kudryavtsev1a (947413), страница 65

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 65)

Множества ни нлоскости и в нростринстве (на рис. 85 изображен случай, когда и= 2), тогда тв (! 8. 26) у=-.! Система (18.25) образует открытое покрытие каждого из множеств А Псуу (у'=1, 2, ..., 2"). Среди этих множеств существует такое непустое множество — обозначим его через А ПЦу, —, что из покрытия (18.25) нельзя выделить конечное покрытие этого множества — в противном случае из системы (18.25) можно было бы в силу равенства (18.26) выделить конечное покрытие и всего множества А, что противоречило бы сделанному предположению. Разобьем куб ф, снова на 2" равных замкнутых кубов ф,у (1 =1, 2, ..., 2"). Обозначим через ф,а тот из кубов Яу„, пересечение которого А с компактом А нельзя покрыть конечным числом множеств системы ь! и т. д. В результате получим последовательность вложенных замкнутых кубов Ф, =э усу,у, -~ "=э('уу,у, т; ~ ".

(18.27) длины ребер которых равны, соответственно, суу2, ууу4, ..., с(у2и, ..., и, следовательно, стремятся к нулю при й. со. Каждый из кубов ф у, у, последовательности (18.27) обладает тем свойством, что из системы (18.25) нельзя выделить конечное покрытие непустого множества АПсуу,уи „тао ут принимает одно из значений 1, 2, 3, ..., 2"; и=1, 2, ..., Ут: й=1, 2, ....

Согласно лемме 10 существует, и притом единственная, точка $, принадлежащая всем кубам системы (18.27). Поскольку ребра кубов этой системы стремятся к нулю и каждый куб имеет непустое пересечение с множеством А, то в любой окрестности точки к имеются точки множества А. Действительно, заметим, что диагональ куба ф,у, у равна су )упу2и, Далср, каково бы ни было е О выберем йо так, что уу 3/и/2ти ( е.

(18.28) Это возможно, ибо 11т — = О. Теперь, замечая, что любава 8Ун 2и точка х ~ у',уу у, у находится от точки к ен(су,у,.„у на рас- 18.З. Компакты стоянии, пе превышающем диагонали куба ~; ~;„, будем иметь йв" м' р(х, $) ~ — (е. а)й з" Это означает, что х лежит в е-окрестногти точки $.

Следовательно, весь куб Дйу,,„,л в том числе и его точки, принадлежащие множеству А, содержатся в рассматриваемой е-окрестности точки $. Таким образом, $ является точкой прикосновения множества Л. Согласно же теореме 3, множество А, будучи компактом, замкнуто, и поэтому ~ с= А. Построенная вспомогательная последовательность кубов (18.27) легко позволяет доказать невозможность выполнения сделанного предположения о том, что из покрытия (18.25) компакта Л нельзя выделить конечного покрытия этого компакта. В самом деле, поскольку система (18.25) является покрытием множества А, то существует такой индекс я, ен 21, что 5~6„,. Множество 6„, открыто, следовательно, найдется такое число е>0, что е-окрестность (/($; е) точки $ будет целиком содержаться в 6„,: и(а; ) =6..

(18.29) Заметим теперь, что для любого е) О, в частности для е, удовлетворяющего условию (18.29), найдется, как показано выше, такой номер й„что будет выполнено включение Ф,~,". ы ~О(ь' ь). (18. 30) Из (18.29) и (18.30) имеем А()$,; „;„сф; ! сУ($, е)с:6„„ и, следовательно, из системы (18.25) можно выделить конечное покрытие множества АПЩ, ...;х, а именно покрытие, состоящее 01," м только из одного множества 6„,. Это противоречит допущению в соответствии с которым выбраны кубы Я,; „;,. Таким образом предположив, что из системы (18.25) нельзя выделить конечного покрытия компакта, мы пришли к противоречию.

Тем самым необходимость условия доказана. Д о к а з а т е л ь с т в о д о с т а т о ч и о с т и. Пусть Е с: )с" и пусть из любого открытого покрытия множества Е можно выделить конечное покрытие. Допустим, что Е не является компактом. Это согласно определению 29 означает, что существует последовательность (х'"~) ~ Е, т= 1, 2, ..., из которой нельзя выделить сходящуюся к некоторои точке из Е подпоследовательность. Следовательно, какова бы ни была точка х~Е, она не является частнгчным пределом последовательности (х~""). Поэтому у каждой точки х ~ Е найдется окрестность — обозначим ее через 6„, содержащая лишь конечное число элементов последовательности (х' 8 !8.

Множества на плоскости и в пространстве в противном случае из последовательности )х< >) можно было бы выделить сходящуюся к х подпоследовательность 1если все элементы последовательности 1х»1, лежащие в 6„таковы, что х»Фх, то из того, что этих элементов лишь конечное число, очевидно, следует, что у точки х можно выбрать даже такую окрестность, которая вовсе не будет содержать элементов последовательности )х>"'>)). В силу выбора окрестностей 6„, каждая точка х множества Е принадлежит соответствующей окрестности:, х е- =6 .

Поэтому совокупность И =16„), х ~ Е, всех таких окрестностей образует открытое покрытие множества Е. Согласно условию теоремы, из него можно выделить конечное покрытие. Пусть им будет 1)»=~6л,, 6л,,, ..., 6а»). Каждый элемент этого покрытия содержит лишь конечное число членов последовательности )хпа>). Следовательно, все элементы покрытия Йа также содержат лишь конечное число членов последовательности )хрв>).

Это, однако, невозможно, так как покрывая все множество Е, элементы конечного покрытия Йа должны содержать все члены последовательности 1х»), которых бесконечно много. Полученное противоречие доказывает достаточность условий теоремы. ) ) Замечание. Необходимость условий теоремы, т. е. утверждение, что из всякого открытого покрытия компакта можно выделить конечное покрытие, обычно называют леммой Гейнее — Бореля*>, Подчеркнем, что в теореме 4 существенным является то, что рассматриваются покрытия, состоящие именно из открытых множеств. Так, например, из покрытия отрезка 10, 11 (который, как уже отмечалось, будучи ограниченным замкнутым множеством, является компактом) отрезками 1!((а + 1), г(п>» и = 1, 2, :, и отрезком )†1, О) нельзя выделить конечного покрытия.

Это объясняется тем, что здесь покрытие состоит не из открытых, а из замкнутых множеств. У п р а ж н е и и е 11. Локазать, что для любого конечного открытого покрытия»1=16») 1>а=1, 2, ..., и) компакта А с:.)1п существует такое число 1)0, что каково бы ни было множество Ес: А, для которого зпр р(х, у) =1, существует такой элемент к, вев 6», покрытия й, что Е 6»,. В заключение этого пункта докажем еще одно вспомогательное утверждение. Предварительно введем следующее обозначение: для всякого множества Ес:)1в обозначим через Е„, где т))0, совокупность всех точек, расстояния которых от Е не превосходят в> Э. Борель (1871 — 1958)-фравиузскай математик. 818 1знй Многомерные векторные пространства числа т), т. е.

положим Е„~— '~ (х: р (х, Е) =-" т) ). Лемма 11. Если А — компакт, А с )гн, то при любо,и т)-»О множество А„также является компактом. )хек азательство. Согласно теореме 3, множество А, будучи компактом, ограничено и замкнуто. Ограниченность множества А означает, что существует такое а)О, что А содержится в шаре (1(0, а). Покажем, что Ачс(1(0, а+т)). Если хя А„, то согласно лемме 8 найдется такая точка у~А, что р(х, у)=р(х, Л)==т1.

Из условия же Л с: с1(0, а) следует, что р(0, у)(а, поэтому р (О, х) == р (О, у) + р (у, х) ( а+ т). Таким образом, хе=(1(0, а+т1). Точка х является произвольной точкой множества А„. Следовательно, Л„с с1(0, а+т)) и поэтому множество Лч огранйчено. Покажем теперь, что А„— замкнутое множество.

Если х— точка прикосновения множества Л„: х ~ Л„то для любого е) О существует такая точка у ~ Л„, что р(х, у)(е. Из определения множества -А„и леммы 8 следует, что существует такая точка геен А, что р(у, г,) =р(ц, А) ==1; поэтому р (х, А) = 1п1 р (х, г) == р (х, го) -:- р (х, у) + р (у, го) е+ т). тел Это неравенство верно для любого е'з.О. Устремляя е к нулю, получаем р(х, А) ~т1, т.

е. х ен Ато что и доказывает замкнутость множества А„. Итак„множество А„ограничено и замкнуто, а следовательно, в силу той же теоремй 3 является компактом. ( ) 18.4. МНОГОМЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВтн В п. 15.1 отмечалось, что при фиксированной системе координат в трехмерном пространстве задание вектора равносильно заданию трех его координат.

При сложении векторов и их умножении на числа те же действия выполняются и с их координатами. В п-мерном случае вектор можно определить при помощи его координат. Определение 31. Упорядоченная система п действительных чисел (х„..., х); х;е=й; 1=1, 2, ..., и, называется и-мерным действительным вектором х, а числа х„... ..., х„— его координатами. Число и наэьюается размерностью вектора. Э !8. (т(пожсство па плоскости и в пространстве 676 Сумльой х+у векторов х=.(х„..., х„) и у=(у„..., у.) называется вектор (х,+уь„..., х„).-уп), т. е.

сеь х+у = (х,+у„..., х„+у„), а произведением вектора х на число Л~ те называется вектор Множество всех и-мерных векторов, в котором введены операции сложения векторов и умножения вектора на действительное число, называется п-мерным действительным векторным пространством, или, более полно, п-мерныль арифметическим векторным пространством над полем действительнььк чисел. Вектор 0=-(0, О, ..., 0) называется нулевым векпьоро.ьс или нулель и-мерного векторного пространспаа. По определению вектор — х в='- ( — 1) х называют противоположным вектору х.

Упражнение (2. Доказать, что если х, у, и — любые векторы, а числа Л, р ьн (7 произвольны, то !) х+у=у+х; 2) (х+у)+х==х+(у+з); 3) х —, +О.=-х; 4) 1 х=-х; 5) Л(рх)=(Ли) х; 6) (Л+р) х=-Лх+рх; 7) Л(х+у) — —. = Лх+Лу. Таким образом, и-мерное арифметическое пространство (см. определение 1 в п.

18.1) превращается в п-мерное арифметическое векторное пространство, если в нем ввести сложение его элементов и умножение их на число согласно определению 31. В трехмерном случае связь между точками пространства и векторами в нем можно установить (как всегда, считая систему координат фиксированной), сопоставляя каждой точке М=-(к,, х„х,) этого пространства ее радиус-вектор, т. е. вектор ОМ = =(х,, ха ха). Это сопоставление является взаимно однозначным соответствием между точками трехмерного пространства и векторами в нем. Иногда и-мерное арифметическое пространство, введенное в определении 1 п. 18.1 в отличие от п-мерного векторного пространства называют точечным пространстпвом. Итак, как и-мерное точечное, так и и-мерное векторное пространство состоят из одних и тех же элементов — из упорядоченных совокупностей и действительных чисел.

Характеристики

Список файлов книги