kudryavtsev1a (947413), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Какова бы ни была е-окрестность У(х; е) точки х ~ Р", существует ее прямоуго 1ьная окресгпность Р (х; б„..., 6,) такая, чпю Р(х; 8„..., Ь„) с:(/(х; а), (18.8) 294 ф >8. Множества на ллоскости и в пространстве справедливого для любых действительных чисел аь г = 1, 2, ..., п, и проверяемого непосредственным возведением в квадрат. Полагая в (18.11) а;=х; — а„г=1, 2, ..., >г, получаем неравенство, стоящее в правои части (18.10)~. 1 Пусть задана шаровая окрестность У(а; е) точки а. Рассмотрим прямоугольную окрестность Р (а; е4п), т. е.

п-мерный куб с центром в точке а и ребром длины 2е)п (случай и =2 изображен па рис. 79). Если х ~Р(а; е)п) и, следовательно, в силу определения (18.7) выполняются неравенства >х> — а>,>( ~, >=1, 2, ..., п, то из (18.10) вытекает и справедливость неравенства р (х, а) « ~ х, — а, )+... + ~ х„— а„) ( в +... +-в- = е. л '' л Это означает, что х~(7(а; е). Поскольку под х подразумевалась произвольная точка куба Р (а; е)>г), то Р (а; е)п) с- У(а; е); таким образом (18.8) доказано, ат в> Рис. 80 Рис, 79 Пусть теперь задана прямоугольная окрестность Р(а; 6„..., 6„) точки а.

Положим е =- ппп 6> н рассмотрим шаровую >=->,2, ...,и окрестность (>'(а; е) атой точки (см. рис. 80). Если х ~У(а; е) то для любого > =1, 2, ..., >г в силу (18.10) получим неравенства ~ х; — а; ~ «р (х, а) ~ е «6>, т. е. согласно определению (18.7) х еи Р(а; 6,, 6„). Поскольку х — произвольная точка шара У(а; е), то (/(а; е) «Р(а; 6„...

,6.) И На примере доказательства этой леммы хорошо видно, как используя для наглядности плоский чертеж, можно проводить доказательства в п-мерном пространстве. От слишком посвешного использования аналогий, не подкрепленных математическими доказательстввми, предостерегает пример, содержащийся в нижеследующем упражнении. !КГ. Окрестности точек. Пределы последовательностей точек 295 У и р а ж и е н и е 1.

Доказать, что при и=1, 2, 3, 4 п.мерный куб с ребрами, длины которых равны единице, содержится в шаре единичного радиуса и с центром в центре куба, а прн пгм5 аналогичное утверждение несправедливо. Определение 7. Пусть каждому натуральному числу т поставлена в соответствие некоторая точка хот с=тгп (не обязательно разные точки для разных т). Тогда множество (х'"'1: т = 1, 2, ...), состоящее из точек пространства Яп с различными номерами называется последовательностью точек этого пространства и обозначается Х1'"', т= — 1, 2, ..., ИЛИ (Хып1).

Последовательность (у'а1) называется подпоследовательностью последовательности (х'"'>) и обозначается х(~а), й.=1, 2, ..., или (х( ь)), если для любого й существует такое та, что у1"'=х( а), причем если й' й", то та т;. Определение 8. Точка хе=)с" называется пределом последовательности (х~'"1) и пиитется х = 1пп х""', если 1ип р(хг"", х) = О. Если х= Вт хоа1, то говорят, что последовательность (хгм1) сходится к точке х. Последовательность, которая сходится к некоторой точке, называется сходящейся. Используя понятие окрестности, легко установить, что х = 1пп х' > тогда н только тогда, когда для любого е-»0 существует такое т„что для всех т- т, выполняется включение хрп1~(г'(х; е). Согласно лемме 2, получаем также х= 1!т х'"1 в том и только том случае, когда для любой прямоугольной окрестности Р (х1 Ь„..., 6„) существует номер т, (зависящнй от этой окрестности) такои, что для всех т~та х""' ен Р (х; 8,, ..., Ь„).

(18. 12) Конечно, при определении предела можно ограничиться и только одними кубическими окрестностями. В случае п=1 определение 8 превращается в обычное определение предела числовой последовательности. При и = 2 сходимость последовательности (х1 1) точек плоскости Ра к точке х ~ Яя означает, что, каков бы ни был круг с центром в точке х, начиная с некоторого номера, зависящего от радиуса этого круга, все члены данной последовательности 8 !8. Мпожвства па плоскости и в простраиствв лежат в этом круге (рис. 81), В случае и=-3 сходимость последовательности точек (х'"') пространства к точке х ~ яв означает, что, каков бы ни был обычный трехмерный шар с пентром в точке х, начиная с некоторого номера, зависящего от радиуса шара, все члены данной последовательности лежат в этом шаре.

Как и в случае числовых последовательностей, можно сказать, что 1пп хи"~ =- х, хот ~ )сп, т = 1, 2, ..., если всякая е-окрестность точки х содержит почти все точки данной последовательности, т. с. все„ за исклюи чеиием, быть может, конечного числа / , >,, ° их. / т Понятие предела последовательх.'.. ° ! ности (х' ", точек пространства )сп сп ! может быть сведено к понятию предела числовых последовательностей, а именно последовательностей координат точек х""', т=1, 2 .... Рис, 8I Теорема 1. Для того чтобы последовательность хит =-(х!"а, ..., хи"!)е= 1 '''' и я )сп, и=1, 2, ..., сходилась к точке х=(хп ..., х„) я )!и, необходимо и достапючно, чтобы 1пп х! >=х., с=-1, 2,, и.

(18.13) Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем необходимость условия (18. 13). Пусть !пп х1 ~ =-х. Зафиксируем произвольное е)О; тогда, согласно (18.12) существует такое т„что при всех т ~ и, выполняется включение хою е= Р(х; е), т. е. для любого с=-1, 2, ..., п и при и'- т, справедливо неравенство ою ~хс — х;( «=е, а это и означает, что 1пп х<са =.

х., с = 1, 2, ..., и. и Докажем достаточность условия (18.13), Пусть 1пп х!"и =х„ 1= 1, 2, ..., и, и Р(х; е„..., е„) — заданная прямоугольная окрестность точки х. Тогда для каждого е, ) О (! = 1, 2, ..., и) существует такой номер тс=и;(е;), что для всех и~си выполняется неравенство ~хоп> — х ) е,, с=1, 2,, и.

1В.1. Окрестности точек, Пределы последовательностей точек ЗВГ Обозначим через т„наибольший из номеров т,, ..., т„: т, = шах(тпь ..., т,); тогда при т-:.тв и всех ь =-1, 2, ..., п будут одновременно выполнены условия (18.14) и, следовательно (см. (!8.7)), при т =- т„будем иметь включение х'во ~ Р (х; е„..., е„), что и означает, согласно (18.!2), что 11гп х~ы| = х. Из теоремы 1 п свойств пределов числовых последовательностей следует, что если последовательность точек имеет предел, то он единственен, и что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и вся последовательность.

Уп р аж в е н не 2. Сформулировать и доказать необходимое и достаточное условие сходимости последовательности точек пространства йл, аналогичное критерию Коши длк числовых последовательностей. Определение 9. Множество Е~Кл называется ограниченным, если существуегп п-мерный куб Р(0; а) с центром в начале координат 0 такой, что Е с: Р(0; а). Аналогично лемме 2 доказывается, что, каков бы ни был шар (/(х; е), существует куб Р(х; 6) такой, что Р (х; 6) ~ !/(х', е), и, наоборот каков бы ни был куб Р (х; 6), существует шар !/(х; е) такой, что (/(х; е):з Р (х; 6). Отсюда следует, что можно дать еще одно эквйвалентное предыдущему определение ограниченного множества. Определение 9'.

Множество Е с:. Р' называется ограниченным, сс,ш существует и-мерный шар (/(О; е) такой, что Е с — (/(О; е). Определение 10. Последовательность точек х~"'~ е— = Ял, т.= = 1, 2, ..., называется ограниченной, если множество ее значении', т. е. (х'"': т= 1, 2, ...), ограничено в пространстве Рл. Если последовательность х' ' =(х',"', ..., х~„'"!), т = 1, 2, сходится, то она ограничена, ибо каждая из координатных последовательностей х,'.лп, из=1, 2, ..., ь' — фиксировано (1=1, 2, ... ..., и), в этом случае также сходится и, значит, ограничена. Теорема 2. Из лгобой ограниченной последовательности точек пространства )тл моисно возделать сходяи(угося подпоследовательностпь.

Эта теорема, как и в одномерном случае, обычно называется теоремой Больиано — Вейерштрасса. Доказательство. Пусть задана ограниченная последовательность точек х~"'=(х'ьп, ..., хь"'~), т=1, 2, ..., пространства йл. Очевидно, что каждая из п последовательностей (х(во) Э !8. Множества па плоскости и в пространстве 1 = 1, 2, ..., и, также ограничена.

Поэтому, согласно теореме Больцапо — Вейерштрасса (см. п. 3.6), последовательность (х<,"'!) содержит сходящуеося подпоследовательность; пусть это будет последовательность х("ь ), й„= 1, 2, .... Последовательность (х( е )), как подпоследовательность последовательности (х~"~ ~, также ограничена и, значит, содержит сходящуюся подпослсдовательность. Пусть ею будет последовательность х( ке), й =1, 2, ....

Последовательность (х( в*)), как подпоследовательность сходящейся последовательности (х( "1), очевидно, также будет сходящейся. Продолжив это рассуждение, через и шагов получим и сходящихся последовательностей (х( "в)(, 1=1, 2, ..., п, каждая из которых является подпоследовательностью, соответственно последовательности (х! >). Тогда, согласно теореме 1 последовательность точек (х( ев)) пространства )сп будет также сходящейся. П Иногда бывает удобно рассматривать последовательности точек, стремящиеся к бесконечности. Определение 11. Последовательность точек х"в! а=П', т=1, 2 ..., называется стремящейся к бесконечности, если расстояние ее членов от начала координат 0 =(О, О, ..., 0) стремится к бесконечности, т. е.

если (18.!5) 1!гп р(хо">, О) =+ со В этом случае пишугл 1!гп хою =со Поскольку для любой точки а он)св в силу неравенства треугольника р(х~"', 0)(р(х~'"', а)+р(а, О) справедливо неравенство р(х~"'!, а)- р(х!"), О) — р(а, О), то при выполнении условия (18.15) имеем: 1пп р (х!'и, а) = -1-. со, т. е. если 1!ш х' !=со, то расстояния от точек последовательности (хот) до леобой фиксированной точки аен)гв стремятся к бесконечности. Отметим, что, если Бгп х~"'! = оо, то у точек хою существует по крайней мере одна координата, которая также стремится к бесконечности при т-в со. Действительно, если 1нп хс ! = оз, 1В.2.

Характеристики

Список файлов книги