kudryavtsev1a (947413), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Эта кривая называется эволютой дап- ной кривой. 17.5. ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ И ЭВОЛ1ОТЫ ПЛОСКОИ КРИВОИ Все сказанное в предыдущем пункте, в частности, справедливо и для плоских кривых. Заметим лишь, что если кривая Г = (г (1)) лежит в некоторой плоскости, то все производные вектор-функции «(1) также лежат в этой плоскости. В самом деле, в ней лежит приращение вектор-функции Лг=г(1+Л1) — г(1), аг а поэтому и отношение —. Отсюда легко следует, что и предел э !Х Кривизна кривой этих отношений г'= !пп - — лежит в указанной плоскости.
При- Л« м-оар меняя то же рассуждение к г', мы докажем, что и г" находится в той же плоскости, и т. д, Из сказанного следует, что если кривая лежит в некоторой плоскости, то касательный вектор г, а если ее кривизна у ~= О, то и вектор главной нормали /2 у лежат в той же плоскости.
Пом этому эта плоскость является сола, прикасающейся плоскостью для рассматриваемой кривой. Мв Отметим также, что, если в случае кривой Г = (г (5)',, лежа- /2 /2+а а щей в плоскости хОу в отличие у х от п. 17.2 через а (з) обозначить угол, образованный касательной в точке «(5) с осью Ох (рис 73), то Ла = а (зв+ Лз) — а (зз) будет являться углом между касательными в точках «(зв) и «(з„+Лз).
Если угол /2 возрастает вместе Л/Х лсс йи с з, т. е. если =0 при Лз)0, то л=!'пп - — = — -;если жеа =„„влр = и' убывает с возрастанием з, то Ьи йх й=- — 1пп — - = — —. Лз йз Выпишем некоторые из формул, полученных в предыдущем пункте, считая, что кривая Г=-// (!); а((~Ь! лежит в плоскости ХОу «(!) =(х(!), у(()). Из формул (17.9), (17.12) и (17.13) имеем ! ! х'у" — х'у' ,' К/ (х' + ' ) / (17.20) Обозначая (хй, т!) центр кривизны кривой Г, из формулы (17.17) получим формулы, выражающие координаты' Ц и т) через производные по з: йзх уху 2 =х-1-)72 — 21=у-1-)Зз —— йзз ' 35Ь а из формул (17.19) и (17.20) следуют формулы, выражающие координаты центра кривизны через производные по произвольному параметру (: 2«,2,2, ХХ +У // х' у х' +у' — х' (х'+у')' )«х'+у' + ( 'у" — ху)2 - з ( .2+ у,х) 2 17.5. Формулы для кривизны и вволюты плоской кривой 2дд аналогично, х а+у' т)=у+х' (17.22) У п р а ж н е н и е 1.
Пусть à — дважды дийхуеренпируеиая плоская кривая без особых точек, пусть а — угол яаклона ее касательной к оси Ох н пусть ба 1 Ь»=. (следовательно, !Ь» 1=-Ь) и Я»=- . Показать, что $=х — Я» япа, 45 Ь»' ду дх »!=у-!.Я* сова, а также что й=х — —, в=у+ йа' Йс В случае, когда кривая является графиком функции у=р(х), формулы (17.20), (!7.21) и (17.22) принима!от вид .з з,» (17.23) у (17.24) т) =у+ у" П р и меры.
1. Найдем кривизну и эволюту параболы у=ах', а) О. Замечая, что у'=2ах, у"=2а, по формуле (17.23) имеем й = 2а Чтобы найти уравнение эволюты, воспользуемсн !! +4азхз)з'з формулами (!7.24): 1+4а'х' з 1+4азхз бавхз+1 $=х— 2а ' ' 2а 2а 2ат 4аахз т! = ах'+ — — = (4 !) ( 6 з ~' Отнуда й ~ ~у (т) ) Эта кривая, изображенная на рнс. 74, является, как мы знаем (см. пример 2 в п.
14.3), полукубической параболой. 2. Найдем радиус кривизны н эволюту эллипса х=асоэ(, у=Ьв!ну, аз:Ь)0. Заметив, что х'= — аз!пГ, у'=Ьсозу, х"= — асов(, у" = = — Ьз!о!, по формуле (17.20) получим И 1 (аз з!па+ а»сова 0 рл (аз з!па !+ьз сспв г!згз А аЬ з!па !+аЬ созз 1 аЬ Получилось параметрическое представление эволюты параболы с параметром х.
Можно получить и ее явное представление, исключив этот параметр х. Для этого из первого равенства найдем х'= — $74ав, а из второго хз=(2ат! — 1)убаз. Возводя первое получившееся равенство в квадрат, а второе в куб и приравнивая правые части, будем иметь 286 Э !7. Кривизна кривой Поэтому из формул (17.21) и (17.22) аг Мин+ Ьгсозг Г а=асозс — асов| аЬ т1 = з(п — а з(п 4 аз Наг С+ Ьз созг с аЬ следует, что а' — Ь' созз1, Ьз — аз згпз( Ь Это параметрическое представление искомой эволюты; параметр 1 можно исключить, возводя получившиеся равенства в степень 2/3 и складывая их: (аз)г1з+ (Ь, )ггз (аг Ьг)г,з Эта кривая называется астроидой (рис, 75), Рис. 74 Рис.
78 Иногда для изображения кривой бывает удобно использовать так называемые полярные координаты (р, ч0, р га О, — и < чг ( и, где р — длина радиус-вектора данной точки М, а ч~ — угол, обра- зованный этим радиус-вектором с осью Ох. Таким образом, каж- дой точке плоскости, кроме начала координат, взаимно однозначно соответствует указанная упорядоченная пара (р, ф; для начала же координат имеем р=О, а угол ~р не определен (рис.
76). Если М = (х, у) где, как обычно, х и у †декарто коорди- наты точки М, то х = р соз ср, у = р з(п ср. (17.25) Обратная связь выражается формулами р=ф'ха+уз, ~р=агс1ц «+1гп, где (с=О, если х=-О, (з=1, если х(0, у~О, и А= — 1, если у~О; при этом, как обычно, при х=О, у 4=0 считается агс1я — = — з(цпд.
«Л к 2 17.б. Формулы для крив«зны и эволюты плавной кривой 2б7 Иногда на угол Чг не накладывают ограничения — п.с'гр-=п, а обозначают через гр любой угол, для которого (игр=-У. В этом х случае соответствие между упорядоченнымн парами (р, гр), р ~(), и точками плоскости, отличными от начала координат, уже, очевидно, не является взаимно однозначным. Еслн задана непрерывная функция р = р (гр), а ~ гр ~ р, (17.26) то, подставляя ее в (17.25), получаем х=р(гр)созгр, у=р(гр)э[игр, (17.27) Рис. 7б т. е.
параметрическое представление некоторой кривой Г. В этом смысле можно говорить, что уравнение (17.26) задает в полярных координатах кривую Г. Для вычисления кривизны, радиуса кривизны и эволюты кривой Г, заданной уравнением (!7.26)„надо перейти к ее параметрическому представлению (17.27) и воспользоваться выведенными выше формулами. Уп р а ж не на я 2.
Пусть в полярных координатах задана кривая р= =р (гр), пусть а — угол наклона ее касательной к осн Ох, а оэ — угол, образованный этой касательной с продолжением радиус-вектора точки касания. Доказать, что а=а+э н 1й ы=Р/Р'. 3 Найти зволюту кривой р=а(1+сова), О:-гр~2я называемой кардиоидой. У к а з а н я е. Полезно воспользоваться результатами упражнений 1 н 2. Задача 13. Пусть à — дважды днфференпнруемая кривая без особых точек, Г=(г(г); а~((Ь), я пусть /в~ [а, Ь1, гв+Лгг гн[а, Ь), гв+Л)эгы [а, Ь1.
Проведем через точки г(1„), г((в+Лад н г((в+ага) плоскость; доказать, что если в точке г(тв) кривизна а~О, то прн ЛГг-~О н Лтэ-~0 эта плоскость стремится (опрсделнте это понятне) к соприкасающейся плоскостн в точке г (га). Задача 14. В предположении предыдущей задачи проведем через те же трн точкн г((в), г (Гв+ЛГг) н г (1„+Лтз) окружность.
Доказать, что эта окружность прн Лц О н Л(в-во стремится к окружностн (ояределнге это понятне), лежащей в сопрнкасающейся плоскости с центром в пентре крнвнзны кривой н раднусом, равнылг радиусу кривизны в точке г(( ). Зта предельная окружность называется соприггасаюи(вйся окружностью в данной точке кривой. ГЛАВА ВТОРАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ 11ЕРЕМЕННЬ1Х 5 18. МНОЖЕСТВА НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 18Л. ОКРЕСТНОСТИ ТОЧЕК. ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬИОСТЕИ ТО'1ЕК Прежде чем перейти к изучению функций многих переменных, ознакомимся с некоторыми свойствами множеств, на которых эти функции задаются.
Будем предполагать, что на рассматриваемой нами плоскости или в пространстве всегда задана некоторая прямоугольная система декартовых координат. Точки будем большей частью обозначать буквами а, Ь, ..., х, у, г,,*>, а их координаты — теми же буквами с индексами, т. е. в случае плоскости будем писать х=(х» х,), у=(у„уз), а в случае пространства х=(х» х„ха), у=(у,, у„у,). Расстояние между точками х и у будем обозначать р(х, у). Как известно, формула для расстояния между точками х и у в случае плоскости имеет вид р (х, у) = )/ (х, — у,)' + (х, — уз)', а в случае пространства— р (х, у) =)г (хт — у~)я+ (хт — уз)'+ (хз — уз)'. В дальнейшем придется иметь дело не только с функциями двух и трех переменных, но н с функциями большего числа переменных, а поэтому полезно ввести понятие и-мерного пространства для любого и= 1, 2, 3, ...
Определение 1. Точкой х и-мерного пространства называется упорядоченная совокупность и действительных чисел (хт, ..., х„) =- х. Число х; называется 1-координатой точки х; 1= 1, 2, ..., и. Расстояние между двумя точками (хт, ..., х ) и (у» ., уа) определяется по формуле р(х, у)=3 (х,— у,)'+ ...
+(ха — у,)*. (181) ю Иногда точки обозначаются и большими буквами, например М, Аг, Р, а нк координаты †буква х, у, т. увд. Окрестности то«ек. Пределы последовательностей то«ек эвам я Г я Г а1Ь1~1/ ~', а' 1/ ~ Ь,-". 1 .=- 1 1=1 1=1 Следствие. 1 1 н ,Г н Г ~Х', (а!+ Ьс)' = 1/ л,' а;-+ ~/ ~л Ь). != 1 1 (18.2) (18.3) Доказательство. Если все а; =О, 1=-1, 2, ..., и, то неравенство (18.2) очевидно — обе его части обращаются в ноль.
Если же а1+ ... +а'-„>О, то рассмотрим квадратичную функцию г (1) = ~к~ (а1!+Ь1)т=.(а ~; а;+21 У', аА+ '~, Ь,"-. (18 4) *' Г. Ш а а р ц (!848 — !92!) — цемецкал математнк. зц куаряяцев л. Д, т. 1 Совокупность точек и-мерного пространства, для ко!порыл определено расстояние согласно формуле (18.1), называется п-мерным евклидовым пространством (или, более полно, п-мерным арифметическим евклидовым пространством) и обозначается через )ся нли Я,". Иногда для краткости вместо х=(х„..., х„) будем писать х =- (х1). В случае и= 1 пространство )кя совпадает с прямой, в случае и = 2 — с плоскостью, а в случае п = 3 — с пространством, изучаемым в элементарной и аналитической геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
