kudryavtsev1a (947413), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В заключение сформулируем еще несколько полезных для дальнейшего определений. Пусть задана кривая Г =(г(1); а~(-=.Ь). Определение 11. Если [а', Ь')~[а, Ь), то кривая Г'= — (г(Г); а' -Г = Ь') называется частью кривой Г (или ее дугой) и пишется Г'с:Г. Определение 12.
Если гве=(а, Ь), Г,=(г(г), а =1~1«), Г,= =[г(1), Гв=="1~Ь), то кривая Г называется суммой кривых Г, и Г, и пишется Г=Г„()Г». Аналогично определяется сумма конечного числа кривых. Определение 13. Сумма конечного числа непрерывно дифферен- цируемых кривых называется кусочно-непрерывно дифференцируе- мой кривой.
Определение 14. Пусть Г=(г(1); а(1(Ь) — плоская кривая, расположенная на плоскости х, у. Если существует такая функ- ция Р(х, у), что координаты точек (х, у) кривой Г удовлетво- ряют условию Е (х, у) = О, (16.4) то говорят, что уравнение (16.4) является неявным представлением кривой Г. Следует, однако, иметь в виду, что, вообще говоря, множество всех точек, удовлетворяющих уравнению вида (16.4), не является кривой в выше определенном смысле даже для достаточно «хороших» функций Р(х, у).
Например, множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (х'+у') (х'+у' — 1) =О, представляет собой окружность х'+у»=1 и точку (О; 0). Можно показать, что это множество не является непрерывным образом отрезка. у )6. Длина дуги ори«ад Можно и в пространственном случае задавать кривые неявным образом, но уже при помощи системы друх уравнений: г,(х, у, з)=О, го(х, у, г)= — О. Более подробно этим вопросом мы займемся в п.
41.3. Наконец, отметим, что кривая всегда ограничена, т. е. лежит в некотором шаре; это следует из того, что функции координатного представления кривой, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса, ограничены в силу их непрерывности. Вместе с тем уже в элементарной математике встречаются неограниченные кривые, к таковым относятся, например, прямая, парабола, гипербола, синусоида, график 1ях и т. п. Чтобы охватить и такие «кривые», можно определить класс так называемых открытых кривых по схеме, подобной вышеприведенной, в которой за основу взято непрерывное отображение интервала, а не на отрезке, как это было сделано выше. Открытые кривые, в частности, могут быть н неограниченными.
Подробное и точное формулирование всех этих понятий предоставляется проделывать читателю по мере потребности. )6Л. КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ. РЕОМЕТРИЧЕСКИИ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОИ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ Пусть задана кривая Г=(Р()), а=-)=.в), вектор-функция г()) диффеРенциРУема в точке )о~(а, в') и ~"'(),) чьО. ПосколькУ в силу определения днфференцируе,~ь»1 мости '« оо ЛР= (),+Л)) — РН„)= =- ~' ()о) Л) + о (Л)), Л) - О, то для всех достаточно малых Л) ФО имеет место неравенство г)оо) Г(»о«во) Р ()о+ Л)) ~ Р ()о).
Действительно прн сделанных предположениях г'()о)Л)ФО, а потому для всех достаточно малых Л) ~=О Риг. 64 будем иметь и т" ()о) Л) + о (Л)) ~ О. Прямая, проведенная через точки «()о) и г()о+Л)) называется еекди)ей для кривой Г. Обозначим ее через )оо (рис. 64). Для всех достаточно малых Л) ФО в силу условия г()о)~г()о+Л() секущая )м определена однозначно.
Поскольку вектор ЛР = Аг =г()о+Л)) — Р(го) параллелен этой секущей, то и вектор —, А) ' Л)~0, отличающийся от вектора ЛР лишь скалярным множителем 1)Лг, также ей параллелен. 1б.4. Касательная я кривой По условию в точке «о существует производная, т. е. предел 11ш — =- г' (1а). (16.5) ы а "е Так как все секущие проходят через одну и ту же точку «(1о), то геометрически формула (1б.5) означает, что секущие 1л~ при Л(, стремящемуся к нулю стремятся к некоторому предельному положению, т.
е. к прямой, проходящей через ту же точку «(га) в направлении вектора «'(1,). Эта прямая в силу условия г'(1о)~0 определена однозначно. Она и назь|вается касалмльной к кривой Г в точке «(1а). Таким образом, в силу самого определения касательной к кривой Г в точке «((о), производная «" («о) вектор-функции г(1) в случае, если «'(1о) ~0 является вектором, параллельным каса- тельной в точке «((о). Если начало век~ора г' (1,) поместить в эту точку, как это обычно и делается, то он будет направлен по касательной. В РассматРиваемом слУчае диффеРенциал йг ((а) = г' (1 ) й( также направлен по касательной к кривой, ибо он отличается от производной лишь скалярным множителем йй Вектор =г'/~г'(, г'~ь0 является единичным вектором, направленным по касательной. Вектор Л«' при Л()0 направлен от точки кри- вой с меньшим значением параметра к точке с большим значением параметра, поэтому можно сказать, что вектор Лг при Л()0 показывает направление, в котором параметр на кривой возра- стает, т.
е., как говорят, положительное направление на кривой. о« Вектор — при Л() 0 имеет то же направление, что и вектор Л«. й« Поскольку 1пп — =«'((), то естественно говорить, что вектор «и а ~~ «" (1), а значит, и вектор е, который отличается, быть может, от вектора г'(1) положительным числовым множителем 1/~«'(1) ~, также направлены в сторону возрастания параметра и что их ориентация (направление) соответствует ориентации кривой. Направление вектора е (или, что то же, вектора «") называется положительным наираелением касательной.
Уравнение касательной к кривой Г в точке «()о), для которой г'(1а) ~0, в векторной записи имеет вид г=г(оо)+г'(1а)т, — оо(т(+оо, где г — текущий радиус-вектор касательной. В координатной записи уравнение касательной в этом случае имеет вид х=х((о)+х' ((о) т, у=у(1о)+у'()о)т, г = г (Юо) + г' ((о) т, — оо«т(+сО. 266 э )6. Длина дуги кривой Исключив переменную т, получим хо у — уо г го х х()о) у ((о) о (~а) Определение 15. Пусть à — дифференцируемая кривая и «(1), а =Г Ь вЂ” ее векторное представление. Точка кривой Г, в которой г" ФО, называется неособой, а гаочка, в которой г'=0— особой. о « -( оэ,ооо оо, "'Р ~ '~=ъ "-ГулЗР (см. п. 15.2) имеем: точка (х(1), у(1), г(1)) кривой Г неособая тогда и только тогда, когда в ней х"+уп+г"- О, т. е. хоть одна из производных х', у' и г' не обращается в нуль. Согласно доказанному выше, во всякой неособой точке кривой Г существует касательная.
В определении 15 формально правильнее было бы говорить об особой и неособой точке кривой при данном ее представлении. Это не было сделано, поскольку понятие особой точки не зависит от выбора представления кривой. Поясним и докажем это. Допустимыми преобразованиями параметра для дифференцируемых кривых являются функции 1=1(т), которые, как сами, так и обратные к ннм, являются строго монотонными дифференцируемыми функциями.
Поэтому в силу теоремы 3 и. 9.6 о производной обратной функции имеем 1;то = 1. Отсюда следует, что для каждого допустимого преобразования 1 =г(т), а=- с~ 5, параметра дифференцируемой кривой всегда Г(т)~0, а~т -.р. Поскольку о ,о о о ов хо +уо +го =(х) +уо +г()то, то неособая точка при одном представлении дифференцируемой кривой будет одновременно неособой и при любом другом ее представлении. Определение 16. Непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек называется гладкой. Кривая, представимая как сумма конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой.
Отметим, что если плоская кривая имеет явное п(зедставление у=у(х) или х=х(у), то для нее вектор (х'(1), у (1)) — всегда не нулевой: в первом случае это (1, у'), а во втором — (х', 1). Аналогичным образом определяется касательная как предельное положение секущей и кривой Г=(к(1), а(1(Ь) в точке г(1,), гона'(а, Ь), и в случае, когда г" ()о)=0, но существует некоторое натуральное и) 1, для которого к(о)(1,)ФО. Если все гчо)(го)=0, й=1, 2, ..., и — 1, а г(")(1о)чьО, то раскладывая Лк по формуле Тейлора„получаем Лг =г(1о+Ж) — г'(го)= — „, к(")(1,)М" +о(М"), А)-о-О, )В.З, длина дуги кривой Аг Вектор — „направлен параллельно секущей !гь проходящей через точки г(1,) и г(1в+Ж).
Из написанного равенства следует, очевидно, что существует предел 1!ш —, = — гон (1,) ФО. вЖ и) Поэтому в этом случае предельное положение секущей )ы, т. е. касательная в точке г(1в), является прямой, проходящей через точку г()в) параллельно вектору г(и) (ев). 16.З. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ Прежде чем определять понятие длины дуги кривой, введем понятие разбиения отрезка — понятие, которое будет неоднократно встречаться и в дальнейшем. Определение 17. Для всякого отрезка [а, Ь) систему его точек )ь 1=0> 1, 2, ..., и, пи)как, что =1 <1 ...<)- <Г «...),=Ь, будем называть его разбиением и обозначать т=(1;))=в. Пусть задана кривая Г =(Р(1), а. =1< Ь) и пусть т=()1)',:ь"— некоторое разбиение отрезка [а, Ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
