kudryavtsev1a (947413), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

Следствие. Замыкание всякого льножества является замкнутым множеством. Доказательство леммы. Пусть Ес-.)с", Š— замыкание множества Е и х — точка прикосновения множества Е, т. е. х ен Е. Покажем, что х енЕ. Из условия хек Е следует, что любой окрестности У=У(х) точки х принадлежит хотя бы одна точка у множества Е: у ен У П Е. Поскольку У, как всякая окрестность, является открытым множеством, то она является и окрестностью содержащейся в ней точки у.

Но у~Е, следовательно, в льобой окрестности точки у, в частности — в У, имеется точка г из множсства Е: г е= У() Е. Итак, в любой окрестности У точки х ~ Е имеется точка из Е. Это и означает, что х является точкой прикосновения множества Е: хан Е- 0 Д о к а з а т е л ь с т в о с л е д с т в и я. В лемме 5 доказано, что Е с: Е, Э !8. Множества на ллоскости и в лростронстве и так как согласно (18,18), Е ~ Е, то Е = Е. (18.

19) П р и м е р ы. 1. Всякий л-мерцый шзр » !Э»= х=(хт, ..., х„): ~д ~(х; — а!)ч г' (18.20) » !)»=- х=(хч, ..., х»): ~ (х; — ад! =-гч, г=! (18.21) замкнуто, так как нестрогие неравенства сохраняются при предельном переходе. Оно является замыканием открытого шара !,ич и называется л-мгриым эал!ккутым шаром. В случае л=-2: Сч — открытый круг, Ггз — зал!кнутый круг; в случае л=-1! !еч — интервал, Я! — атрезск. 2.

Замкнутый шар !Э» получается из открытого шара !е» присоединением к нему множества т з х=-(х„..., х„); ~~ (х! — а;)т=гз, г=! называемого (л — 1)-мерной сгрерой родич»а г с центром е точке а=(ач, а ) и обозначаемого 5" !. В случае а=2: 5! — окружность, в случае л= 1: 5»вЂ” пара тачек. Сфера '--(=зв *. В!*,—, -) с=! (18 »2) также дает пример замкнутого множсства (почему)) Заметим еще, что л-мерный шар радиуса 1 с центром в начале координат обычно называется л-.перль!м единичным и!аром (замкнутым или открытым], а (и†!)-мерная сфера радиуса 1 с центром в начале координат в (и†1)-мерной единичной сферой.

Определение 20. Для всякого множества Е с: тт" лчножеслию К' Е называется его дополнением в прострпнспме Я" (см. п. 1,1). Лемма 6. Для о!ого чтобы множество было открытылг,-необходимо и достаточно, чтобы его дополнение было замкнутым. Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и. Пусть Π— открытое множество. Тогда никакая точка х ~ О пе является точкой прикосновения его дополнения Е'=Р"'~О, так как множество О, будучи открытым, является окрестностью точки х и не содержит точек множества Р. Следовательно, все точки прикосновения множества г" содержатся в Р, что и означает замкнутость множества Р.

Доказательство достаточности. Пусть Р является замкнутым множеством и пусть хан С=И"'ч,р. В силу намину. тости Р точка х не является его точкой прикосновения, поэта(ну существует ее окрестность У(х), не пересекающаяся с множе- является открытым мномчеством (см. лемму 1), поэтому его часто называют также л-мерным открытым широм. Множество же ззв 18зб Различные типы множеств ством г" и следовательно, такая, что 11(х) с:6. Таким образом, любая точка множества 6 является внутренней, т. е. 6 открыто.

~ ~ Следствие 1. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение открьгто. Это сразу следует из леммы 6, так как если множество В является дополнением множества А в К", т. е. В =-Я"'ч,А, то и наоборот множество А является дополнением В в )1": А =)сн',В. Следствие 2. Оерессггение любой совокупности и объединен е конечного числа за,ггкнугггых лгнолсзств являюгпся замкнутыми мнозкествалги. В самом деле, пусть г", — замкнутые множества, тогда по лемме 6 множества 6, =)ч'"'чР„а ~ 21, являются открытыми. Согласно формуле (1.1) имеем: ПР„=П(Л",6„)=Л" .Ц6и.

Множество 1) 6„по лемме 4 открыто как объединение открытых а множеств. Следовательно, его дополнение П г"„= )сч'~Ц 6„, а а согласно лемме 6 замкнуто. Аналогично с помощью формулы (1.2) доказывается замкнутость объединения конечного числа замкнутых множеств. 11 Упражнение 6. Доказать, что если о — открытое множество, а Г— замкнутое, Й с Й«, Р ~ Рч«, то б'ьл — открытое множество. Лемма 7. Пусть А и  — замкнутые непересекающиеся множества из 11ч и множество Л ограничено; тогда существует такое число д > О, что для любых двух точек х ен Л и у я В выполняется неравенство р (х, у) н ь д.

Док азательство. Допустим, что такого числа й не существует. Тогда для любого т=1, 2, ... существует пара точек хг"'г~ А и гугыг енВ таких, что р)хгыг, рг"') <1/т. Поскольку А — ограниченное множество, то из последовательности 1хг г) можно выделить сходящуюся подпоследовательность 1х1 «)). Пусть 11гп х1"*) = — х"'. В силу замкнутости множества Л имеем хгег~Л. «со Из неравенства р(х ', у1"«))(р(х' ', х1"'«))+р(х1 «), у1 г))~р(хгег, х(ы«))-1--'- следует, что 11гп р(хг, у1"«))=О. Поэтому точка х' ' является тонкой прикосновения множества В и в силу его замкнутости х'аг енВ.

Таким образом, хггп я Л и хг" с=В, а это противоречит тому, что А и В не пересекаются. 1 ) Э 78. Множество но плоскости и в пространстве Определение 21. Для двух множеств Е, н Е, величина р(Е„Е,)= 1П1 р(х, у) хщво ище, называется расстоянием между Е, н Ею В частности, если Ет состоит из одной точки х, то р(Ет, Е,)=р(х, Е,) называется расстоянием от точки х до множества Е,. Применяя этот термин, лемму 7 можно сформулировать следующим образом, Если два замкнутых лтножества не пересекаются и по крайней мере одно из них ограничено, то расстояние между ними положительно.

У и р а ж и е и и е 7. Привести пример двух непересекающихся замкнутых мноткеств, расстояние между которыми равно нулю. Лемма 8. Если А — замкнутое множество, Ас)7п, хе-:тсв н р(х, А)=й, то существует такая точка ус= Л, что р(х, у) =й. Доказательство. Если р(х, А)= 1п1р(х, у)=й, то для ве л любого т = 1, 2, ... найдется такая точка уьм ~ Л, что 1. р(х,у1м1)(й+ — '. Очевидно, для каждого т справедливо вклют ченне уов1 ~ (7(х, й+1), а поэтому последовательность (у1"'1) ограничена н, следовательно, нз нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (у( а)1. Пусть 11пт у( а) =-у1'1. В силу замкнутостн множества А имеем у1') ен А; далее р(х, у1о1) =.р(х, у( "))+р(у( а) у~о>) ..й ( 1 +р(у(жа) уач) Переходя здесь к пределу прн й — со, получим р(х, у1'1)=-й. С другой стороны, р (х, у1") ) р (х, А) = й, следовательно, р(х.

уон)=й П Определение 22. Точка х е= ~а називается граничной точкой множества Е ~ тсп, если в любой ее окрестности существуют точки, как принадлежащие лсяожеству Е, так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества Е называется его граниией и обозначается дЕ. Очевидно, что дЕ с: Е. Прн этом каждая точка прикосновения множества Е является либо его граничной точкой, либо его внутренней точкой — других возможностей нет, поэтому Е = Е () дЕ, Если 6 — открытое множество, то в объединении 6=6од6 6 н д6 не пересекаются.

Действительно, поскольку множество 6 открыто, всякая его точка является внутренней н тем самым не принадлежит его границе. П р н м е р ы. Г!усть и = 2, 1еа = ((хт, х ): х, '+ хт ~ 1) — открытый круг. Если Е=Яв, то любая точка окружности Ет=((х„хе): х',+ Гддн Различные гила множеств 807 +х.',=1', является граничной точкой множества Е и других граничных точек нет, т. е. 5'=дЕ. В этом случае граница множества Е не принадлежит ему. Пусть Е=с,сз — замкнутый круг, и в этом случае окружность 5г является границей для Е, причем теперь дЕ ~ Е.

Наконец, если Е = 5' — окружность, то каждая точка множества Е является его граничной точкой и других граничных точек нет, т. е. Е=дЕ. Вообще, (и — 1)-мерная сфера (18.22) является границей как и-мерного открытого шара (18.20), так и замкнутого (18.21), а также совпадает со своей собственной границей (почему?) У яр аж пения.

8. Доказать, что для того чтобы множества А ~ми было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы дА ~ А. 9. Доказать, что дЕ=дЕ. Д.ля дальнейшего нам понадобится еще понятие кривой в и- мерном пространстве. 1!ля этой цели обобщим данное выше определение кривой в трехмерном пространстве, не касаясь вопроса о преобразовании параметра. Определение 23. Множество точек х=(хы ..., х„) пространства ечл, координаты которых заданы как непрерывньсе функции хс = хс (с), г = 1, 2, ..., и, определенные на некотором отрезке '1а, Ь1, называется непрерывной кривой в пространстве 1си. Аргумент Г называется параметром кривой. Точка х(а) =-(х, (а), ...

..., х„(а)) называется началом, а точка х(Ь) =(хг(Ь), ..., х„(Ь))— концом данной кривой, Все сказанное в п. 16.1 и 16.2 о кривой в трехмерном пространстве можно естественным образом перенести и на общий и-мерный случай, но мы не будем на этом останавливаться. Важным для дальнейшего является понятие прямой в сг-мерном пространстве. Определение 24. Пусть хсег =(х',", ..., х„"') ~ )сл и сс„..., се„— л некоторые фиксированные числа '5„'ссс~>0. Множество точек х= с=г = (хг, ..., х„) пространства Ян, координаты которых представимы в виде хс = хсм + сссг, г = 1, 2, ..., и, — со < ( <+ оо, называепгся прямой в пространстве Р', прохадяисей через точку хсзг.

Часть прямой, соответствующая изменению параметра г в некотором отрезке (а, Ь], называется прямолинейным отрезком (прямой), а ее часть, соответствующая изменению параметра в бесконечном промежутке ( ге а, — лучом. Очевидно, что в случае и = — 3 получается прямая, соответственно отрезок илн луч, в обычном трехмерном пространстве, а (скг, сг„ из) является направляющим вектором этой прямой. Если даны две различные точки (х'„ ..., х„') В !В, Множества на плоскости и в пространстве звв и (х,", ..., х„"), то уравнение прямой, проходящей через эти точки, имеет вид х, = х; .+ (хс — х~) (; с = (, 2,, п; — со ( с (+ оо. Определение 25.

Характеристики

Список файлов книги