kudryavtsev1a (947413), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Различные тины множеств то например для каждого р=1, 2..., существует такой номер т, что для всех т = тр выполняется неравенство р< ..', о>-~тч.„° ~р откуда в силу (18.1!) следует, что (хь"> )+... +! хою )) р. (18.16) Поэтому при данном р найдется такая с'-ая координата, с'=1, 2, ..., и, что для нее будем иметь х(ы) ~--- и' В противном случае, т. е. если для всех 1=1, 2, ..., и имело бы место неравенство ) х)(еп ( < --, то не выполнялось бы неравенство (18.16). Номеров координат конечное число, а поэтому один из них, обозначим его через 1„ при р=1„2, ...

будет повторяться бесконечно много раз, т. е. найдется такая подпоследовательность рн натуральных чисел, что при всех т ~ р„, я = 1, 2, ..., будем иметь: ~ хо") ~' =- о,(п, Поскольку 1пп (ре(п)=+ оо, то для указанного сь получим 11щ х<'"> = со. ! $8.2. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ МНОЖЕСТВ В настоящем пункте рассматриваются вопросы, вспомогательные для дальнейшего изложения математического анализа н связанные с геометрией и-мерного пространства. Определение 12. Пусть Š— некоторое множество точек евклидова пространства )с". Точка х в= Е называется внутренней точкой множества (относительно пространства сч' ), если сущеспмует а-окрестность этой точки, содержаи)аяся во множестве Е„т. е. существует такое е>0, что (т'(х', е) ~ Е.

Определение 13. Множество, каждая точка которого является его внутренней точкой (относитгльно рассматриваемого пространства тч"), назьсвается открытым множеством. Следует иметь в виду, что одна и та же точка одного и того же множества может быть его внутренней точкой относительно одного пространства, содержащего это множество, и не быть внутренней точкой рассматриваемого множества относительно другого пространства, также содержащего это множество. Рассмотрим, например, пространство )сче, т.

е. плоскость с некоторой фикси- Э И. Множества на плоскости и в пространстве рованной системой декартовых координат, которые будем обозначать х и у. Ось л-ов этой плоскости, как всякая числовая. ось, является евклидовым пространством Щ. Каждая точка какого- либо интервала (а, Ь) этой оси, т. е. множество точек ((х, у): а(х(Ь, у=О) плоскости Кв, является внутренней точкой этого интервала отно- сительно указанного пространства /с„' (оси х-ов) и не является внутренней точкой этого интервала относительно всей плоско- сти /ств.

Тем самым интервал (о, 6) является открытым множеством пространства К и не является открытым множеством пространства /с(в. Важный класс открытых множеств / 1 л ~~ устанавливается следующей леммой. / Лемма 3. Всякая е-окрестноспю / l ) (/(х, 'е) любой точки х е= )лг явсягп;ся 1 а х ) огпкрытым множеством. / Доказательство. Пусть задана / некоторая окрестность 1/(х; е) и пусть у =(/(х,.). П 6 =. е — р (у, х) (1 3. 17) и покажем, что (/(у; 6) с: 1/ (лд е) (рис. 82).

Если ге.=(/(у; 6) и, значит, р(г', у)(6, то, применив нера- венство треугольника и (18.17), получим р(г, х) === р(г, у)+р(у, х) (6+р(у, х) —.-е, т. е, а~1/(х; е). В силу того что г — произвольная точка мно- жества 1/(у; 6), это означает, что (/(у; 6) с:.(/(х; е). ( ) Открытые множества пространства Р" будем обозначать боль- шей частью буквой 6. Уп р аж не н не 3. Доказать, что множество внутренннх точек всякого множества является открытым множеством. Лемма 4. Пересечение конечного числа, так же как и обавда- нение любой совокупности открьгтых лгножвсптв являются откры- тыми множествами, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 6„6„..., 6» — открытые мно- жества пространства /с'. Если их пересечение П 6, — пустое / — — ! множество, то оно является открытым ибо его множество внут- ренних точек пусто и, следовательно, совпадает с самим пепесе- чением.

Если же указанное пересечение не пусто и хан П 6/, г=! !В.2. розничные типы множеств Вйг то, в силу открытости множеств 6, для каждого (=1, 2, ..., к существует такое е, ) О, что (г' (х; е,) ~ 6,. Полагая е = = гп(п (е„..., еь), получим, что для каждого 1' справедливо включение (Г(х, е) с: 6, (у = 1, 2, ..., й). Следовательно, (Г(х, е) с с:.

П Ого т. е. точка х является внутренней для пересечения г'=1 П О,. Поскольку х — произвольная точка этого пересечения, оно г'=- ! является открытым множеством. Пусть теперь дана произвольная система открытых множеств (6 ',, а ен 2(, где 9( — некоторое множество индексов, и 6 = О 6„. аыи Покажем, что Π— открытое множество. Действительно, какова бы нн была точка х ч= 6, существует такой индекс ач я гл, что х~О,.

Поскольку О„,— открытое множество, то найдется такое в)0, что (г(х; е)~Ого. Но тогда (г'(х, е)с О 6„=6, т. е. вы к х — внутренняя точка множества 6, и значит это множество открыто. Д Очень удобным оказывается следующее определение. Определение 14. Всякое открытое множество, содержащее точку называется ее окрестностью. Окрестность точки х будет обычно обозначаться через О = О(х), быть может, с теми или иными индексами. Замечание. Во всякой окрестности сг(х) точки х, очевидно, содержится как сферическая, так и прямоугольная окрестность этой точки.

Далее, при понимании окрестности точки в смысле определения 14 сохраняется и аналог свойства (18.12), т. е. точка х является пределом последовательности (х'"!', тогда и только тогда, когда для каждой ее окрестности Ег(х) существует такой номер т„что для всех т==.т, выполняется включение х'"' е= О (х). Определение 15. Точка хе:-гг'" называется точкой прикосновения множества Е с: гс", если лпгбая окрестность э!пай пючки содержит по крайней мере одну точку множества Е. Очевидно, что каждая точка множества Е является его точкой прикосновения, ибо всякая окрестность точки хе:— Е содержит саму точку х.

Вместе с тем могут, конечно, сущестновать и точки прикосновения данного множества, не принадлежащие ему (например, концы интервала на прямой являются его точками прикосновения). У П р аж и ЕНИЕ 4. ЛОКаяатЬ, Чтп Нпя ТОГО Чтабм тОЧКа Х гн ггп бЫЛа точкой прикосновения множества Е ~ ггп, необходимо и достаточно, чтобы сунгествовала последовательность точек х'ы' гн Е, пг= 1, 2, ..., такая, что 1пп х'ы' =х.

зо2 Э га. гг!ножествп но плоскости и в пространстве Определение 16. Если у точки х ~ Е существует окрестнонпь, не содержащая никаких других точек множеспгва Е, кроме самой точки х, то зта пгочка называется изолированной точкой множества Е. Определение 17. Точка х ~Е" называется предельной точкой множества Е, ееги любая окрестность точки х содержит ао крайней иере одну точку множества Е, отличную от х. Очевидно, что предельная точка является точкой прикосновения. У всякой точки прикосновения х, множества Е либо существует окрестность, содержащая лишь одну точку из Е (в этом случае этой точкой является сама точка х,), либо такой окрестности нет, т.

е. в каждой окрестности точки х, имеется по крайней мере две точки множества Е (следовательно, по крайней мере одна из них отлична от х,). Поэтому всякая точка прикосновения множества Е является либо его изолированной точкой, либо его предельной точкой (в последнем случае она может как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству). Г1 р и меры.

Пусть и =1, Е=(0, 1) — интервал. Каждая точка отрезка 10, 11 является точкой прикосновения и предельной точкой множества Е, при этом точки 0 н 1 не принадлежат самому множеству Е. Если Е=-(0, 11 — отрезок, то множество точек прикосновения множества Е совпадает с самим множеством. Наконец, если множество Е состоит из интервала (О, 1) и точки 2, т. е. Е=(0, 1)()гг2), то точка 2 является его изолированной точкой, а множеством его точек прикосновения будет (О, 11() г2).

Определение 18. Совокупность всех точек прикосновения множестса Е ~Я" называется замыканием лгножества Е и обозначается Ё. Как уже отмечалось, каждая точка множества Е является его точкой прикосновения, поэтому Е с: Е. (18. 18) Определение 19. Мнггжестсо Е называется залгкнутылг, если Е=Е, т. е. если оно содержат все свои точки прикосновения. Например, при а = 1 интервал (О, 1) не является замкнутым множеством, а отрезок [О, 1] — замкнутое множество. Все пространство н пустое множество являются единственными в Я" одновременно замкнутыми и открытыми множествами (проверьте это). Поскольку всякая точка прикосновения множества является либо его предельной, либо его изолированной точкой, а изолированная точка в силу самого своего определения принадлежит множеству, то требование принадлежности каждой точки прикос.- новения к множеству эквивалентно требованию принадлежности к этому множеству каждой его предельной точки.

Иначе ~оворя, >8.2 Различньье типы множеств 803 множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, У яр аж нонне 5. Пусть Е с Еа с Ен. Доказать, что к = Ян является точкой прикосновения множества Е в пространстве Ен тогда и только тогда, когда она принадлежит пространству яь и является в пем точкой прикосновения множества Е. Отсюда следует, что множество Е является замкнутым множеством про. странства йь" тогда и только тогда, когда оно является замкнутым множеством пространства Ен.

Таким образом, свойство множества быть замкнутым в некотором пространстве РЯ является его «внутренним> свойством, т. е. свойством, которое не зависит от выбора пространства Ен, в котором лежит рассматриваемое множество. Как было отмечено выше, свойство множества 'быть открытыи не является «выутреььььим> свойством в указанном смысле, одно и то же множество может быгь открытым в одном пространстве Ен и не быть откры. тым в другом Отметим следующее очевидное свойство замкнутых множеств. Если А — замкнутое множество, а (хьмь) — сходящаяся последовательность, все члены которой принадлежат множеству А: хь"'ь е= Л, т=-1, 2, ..., то ее предел также принадлежит мноясестсу А.

Действительно, если хоп=- 1ьгп хьвоь, то из определения преп>- > дела последовательности точек следует, что в любой окрестности точки хь'ь имеются точки данной последовательности (и, более того, там лежат почти все точки последовательности, т. е. все за исключением конечного числа их), являющиеся, по предположению, и точками множества Л. Таким образом, точка х"ь является точкой прикосновения множества А, и поскольку Л вЂ” замкнутое множество, то х"ь ~ А. Лемма 5. Точка прикосновения замыкания множества является и точкой прикосновения самого множества.

Характеристики

Список файлов книги