kudryavtsev1a (947413), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В случае произвольного п э. 3 не следует искать в нашем определении какого-то скрытого физического или геометрического смысла. Нашей целью является лишь построение некоторого математического аппарата, удобного для изучения функций многих переменных; определения и терминологию мы заимствуем из обычной геометрии, так как это позволяет включить прямую, плоское!ь и трехмерное пространство в одну более общую схему. расстояние между точками в п-мерном евклидовом пространстве )сн обладает следующими свойствами: 1') р(х, у)=тО, причем р(х, у)=0 в том и только том случае, когда х=у; 2') р(х, у) =-р(у, х) для тобых двух точек х и у нз )св; 3') р(х, г) == р(х, д)+р(у, г) для любых трех точек х, у и г из )ся.
Свойства 1' и 2' непосредственно следуют нз формулы (18.1), третье же, обычно называемое «неравенспувом п!ре(угольни!«аь и хорошо известное для обычного трехмерного пространства, в общем случае (при произвольном и) требует доказательства. Докажем предварительно лемму. Лемма 1 (Коши — Шварц"'). Для любых действительнь!х чисел аь и Ьь, й=-1, 2,..., п, вьтолняеп!ся неравенство гэо Э 1В.
Множества на плоскости и в пространстве Очевидно, что г" (!) - О. (18.5) Из условия (18.5) следует, что квадратный трехчлен (18.4) имеет либо совпадающие действительные корни, либо существенно комплексные корни, и поэтому его дискримннант ие положителен: л !а л л а|Ь! ~ — ~, 'а,' ~~ Ьт=.О. |=! | |=! |= — 1 Перенеся второе слагаемое в правую часть и извлекая квадратный корень, получим (18.2).
1 ) Для доказательства неравенства (18.3) оценим сумму Ъ' (а|+Ь!)й, т= ! применяя неравенство (18.2): л л л й 'У', (а;+Ь;)'= ~ч, 'ат)+,У, 'Ьг+2 ~, а|Ь|( |=! |= ! |= ! |=1 л л Г л Г == ~~ а)+ У, 'Ьт+2 ~ус ~ а| ~тт ~) Ь) = |= ! !'=! '~~ а'|+,У', Ь) Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим (18.3). ( ) Вернемся теперь к свойству 3 расстояния между точками в пространстве Яй.
Пусть х=(х„..., хл), у=(у,, ..., уй) н г=-(г„..., гл). Поло- Тогда неравенство (18.3) перепишется следующим образом: | й Г Г л (х — г!)'~ ~ (х| — у!)'+ 1|' ~', (у,— г;)', |=- ! |=- ! |= ! или, согласно (18.1) р(х, г) ==р(х, у)+р(у, г). Д В дальнейшем в этом параграфе пространство Ял будем считать фиксированным (т. е. считать фиксированным число и). Определение 2. Множество точек х=(х„..., хл) и-мгрного евклидова пространства Я таких, что х,=хе= ... =х; т — — х|„= =ха=О, называется !'-й координатной осью (! =1, 2,..., п) этого пространства. Точка 0=(0, 0 ..., 0) назявавтся началом координат.
Очевидно, в случае и = 2 и п = 3 наше определение дает обычные координатные оси. Замечание. Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат, точка М в одной системе имеет координаты 18П. Окрестности точек. Пределвс последовательностей точек 2У! (х, у), а в другой ($, т1), т. е. М =(х, у) =($, »1), Ставя в соответствие упорядоченной паре чисел (х, у) упорядоченную пару Д, т!), получаем взаимно однозначное соответствие между множеством всех упорядоченных пар (х, у) и множеством всех упорядоченных пар Д, т!). При этом если М'=(х', у')=($', т!'), М"=-(х", у")=($", т!"), то р(М', М") =3/(х" — х')'+(уч — у')'= 3'(3" — $')»+(т!" — т!')» Этот пример делает естественным следующее определение.
Пусть каждой точке х = (х„..., х„) ~ Р' поставлен в соответствие упорядоченный комплекс из и действительных чисел $(х) = = Я», ..., с„), таким образом, что для любых двух точек х' = = (х„..., х.) и х" =(х;, ..., х„") и соответствующих им комплексов ь(х')=(зт, ..., ьл) и э(х")=(ят, ..., $л) выполняется равенство (х," х,)2 ~ (ь»," «» )2 с=» с= ь тогда числа, входящие в совокупность (5„..., $„) также называются координатами точки х («в другой системе координат»). При таком определении координат расстояние'между двумя данными точками не меняется при изменении систем координат, т.
е. при замене одной системы координат другой. В дальнейшем, если не оговорено что-либо другое, система координат считается фиксированной. Если точка х задается координатами (х„ ..., х„), то иногда для ясности пространство К будет обозначать )7„"о ..., х„. Определение 3. Пусть х е= Рн и з) О. Совокупность всех точек у пространства тс", такссх, что р(х, у) (е, называется п-мерным шаром с центром в точке х и радиусом з или е-окрестностью (а иногда с4ерической или правильнее, шаровой окрестностью) точки х в.пространстве )сл и обозначается У (х; е); таким образом, У (х; е) = (у: у е= !7", р (х, у) к. е) .
(18.6) В координатной записи это определение выглядит так: и он.,)-(,-ь...,.: Х „-.„т:). с=ь х=(х„..., х„), е)0. В случае прямой, т. е. при и=1 (рнс. 77) х=х„у=у„ а'поэтому У(х; в) =(у: ~у — х,'(е). то* В 7В. Множества на плоскости и в пиостранстве Таким образом, (7(х; а) является интервалом длины 2е с центром в точке х, т. е.
окрестностью точки хв рассмотренном выше смысле (см. и. 2.6). В случае плоскости, т. е. при п=2 (рис. 78) х=(х„х,), у=(у„у,) и (7 (х' е) = (у= (у, у ): (у — хг)' — (у — х,)'(е'), е =» О, т. е. (7(х; е) — круг радиуса е с центром в точке х=(х„, хз), а в случае пространства, т. е. при п =- 3 окрестность точки х=(х„хз, хз) 0(х; в) = =(У=(уп Усо Уз):(Уг — з) +(Уз — хз) +(Уз — хз) (е ), з= О, является шаром радиуса е с центром в точке (х„х„х,). Таким образом, понятие окрестности обобщена на случай и-мериого евклидова пространства )с». Однако наряду с указанным обобщением бывает полезно и другое обобщение зтого понятия, а именно понятие так называемой прямоугольной окрестности. Рис.
7В Рис. 77 Определение 4. Пусть х=(х„..., х„) ~ К", 6>) О, г'= 1, 2, ..., и, Множес>пво Р(х, '6„..., 6„) =- =(у=(уг, ..., У„):х> — 6>(у;(х;+6>, >=1, 2, ..., и) (18.7) называется и-мерным параллеле»ипедом, а птичка х — его центром. Определение 5. Если 6,=6,= ... =6„=6, то Р(х, б, 6, ..., 6) называется и-мерным кубом с центром в точке х и обозначается Р(х; 6).
Если п=1, то множество Р(х, '6) является интервалом с центром в точке х длины 26; если п= 2, то множество Р(х; 6,, бз) является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (их длины равны соответственно 26, и 26,); при и =3 множество Р (х; б„б„бз) представляет собой прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными осям координат (их длины соответственно равны 26„26, и 26,). Под и-мерным параллелепипедом, соответственно и-мерным кубом, понимается также множество„определеннее вышеуказан- /В.д Окрестности точек. Пределы последовательностей точек 293 и наоборот, какова бы ни была прямоугольная окрестность Р (х; б„..., бп) точки х ~ Яп, существует ее а-окрестность (/(х; а) такая, что (I (х; е) с:.
Р (х; б„ ..., 8,). (18.9) Эти утверждения геометрически очевидны, при и =1, 2 и 3. Действительно, при и= 1 понятия сферической и прямоугольной окрестностей совпадают. При и = 2 лел ма означает, что во всякий прямоугольник можно поместить круг с центром в центре прямоугольника, а во всякий круг можно вписать прямоугольник с центром в центре круга. Наконец, при а=3 лемма означает, что во всякий прямоугольный параллелепипед можно поместить шар с центром в центре этого параллелепипеда и во всякий шар можно вписать прямоугольный параллелепипед с центром в центре рассматриваемого шара, Нетрудно записать и доказать эти утверждения и в аналитической форме, использовав координатную запись.
Этот способ, как это сейчас будет показано, легко обобщается н на случай произвольного и-мерного пространства. Доказательство леммы. Для любых точек х=(х,,..., х ) н а=.(а„..., ап) пространства гсп при каждом 1=1, 2, ..., и справедливы неравенства ~х; — а; )~р(х, а) =-~ х,— а, (+...+(х„— а„1.
(18.10) Левое неравенство получится, если в выражении р(х, а) = =)г(х,— а1)'+...+(х„— а„)' все слагаемые под корнем, кроме (-го, заменить нулем — в результате значение р(х, а) может только уменьшиться. Правое неравенство (18.10) следует из неравенства К ач1+...+а„" = ~ал)+...+~~а„(, (18,11) ными условиями хотя бы в одной системе координат (а не обязательно в данной, как это было сделано выше).
В дальнейшем и-мерный параллелепипед и п-мерный куб понимаются лишь в узком смысле, т. е. в смысле данного выше определения при фиксированной системе координат. Определение 6. Всякий и-мерный параллелепипед Р (х', Ь„..., б„) называется прямоугольной окрестностью точки х. Если прямоугольная окрестность точки является п-мерным кубом, то она называется также и кубической окрестностью этой точки. Лемма 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
