kudryavtsev1a (947413), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

Множество Е с- )?', любые две пшики которого лшжно соединить целиком лежаи(ей в нем непрерывной кривой, называется линейно связным *'. Иначе говоря, множество Е называется линейно связным, если, каковы бы нн были точки хы! ен Е и х~т! я= Е, существует непрерывная кривая х(!)=(х,(!); а:==1(Ь) такая, что ее началом является точка хы!, т. е.

х(а)=х~т~, концом — точка хы>, т. е. х(Ь) =х<з~, и все точки этой кривой принадлежат множеству Е, т. е. х(!) ~ Е для всех ! яв'!а, Ь!. Примерами линейно связных множеств являются точка, отрезок, а примером линейно несвязного множества — пара различных точек. Лемма 9. Если линейно связное множество пересекаетея с некоторым л~ножеетвом и с его дополнением в )?н, то оно пересекается и с границей этою множества. Локазательство. Пусть А — линейно связное множество А с: )?н,  — некоторое множество, В с: )?и, и пусть пересечения АПВ и АД(Р' В) не пусты.

Пустьхеи е- =АПВ их"'~АД(Р~,В). Поскольку А — линейно связное множество, то существует такая непрерывная кривая х(г), а =. г=аЬ, что х(а) =х~", х(Ь)=х~з~ и х(Ое-=Л для всех ген[а; Ь!. Обозначим через т верхнюю грань тех ! ~ (а, Ь1, для которых х(!) ен В. Очевидно, а —.-т(Ь. В любой окрестности точки х(т) содержатся как точки, принадлежащие В, так и не принадлежащие В (почему?). Следовательно, х(т) с-=дВ. Поскольку х(т) еи Л, пересечение дВП А не пусто.,(1 Определение 26. Открытое линейно связное лсножество называется областью.

**' П р и меры. В случаен=! всякий интервал является областью, а множество, состоящее из двух или более непересекающихся интервалов (рис. 83), хотя и представляет собой открытое множество, но не является областью. В случае и = 2 всякий открыРис. зз тый круг есть область, а множество, состоящее из двух или более непересекающихся открытых кругов (рис.

84), хотя и открыто, но не является областью, так как две точки х и у, *' Кроме понятия линейной связности и математике существует понят)ие сиязиости миоткестиа, которое и нашем курсе ие рассматрииается. **' Не следует смешивать понятие области определения фупкпии и понятие области и смысле этого определения. !6.6. Компакты принадлежащие разным кругам, нельзя соединить непрерывной кривой, лежащей целиком внутри рассматриваемого множества. Всякий п-мерный открытый шар является областью. Определение 27.

Область, любые две точки которой можно соединить отрезком, целикол! в ней лежащим, называетггя вьтуклой областью. Всякий и-мерный открытый шар является выпуклой областью. е чх х Определение 28. Множество, 1 1 лежащее в пространстве 1Сп и яв- ! ляющееся замыканиел! некоторой х и! х р I области, называетгя замкнутой областью. Рпс. 64 Замкнутый п-мерный шар является замкнутой областью. У п р а ж н е н и е !О. Построить пример невыпуклой области. Задача 15 (теорема Жордана *'). Показать, что всякий простой контур (си. п. !б.!) на плоскости разбивает плоскость на две области (ограниченную н иеогрзниченнув); это означает, во-первых, что ои является границей каждой из этих областей, во-вторых, что никакие две точки, прииадлегкагкие различныч указанным областяль нельзя соединить кривой, не пересекающей дзиный контур.

18.3 КОМПАКТЫ В этом пункте будут рассмотрены некоторь:е свойства множеств, называемых компакгпал!и и играющих важную роль в анализе. Определение 29. Множество А ~ Яп называептся компактолц если из любой последовательносп!и его точек можно выделить сходящуюся подпоследовагпельность, предел коп:арой принадлежит множеству А.

Важное свойство, характеризующее компакты в )сп, устанавливается следующей теоремой. Теорема 3. Для того, чтобы лзножество Е с: )с" было компакгполс, необходимо и достаточно, чтооы оно было ограниченным и замкнутым. Доказательство необходимости. Пусть А с: )7п и А — компакт. Если множество А было бы неограниченным, то для любого натурального числа т нашлась бы такая точка хашеми А, что р(0, хою)>т (пг=-1, 2, ...). Здесь, как всегда, 0=-(0, О, ..., О).

Очевидно, 1пп х!"'1 =сс. Поэтому любая подпоследовательность последовательности (х! ') также имеет пределом сс>, и, следовательно, из (х!м!) нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность, что противоречит тому, что А — компакт. Итак, А — ограниченное множество.

" К. Ж о р да н (1833 — 1922) — французский математик. В !В. Множества на плоскости и в простринслве втв Если множество А не было бы замкнутым, то существовала бы его точка прикосновения х, которая ему не принадлежала бы хф А. Для этой точки нашлась бы такая последовательность хою с: А, т=1, 2, ..., что 1нн хою =х, Поэтому любая ее подгп ии последовательность также имела бы своим пределом точку х ей А, т. е. множество А снова не было бы компактом. Следовательно, А — замкнутое множество. Доказательство достаточности. Пусть Š— ограниченное замкнутое множество и (х~"') — какая-либо последовательность его точек: хит ~Е (т=1, 2, ...).

В силу ограниченности множества Е эта последовательность также ограничена. Следовательно, по теореме 2 п. 18.1, нз нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (х( е)). Обозначим ее предел через х: 1ппх( в)=х. Очевидно х — точка прикосновения множества Е, ибо х( и) в= Е, а поскольку Š— замкнутое множество, то х~Е, т. е. Е действительно компакт. П Доказанная теорема позволяет легко устанавливать компактность многих часто встречающихся множеств, например, отрезков, замкнутых шаров н параллелепипедов, сфер в пространствах лс" любой размерности — все перечисленные множества, будучи ограниченными и замкнутыми, являются компактами. Так же легко с помощью теоремы 3 устанавливается и некомпактность многих множеств.

Например, конечные интервалы, не будучи замкнутыми, а бесконечные, не будучи ограниченными множествами, не являются компактами. Отметим, что в силу той же теоремы 3, лемму 7 из п. 18.2 можно сформулировать следующим образом: если два залскнутых множества не пересекаюотся и по крайней мере одно из них является кол!пактом, то расстояние лсежду ними больше нуля, Прежде чем перейти к другим характеристическим свойствам компактов, введем ряд определений н докажем одно вспомогательное утверждение. Последовательность и-мерных кубов Яв), й=1, 2, ..., называется последовательностью вложенных кубов, если Лемма 1О. Для последовательности замкнутых вложенных кубов Яв), длиньс ребер которых стремятся к нулю при й — +-со, суи1ествует одна и только одна точка, прсснадлежаи(ая всем кубам рассматриваелсой последовательности.

Доказательство. Пусть кубы Яи = (х = (х!): аск'.=- хс =- а( '+ й' ~; 1= 1, 2, ..., и', (18.23) с ребрами длин й~в) образуют последовательность вложенных 18.3. Компакты 0Е- ашя Таким образом, система (18,24) называется покрытием множества Е, если каждая точка этого множества принадлежит хотя бы одному множеству Е„системы й. Покрытие (18.24) множества Е, состоящее из конечного числа множеств Е„, называется конечным покрытием этого множества.

В случае, когда все множества системы 41 открытые, покрытие й называется открытым покрытием множества Е. Теорема 4. Для того чтобы множество Е ~ Я«было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого покрьипия можно было выделить конечное покрытие. Доказательство необходимости. Пусть А — компакт и пусть система 'ь1 = (бо), а ен И (18.25) — его открытое покрытие. Допустим, что из этого покрытия нельзя выделить конечного покрытия компакта А. Согласно теореме 3 из того, что множество А является компактом, следует, что оно ограничено. Поэтому существует замкнутый куб 9, содержащий множество А. Пусть ьг=-(х=(х):а,~х,=а,+д, 1=1, 2, ..., п). Разобьем куб 1г на 2" равных замкнутых кубов ф, определяемых набором п неравенств вида о а +-- х, -а+т( а или а,~х,(а, +— «1 Напомним, что мы договорились (см.

п.!8.1) под кубом всегда понимать лишь кубы, задаваемые неравенствами вида (18.23) при данной фиксированной системе координат, кубов *1 и пусть 1пп сР> =О. Тогда отрезки 1а~м1, а1~1+с(га11* я=1, 2, ..., образуют систему вложенных отрезков, длины с(1м которых стремятся к нулю при й-ьоп. Поэтому существуют и притом единственные числа $ь такие, что при фиксированном 1=1, 2, ...,и и любом й=1, 2, ... имеет место включение $, ~ ~)а~ ', агы1+с(м)1.

Отсюда следует, что точка $=($„..., $„) принадлежит всем кубам рассматриваемой последовательности й ~ )еа, й= 1, 2, ..., и эта точка единственна. Определение ЗО. Пусть Е с: )с«. Система й = (Е ), а ен 'йа (18.24) множеств Е с: )с«(ь2Т= (а) — некоторая совокупность индексов а) называется покрытием множества Е, если 8 У8.

Характеристики

Список файлов книги