kudryavtsev1a (947413), страница 67
Текст из файла (страница 67)
График функции многих переменных, так же как и график функции одной переменной, удобно использовать для геометрической интерпретации вводимых по- т(х, у) нятий н доказываемых утверждений. Конечно изображение графи- У ка на чертеже в случае, когда чи- < н сло независимых переменных боль- х нЕ ше единицы, сложнее, чем в од- н (х,у) н номерном случае. На рис.
Яб изображвн вид графика функции Рис. вб двУх пеРеменных У =1(х„хе). Сформулированное здесь определение графика функции и переменных является частным случаем общего определения графика функппи, сформулированного в п. 1.2*. Пусть снова функция г определена на множестве Е ~ )сн. Множество точек х=-(х„..., х„) пространства Ен удовлетворяющих уравнению 1(х„..., х„)=с, где с — некоторая постоянная, называется множеством уровня функции 1, соответствующим данному значению с.
В случае и=-2 множество уровня называется также линией уровня, в случае и = 3 — поверхностью уровня, а при и ) 3— гиперповерхностью уровня. 1! Куиряег<ев Л. д т. < Е22 Э гу. Предел и непрерывность функций многих переменных 19.2. НРНДКЛ ФУНКЦИИ Определим понятие предела функции многих переменных. Определение 2. Пусть функция )' определена на множестве Хг ~)х'", Š— некоторое подмножество' множес>ггва Хг их'а' — предельная точка множества Е. Число а называется пределом функции у" гго множеспгву Е в точкехем (или при х, стремящемся к х'а'), если для любой последовательности пючек Хгыг ~ Е конг ~Х>аг т такой, что 1пп х'ыг=х>'г числовая последовательность (1'(х'мг)1 сходится к числу а, 1ип >'(х>ы') =а. В этом случае будем писать !цп р(х) =а.
х х, хын При сделанных предположениях можно дать и другое, эквивалентное предыдущему определение предела функции многих переменных по аналогии с тем, как это было сделано раньше для функции одной переменной (см. п. 4.4 и и. 4.5). Определение 3. Пусть х'а' является >гредельной точкой множества Е содержащегося в области определения Хг функции г". Число а называется пределом функции >" по множеству Е в точке х"г (или, что то же, при х, стремящемся к х'о'), если для любого е)0 сущесгпвует такое 6 О, чою для л>обои точки х ~ Е, х чы х>ог, р (хг, х'о') ( 6, еы>голняется неравенство ; ) (х) — а ~ - н.
Совершенно аналогично случаю функции одной переменной доказывается эквивалентность определений 2 и 3. Иногда наряду с обозначением 1пп ((и) применяется к х ',хвхе равносильное обозначение 1пп 1(х) р(х, . "') о, хые У п р а нс н е н и н. 1. Доказать эквивалентность двух принедонных определений предела функции многих переменных по мггогксстну.
2. По аналогий со случаем функции одной переменной сформулнроаать и доказать критерий Коган сугцестноааинн прсдсла функции многих переменных, Употребляя термин сужения функции (см. и. 4,1), можно сказать, что существование предела функции и его значение в точке хнп не зависят от выбора сужения функции на пересечении какой-либо окрестности точки х>а> с областью определения данной функции, т. е. в конечном итоге не зависят от выбора указанной окрестности. Точная формулировка этого утверждения состоит в следующем: если функция ~, определенная на множе- 323 !9.2, Предел Функции стве Хп имеет предел по множеству Е с: Хг в предельной точке хпв этого множества, то для любой окрестности У(хцьг) точки хгьг функция ) имеет предел в точке хгьг по множеству Е () (г'(хгьг); при этом, если указанные пределы существуют, то они совпадают 1)пг ) (х) = 1пп )'(х); к- к' ', как к х'ь', ке е Пп (к'и) если же функция ~ имеет предел в точке хгьг по множеству Е()У(хь) хотя бы для одной окрестности У(хь), то она имеет предел в этой точке н по множеству Е.
Все это совсем легко проверить и поэтому может быть самостоятельно проделано читателем. Свойство функции, не зависящее от выбора достаточно малой окрестности, содержащей данную точку, называется локальным свойством функции в этой точке. Очевидно, существование предела функции и его значение в некоторои точке (если он, конечно, существует) являются локальными свойствами функции в этой точке. Из определения предела функции следует также, что существование предела функции в точке х"г(по некоторому множеству), а если он существует, то и его значение, не зависят от значения самой функции в точке хгп (еслп опа определена в этой точке). г)ри определении предела функции многих переменных так же, как и в случае одной переменной, удобно использовать понятие проколотой окрестности, т.
е. окрестности точки, из которой удалена сама эта точка: если у (хгьг) — окрестность точки хщ~, то множество 0(хпп)'="'-(г(хпи)' (хгьг) называется проколотой окресгпностью точки хг", Определение 4. Если функция г' определена в некоторой проколотой окрестности () (х'ь') точки хгьг, тп предел функции ~ в точке хии по этой проколотой окрестности называется просто пределом функции в точке 1' и обозначается через 1нп ~(х). к к н~ Определение 5. Пусть через точку хеи проведена прямая 1 (см. определение 24 в п. 18.2) и 0(хев) — некоторая проколотая окрестность точки х"'. Предел функции г' в точке хгьг по пересечению 0(х'~')()1 называется пределом функции г' в точке хип в направлении прямой 1.
Определение 6. Если множество Е (см. определение 2) является множестссм точек нскогпсрой кривой, проходящей через хмг, пш в зтолг случае предел функции г" по множеству Е при х, стремяи1емся к хгьг, называется пределом 4гункции гго данной кривой в точке хг'г, 11* Ж4 э 19. Предел и непрерывность функций многих переменных Очевидно, что если у функции 1 существует предел в точке х„, то он существует в этой точке и по любому направлению и по любой кривой, причем все эти пределы совпадают. хву Пример. Пусть !'(х, у)=,, Эта формула задает функ- цию во всех точках плоскости, кроме начала координат (О, 0).
Исследуем пределы этой функции по различным направлениям в точке (О, 0). Уравнение прямой, проходящей через начало коор- динат (О, 0) в направлении вектора (а, ()), имеет вид х =и1, у=р1, аа+!)в)0. Имеем: )(се1, р1)=, ~ — 0 при1- О, т. е. предел по любому направлению существует и равен нулю. Если же 2 у=х', то 1" (х, х') = — —, и, значит, предел вдоль параболы у=х' также существует, но равен 112. Таким образом, для рассмотренной функции существует один и тот же предел по любому направленшо, а предел по укаэан- ной параболе, хотя и существует, отличен от общего значения пределов по направлениям, тем самым просто предел в точке (О, 0) не существует.
у п р аж пение 3. Исследовать пределы по направленное в точке (О, 0) функции 1(х, у) = ху хк+ ук Аналогично случаю функций одного переменного для преде- лов функций многих переменных по множеству имеют место соот- ветствующие теоремы о пределах суммы, произведения и частного, так как в силу приведенного выше определения, предел функ- ции п переменных по множеству также сводится к понятию пре- дела последовательности (см. и. 4.7).
Наряду с указанными пределами у функций многих пеоемен- ных можно рассматривать и пределы других видов, связанные с последовательным переходом к пределу, например по различ- ным координатам, т. е, пределы вида !ип !пп ... 1нп 1(х„..., х„), ,в е~ и~ хг к, к; х! кг кт к к к ~к к и где (1„ 1„ ..., 1„) — некоторая перестановка чисел 1, 2, ..., п, х<а) = (х',", ..., х'„ч'), а функция 1 определена в некоторой проколотой окрестности точки хге>. Пределы указанного вида называются повторными пределпми. Они представляют собой специфику функций многих переменных. Рассмотрим определенную на всей плоскости функцию 1(х, у)= 1 .
1 хз!и — +уэйн —, если х~О и уФО, х' О, если х=0 или у=О, Исследуем различные ее пределы в точке (О, 0). Гу2. Предел Функции Очевидно, !пп г" (х, у) =О. Что же касается повторных (к, у) †.(о, о) пределов 1 .. 11 . Г.. 1 .. !Ч 1)гп !1!гп хгйп — -+1!гп уз!и — ~ и 1пп ~1!гп кн!пкт+1цп уз!и — ~, у-о)к-о х о х ~ х-огд о у у — +о и то они не существуют, так как не существуют даже пределы !пп узш — (У~О) и 1пп кз(п — (хФО).
! к о х у-о у Для функции же ) (х, у) = —,",, определенной этой формулой на всей плоскости, кроме начала координат, оба повторных предела в точке (О, 0), существуют, и 1пп1!шГ(х, у) =1!гп!!шГ(х, у) = у-ох о к од о = О. Однако предела функции Г в точке (О, 0) не существует, ибо, как легко видеть, предел вдоль координатных осей равен нулю, а вдоль прямой у=к он равен 1!2. Таким образом, из одного лишь существования предела функции в данной точке не следует существования повторных пределов в этой точке, и наоборот, из существования повторных пределов не следует существования предела в соответствующей точке.
Тем пе менее определенная связь между этими понятиями может быть установлена. Теорема 1. Пусть функция ) (х, у) определена на множестве Е, содержащем ссе пючки некоторой (грямоугольной окрестности Р((хо, уо)1 бп бе) точки (хо, уо), кроме, быть может, точек прямых х=х, и у=у,. Если существует предел функции г в точке (х„уо) по л(ножествУ Е и )гРи любом У е=(уо — ба Уо+бе) У-г-Уо существует предел "' (19.1) 1!гп 7(х, у) =и(у), х», то повторный предел 1'пп 1пп г(х, у) существует, и у у» к ке 1пп 1пп ~(х, у)= !пп ~(к, у). (19.2) (к, д) (к,, д„).
(х. у) ге Е у-у.к-к. Доказательство. Пусть 1пп )(х, у)=А и (.», у) (хе, до, (х, д)уян пусть фиксировано произвольное н)0. Существует прямоугольная окрестность Р = Р ((хо, уо)' Чг, Чг), О < Чг < бь О < Чя < бо такая, что если 0 <(х — хо',<т!г, 0< (У вЂ” Уо~ <Чо то (19.3) *' Кан всегда, под пределамн, если не оговорено что-либо другое, понимаются конечные пределы. Зтд Ф 19. Предел и непрерывность функций многих переменных В силу существования предела (19.1) для любого числа у, такого, что 0 ( ~у — д„' (т)„ из (19.3) следует, что 2 ~ (дЛя ЭТОГО дОСтатОЧНО ПЕрЕйтИ К ПрЕдЕЛу Прн Х-ь-Х1О) В раВЕН- стае (19.3)), а это и означает, что 1нп д(у)= А.
( ) о е 1 Пример. Рассмотрим функцию)'(х, у)= хз(п —, уФО. Эта у функция определена во всей плоскости, кроме точек оси х-ов. Обозначим ее область определения через Е. Очевидно, существуют пределы !)гп ~(х, р).—.-0 и 11гп)(х, у)=0, учьО; (к, д) 10, 0), ко Е х 0 поэтому, согласно доказанной теореме, существует и повторный предел 1(щ 11ш Г(х, у) = О. Это конечно, ясно и непосредственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
