kudryavtsev1a (947413), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Поэтому как то, так и другое пространство будет обозначаться одним и тем же символом йп. Они отличаются друг от друга тем, что в арифметическом и- мерном пространстве вводится понятие расстояния между его элементами (см. определение 1 в п. 18.1), а в п-мерном векторном — определяются операции сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. определение 31 этого пуь((ьта). Если через еь, обозначить п-мерный вектор, все координаты которого равны нулю, кроме й-й, равной единице, й — фиксиро- 1В.4, Многомерные векторные пространства В17 ванное натуральное число ((г еи (1, 2, ..., и)), то для любого и- мерного вектора х=(х,, ..., х„) справедливо равенство х=х,е,+...+х„е„ (18.31) называемое неравенством треугольника.
Из (18.35) следует, что йх! — )у !~~ )х — у 5 .Ъиствительно, )х(=(х — у+у~(~х — у~+)у), поэтому !х( — (у):а(х-у~. (18. 36) правая часть которого называется разложением вектора х по векторам е,, ..., е,. При этом коэффициенты х„..., хп этого разложения единственны, т. е. однозначно определяются самим вектором х, и, следовательно, в силу равенства (18.31) совпадают с его координатами х,, ..., х„.
Векторы еео я=1, 2, ..., и называются координатными или базисными векторами, а их совокупность (е„..., е„) — стандартным базисом пространства Ь" (общее определение базиса будет дано в п. 57.2). Подмножество Л. векторного пространства )гп называется подпространством пространства 14п, если для любых векторов х ~Р, ус: Л и тобых чисел Хс: ег, и с= 1ч имеет место включение )х+ру ~ Ь Определение 32. Скалярным произведением векторов х=(х„... ..., х„) и у=(у,, ..., у„), п)3, называется число, обозначаемое через (х, у) и определяемое по Формуле (х, у)=х,у,+...+х„у„. (18. 32) Из элементарной математики известно, что формула (18.32) справедлива и при обычном определении скалярного произведения векторов, т.
е. и для и .-3. Всякое и-мерное векторное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым. Число )/(х, х) =)Гх1+...+хе называется длиной вектора х и обозначается через (х!: ~ ' — ' тпаг" , г- е (18.33) Очевидно, что для любого вектора хек)сп и любого числа Х~ Я имеет место равенство ))х1= 1) Йх~, (18.34) а из неравенства (18.3) (см. п.
18.1) следует, что для любых х ~ Р, у ~ 14" выполняется неравенство )х+у~((х)+(у(, Э" !В. Множества на' плоскости и в нространстве В силу равноправия х и у имеем также ~у,-~х1- 1Х- ~=~ -у~ Из двух последних неравенств и следует (18.36). ( ) Если х=(х,,..., х„) ну=(хы ..., у„), то х — у=(х,— у„... ..., х„— у„) и поэтому ( х — у ~ = )т (х, — у,)'+... + (х„— ув)' = р (х, у), (18.37) где х и у — точки точечного я-мерного пространства с теми же координатами, что и векторы х и у.
Таким образом, в и-мерном векторном пространстве со скалярным произведением определено расстояние ~х — у~ между его элементами, совпадающее с расстоянием р(х, у), определенным в п. !8.1. Поэтому все понятия, введенные в п. 18.1 — 18.3 для точечных пространств имеют смысл и для векторных пространств со скалярным произведением. В качестве примера использования векторной символики отметим, что замкнутый шар Ян(х„г) радиуса г с центром в точке х, в векторных обозначениях определяется равенством ()" (х„г) =(х: ~х — хо!~г), а ограничивающая его (я — 1)-мерная сфера Ян-'(х„г) — равенством 5н-' (х„г) = (х: ! х — х, , '= г).
Скалярное произведение обладает следующими непосредственно проверяемыми свойствами: 1'. Коммутативиость. Для любых хяР, уев: (х, у) = (у, х). 2'. Дистрибутивность. Для любых х~Ян, уен)с», г~Л'. (х+у, е) =-(х, г)+(у, г). 3' Однородность. Для любого хентгв и любого числа А~Я:(Хх, у) =Х(х, у). 4в. Невырожден ность. Для любого х~)с": (х, х). О, причем (х, х)=0 сох=О. Дистрибутивность и однородность скалярного произведения составляют вместе свойство, называемое линейносгяью скалярного произведения.
Если е„..., е„— координатные векторы в )сн, то согласно (18.32) ( 1 при 1=1, (е;, ет)=~, с', /=1, 2, ..., и. ( 0 при с~=/, Поэтому для любого вектора х = (хм ..., х„) в силу свойств ска- лярного произведения получим: (х, е;) =(х,е,+...+х„е„, е~) =х,(еь ес)+...+х„(е„„е,)= = х~ (е;, е;) = х;, (18.38) л8.4, Многомерные векторные пространства т. е.
т-ая координата вектора х равна скалярному произведению (х, е;). Используя обозначение скалярного произведения и длины вектора, неравенство Коши — Шварца (см, (18.2) в п. 18.!) для векторов х=(х„..., х„) ну=(у„..., у„) можно записать в виде ~ (х, у) ! ~ ~ х ! ~ у !. ( 18.39) Углом тр между векторами х ен )сн и у ен !сп, п > 3, называется угол ~р, 0 тр==п, определяемый равенством созтр= ( ',у),. (18.40) )х г,'у,' В силу неравенства Коши — Шварца (18.39) это определение корректно, ибо в силу (18.39) для тр, определяемого формулой (18.40), имеет место неравенство ! соз тр ~ =-.
1. Здесь снова, как и в случае определения скалярного произведения за исходное определение принимается высказывание, аналогичное которому в пространстве Яп, и == 3, является доказываемым утверждением. Благодаря этому формулы (18.32) и (18.40) оказываются справедливыми во всех пространствах )сп, п=1, 2,... Векторы, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональнылщ. Вектор единичной длины кратко называют единичным вектором. Если а и Ь вЂ” единичные векторы, то для косинуса угла между ними из формулы (18.40) получаем созтр=(а, Ь), )а)=(Ь(=1.
(18.41) Если а=(а„..., а„) — единичный вектор, то обозначая через и, угол между векторами а и ет согласно (18.38) и (18.41) имеем: а,=(а, ет) =созио т. е. а=(сохи,, ..., сози„). Косинусы сов и;, ! = 1, ..., и, называются направляющими косинусами вектора а. Поскольку !а~ =1, то в силу (!8.33) созе и, +... + созе и„= 1. (18.42) Если а — не единичный вектор н аФО, то, очевидно, вектор а/!а~ уже единичный, и его направляющие косинусы называются также и направляющими косинусами вектора а.
Уравнение прямой в пространстве Яп (см. определение 24 в п. 18.2) в векторной записи имеет вид х =- х~в~+ !а, — оо ~ ! «с'+ ж, (18.43) х=(х„..., х„), х~о>=(х', ..., х„'"'), а=(а„..., а„) (при сложении координат векторов сами векторы также складываются, а прн умножении их координат на число они сами умно- заа З т'у, Предел и непрерывность утуннчий л1ногих переменных жаются на то же число). Прямая (18.43) называется прямой,, проходящей через точку хрм=(х',ь', ..., х'„") точечного пространства в направлении вектора а.
Если а — единичный вектор ~ а ~ = 1 и, следовательно, а = = (соз а„..., соз а„) (соз а; — направляющие косинусы вектора а; 1=1, 2, ..., и), то прямая (18.43) в координатной записи имеет вид х;=хсы+(соха;; 1=1, 2, ..., и; — со< ( +со. (18,44) Пусть заданы две точки х' =(х,', ..., х„') и х"=(х„..., х„) точечного пространства; обозначим через х' и х" векторы с теми же координатами. Тогда уравнением прямой, проходящей через точки х' и х" (см.
п. 18.2), в векторной записи будет х = х'+ (х" — х') 1, — со (1(+ оо. По аналогии с 9 15 можно рассмотреть и-мерную вектор- функцию г(~)=(х,(1), ..., х,(1)), (е— : Ес:1( (1с — как всегда, множество всех действительных чисел). Совершенно аналогично тому, как это было сделано в 9 15, при любом натуральном п определяются понятия предела, непрерывности и производной вектор-функции г(1) ~ 1тн. Как и для и «. 3 при дифференцировании вектор-функции дифференцируются ее координаты: г'(1) =-(х,'(1), ..., х„'(1)), и утверждение 1пп г(() =О рав- 1 посильно тому, что 11пт,~г(1) ~ = О.
с ь 4 19. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 193. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В этом параграфе рассматриваются функции, которые определены на множествах п-мерного арифметическвго евклидова пространства )тн и значениями которых являются действительные числа. Таким образом, все функции будут являться функциями точек пространства. Это означает, что если имеется какая-либо функция )(х,, ..., х„) и в пространстве есп задана система коорДинат х„..., х„, то в ДРУгой системе кооРДинат й„..., кп, свЯ- ванной с исходной преобразованием хт=х;($о ..., $п), с=!, 2, ..., и, под той же функцией понимается не 1($„, 4,), а функция )[х,($„..., 5.), ..., х„($„..., 1.)1.
в2< !уац Функции многих переменных Рассматриваемые функции будут обозначаться либо одной бук. вой, например 1, либо более подробно, с указанием аргумента, через Г(х) или Г(х„ ..., х„). При и ) 1 они называются функциями многих перел<енн<нх. В случае <<==2 вместо 1(х<, х,) будем писать также Г(х, У), в слУчае и = 3 вместо 1(х,, хе, х,) — также 1'(х, у, г).
Каждой функции у=-г(х„х„..., х.) и переменных х,, х..... ..., х„соответствует ее график в и-мерном пространстве точек (х„х„..., х„, у). Определим это понятие для рассматриваемого здесь случая. Определение !. Пусть на множестве Е евклидоса простронспма )сн определена функция у=-)(х), х=(х„..., хн) е= Е, и пусть Й„"й — (и+ 1)-мерное евклидова пространство точек (х, у) = = (х„..., х„, у). Множество точек пространства 1<',".и' вида (х, 7(х)) =(х„..., хк. г'(х)), еде х ен Е, называется граФиком функ- 2 ции Г".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
