 2= —- ее йе является непрерывно -дифференцируемой вектор-функцией и поэтому для него при каждом значении з,~(0, 5] определена ско- гво э гд Кривизна нривва Рость его вРащениЯ оз(зо; 5), т.
е. в каждой точке кРивой Г определена кривизна Л (5,) = ОЗ (во' Г) = ~ (17. 1О) где а=а(5) — угол между векторами .„' и — „, выбранный, йг (5 ) йг (5) как указано в начале этого пункта. В частности, это означает, что для всех вен(0, о) выполняется неравенство „«О.
ДХ (5) Из формулы аа ! аох й5' 1,, 1 ! ГХГ" | и (55) — = | | = ОЗ(55 Г ) аз | щ 25| ' |р( 'г|5 (мы воспользовались также формулой (16.13)). ( ) От формулы (17.9) легко перейти к выражению для кривизны в координатной записи. В самом деле, замечая, что г' = (х', у', г'), г =(х, у, г) и что 5 .7 й х' у' г' Х" у" гв г'ХГв= (где г', Д, Ф вЂ” единичные векторы соответственно в направлении осей Ох, Оу, Ог), получаем |Г'ХГ" | =)l (уг" — у г )О+(г Хв — г Х)5+(Х у' — Х у )О, (17.12) с другой стороны $ '/=) „55"+,, (1735) Подставив (17.12) и (17.13) в (!7.9), мы и найдем искомое выражение.
аг(), Н г(0 аз аз 5 =Р' ()— следует, что векторы — и г'(1) при 5=5 (() всегда коллинедг (5) аз арны, и поскольку функция з'(7) не меняет знака, то указанные векторы либо всегда имеют одно ваправление (если 5'(г)«0), либо всегда противоположное (если 5'(1) (0). При этом в первом случае достаточно малым приращениям Л5 соответствуют приращения Ьв того же знака, а во втором— противоположного. В силу сказанного, если 5,=5(1,), г,оп(а, Ь!, и если р=|) (1) — угол между векторами г'(го) и г'(1), то 'либо для всех 1~(а, Ь1 будет р =со, либо для всех ген|а, Ь) будет (1= — 55; поэтому (см.
п. 17.1) (., ')=~Я (17.11) Теперь, используя формулы (17.10), (17.1!) и лемму 2, полу- чим 17.8. Гласная норапль. Соприкасающаяся плоскость 2В1 17.3. ГЛАВНАЯ НОРМАЛЬ. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ Рассмотрим дважды дифференнируемую кривую Р без особых точек. У такой кривой существует дважды днфференннруемое представление е= — г(в), где э — переменная длина дуги, О =. я~5. Обозначим через а единичный вектор в направлении вектора йе лг --, где 2 = - — единичный касательный вектор к рассматриваемой а5 Ля кривой. Из формулы (!7.8) следует, что л определен лишь для тех точек, в которых кривизна йчьО, и что в этих точках — „— = йл.
(17.14) Вектор 2 — единичный, поэтому вектор и перпендикулярен (см. п. 17.1) вектору 1. Формула (17.14) называется срормулой Френе *'. Пьг ! п-г Вектор —,, а значит, и вектор и = —,, не зависят от выбора пь у Пса ориентации кривой. Действительно, если и — переменная длина дуги кривой, вМ отсч1пываел!ая а противоположном, чем э, направлении, и, следовагельпо, если ва о =  — э, то, замечая, что — = — 1 ля ! получим ~''ь --." (2)'= ~':ь или, заметив, что (см.
17.14)) Вг ляг с!1 --- =2 — = — =йп Ля2,1я Ф (17.15» " Ж. Ф р е н е (! 801 — 1880» - фракаузскнй математик. Определение 4. Всякая прямая, проходящая через точку кривой и перпен- в дпкулярная к касательной в этой точ- Рас. 71 ке, называется нормалью к кривой в данной точке. Нормаль к кривой, параллельная вектору л, наэываыпгя главной нормалью. Вектор главной нормали и с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем стет, указывает направление, в котором кривая в окрестности данной точки отклоняется от своей касательной (рис. 71). Действительно, выбирая на кривой в качестве параметра переменную длину дуги в, согласно формуле Тейлора для вектор-функции (см.
и. 15.2), будем иметь Аl =к(во+Аз) — г(эо) = — „' йв+ -2- „..' «ь'+о(йэ'). 2В2 Ф 17. Кривизна кривой получим Лг = Лет+ -' Ыблап+ о(два) поскольку — Йбе =»О, то эта формула и доказывает справедли- 1 вость нашего утверждения. Определение 5. Плоскость, проходящая через касательнучо и главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающеися плоскостью. В силу этого определения соприкасающаяся плоскость определена для точек, в которых ЙФО. Найдем уравнение этой плоскости для кривой, заданной, представлением г=г(Г) с произвольным параметром Г.
Как и выше, производные по переменному г будем обозначать штрихом, а производные по длине дуги и в — символом —. Дифференцируя йз ' г = г (1) как сложную функцию г=г(е), зк в(Г), получим (см. (17.15)) г= — з=зг, йг йз г" = з' — + э"2 = в'йп+ в"2. (17.16) йз Рис. 72 Отсюда следует, что векторы г' и г" также параллельны соприкасающейся плоскости; в силу же условия (г ~ 0 выполняется неравенство г' мг" ~ О (см.
(17.9)), и, значит, г' и г" не коллинеарвы. Обозначим теперь через г„ го и га векторы г, г' и г в некоторой фиксированной точке данной кривой Г, а через г обозначим текущий вектор соприкасающейся плоскости; тогда смешанное произведение векторов г — г„ га и го должно быть равно нулю, так как все онн параллельны соприкасающейся плоскости (рис. 72): (г го го го) = О Это н есть уравнение указанной плоскости в векторном виде.
В координатном виде оно запишется следующим образом х — хо У вЂ” Уа г — го хо уо го ха Уа го =О, где га=(ха, уо, го) г"=(хо, Уа, га). В случае если в даннон точке )а=О, то любая плоскость, проходящая через касательную в этой точке, называется сопри- касаюи(ейся, 175я Формулы Влл кривизны и гволюты илоской кривой увв 17.4. ЦЕНТР КРИВИЗНЫ И ЭВОЛЮТА КРИВОИ Определение 6. Точка пространства, лежащая на главной нор- мали к кривой в данной точке и находящаяся от втой точки на расстоянии )с в направлении вектора н, называется центром кривизны кривой в указанной ее точке. Таким образом, если р является радиус-вектором центра кри- визны, а г, как обычно, радиус-вектор данной' точки кривой, то р= «+Рп, или, что то же (см. (17.15)), 1 Вгг р =г+ —,— — „—,.
(17.17) Найдем выражение р через производные вектор-функции по произвольному параметру 1. По правилу дифференцирования сложной функции, вг, т — -=г' — = —, (17.13) Эти формулы в силу формул (17.18), очевидно, являются обра- щением формул (17.16). Подставив (17.18) в (17.17), получим р=г+ — ' (17,19) где (считая для простоты, что при возрастании параметра 1 длина дуги э(1) также возрастает) э'= ~«' ~=Ух' +у' +г', откуда х'х" +у'у" +г'г" )г х' ц у'г + г' Формулы (17.17) и (17.!9) можно рассматривать как пред- ставления некоторой кривой, тачками которой являются центры кривизны данной кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
