kudryavtsev1a (947413), страница 52
Текст из файла (страница 52)
п. 4.9) 1!гп (рхс7!=О, (!5,5) Пусть теперь 1пп гг(!) = а, 1пп г, (1) = Ь. Положим а (Г) = = г,(Г) — а, !) (Г) =гя(Г) — Ь; тогда согласно (15.2), 1 пи ! а (() ! = 1! гп Ц) (Г) ! = О (15,7) с с. гг (Г) Х г, (!) = 1а+ а (Г) !Х) Ь+ гс (Г)! = = ах Ь+а х() (!)+ а(!) хЬ+а(1) х() (!), где, в силу (15 7), 1пп ! а х р (Г) ~ = 1цп ! а (() х Ь ( = 1! гп ! а (() х (! (Г), =- ст ст =О. Так как /аХр (Г)+а(Г) ХЬ+а(Г) !Х$! (Г) ! « «!аХ)) (!) !+(а(!)ХЬ!+ !а(Г)Х($ (Г) (, то и 11гп ; 'ах р (!)+а (Е) х Ь+ а (!) х р (() ! =О. А это, согласно (15 2), и означает, что 1пп г, (!)Хгя(Г) =ахЬ.
! ) Ст Отметим, что свойства 1' — 5' пределов вектор-функций могут, конечно, быть получены с помощью формул (15.3) из соответствующих свойств скалярных функций, если перейти к координатной записи векторов и их скалярных и векторных произведений. Перейдем к определению непрерывности вектор-функции. Определение 3. Вектор-функция г = г(Г), определенная в некоторой окрестности точки Гы ниэясвиется непрерывной в гть если 1 пп г (!) = г (Го). с с, Из эквивалентности условий (15.1) и (15.3) следует„что для того чтобы вектор.
функция г(Г) =(х(Г), д(Г), 2(Г)), определенная в некоторой окрестности точки Гсь была непрерывной в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы при г =го были непрерывными ФУНКЦИИ Я(Г)т Р(Г)в 2(Г). з5.2. Производная и дифференциал вехтер-функцаи 25т' Из свойств пределов векторных функций следует, что сумма, скалярное и векторное произведения векторных функций, а также произведение скалярных функций на векторные будут непрерывными в некоторой точке, если в этой точке непрерывны все слагаемые, соответственно — сомножители. 15.2.
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ Определение 4. Пусть вектор-функция «= «(() определена в некоторой окреслгности точки (о. Если существует предел г (те+ ЛГ) — г (Га) лг дт о тпо он называется производной данной вектор-функции в 1, и обозначается через «'(1,) или «((о). Таким образом, производная вектор-функция в точке есть вектор. Для того чтобы функция г'(1)=(х((), у((), г(1)), определенная в некоторой окрестности точки (о, имела производную в 1„ необходимо и достаточно, чтобы функции х((), у(() и г(() имели производные при 1=с„причем в этом случае «((о)=(х ((о) у ((о) г'(го)) (~ ((о)~=) х ((о)+у ((о)+г (го) Это непосредственно следует из эквивалентности двух подходов (15.1) и (15.3) к определению предела для вектор-функции: г(у„+ЛΠ— г Н„) )нп дт -о 1пп х(т,+ЛΠ— х(й) 1 У(1е+ЛГ) — Рро) 1 е(оо+ЛΠ— аро)) =( ", 1пп пп дг о Л" ' ыо Л' ' дт-о Определение 5.
Вектор-функция г =«((), определенная в некоторой окрестности точки („назьгвается дифференци руемой при 1=(о, если ее приращение Л«=«((о+А() — «((о) в точке (о представимо в виде Ь«=аМ+е(Л()М, (15.8) гдг 1пп е (Л() = О. При этом линейная вектор-функция о> ай( дг о называется дифференциалом функции «(() в точке(о и обозначается через й«=ай(: Ь«=й«+е(Л() М. (15.9) *' Вектор-функция аргумента г называется линейной, если она имеет вид а(+Ь, где а и Ь вЂ” какие-либо два финсированных вектора.
,5 15. Вектор-4унккия 252 Очевидно, что если вектор-функция дифференцируема при ! = Г„ то она и непрерывна в этой точке. Как и в случае скалярных функций, из дифференцируемости функции следует существование производной г'(г) и равенство ее вектору а. В самом деле, из (15.8) имеем 1(пт — = 11гп [а+в(Л!)1= а. Лг ы-о г лг-о Лг Наоборот„если существует производная г'((о) = 1пп --,то, пола- „„о Л!' Лг гая е(Л!) =-, - — г'(го), получаем Лг =г" (!о) Лг+в(Л!) Л(, где !пп е(Л!) =О.
Значит, г(!) дифференцируема в точке )о и лг о с!В=г'(го) Л!. Положим для независимой переменной Г, по определению, Ж = ЛГ; тогда (опуская обозначение аргумента !о) г(г'=г'г!г, г" = —;. о'г Й' Подставляя полученное выражение для г(г в (!5.9), получим Лг = г'ЛС+ в (Л!) Лг, или Лг=г"Лг'+а (Л!),. (15.10) где а(Лг) =в(Л!) Лу=о(Л!) при Лг-~Ото и а(0) =О. Пусть теперь ! =-)(т). Если эта функция дифференцируема в точке т,, го = ! (т,) и Лт = т — т„то из (15, 10) (обозначая для ясности г" через г!), следует, что Лг, Лу а(ЛО Лт Лт Лт -=У - + — ' Так как Л(- 0 при Лт — О, то, как и в случае числовой функции (см.
и. 9.7), положив е(О) =О, получим 11гп — =- 1пп е(Л!) —: — =О. а(Лг) л! от-о Лт лг-о Лг поэтому производная г',=- 1пп — существует и ге=>"!г;. Отсюда, ы-о Л как и в случае скалярных функций, вытекает инвариантность записи дифференциала вектор-функции; как для зависимой переменной г, так и для независимой переменной т имеем г(г = г; 81, Нг = г,' г(т. По апологии со случаем скалярных функций, длч вектор-функции а(т) пишется а=-о (р) при г-ч-го, если а (г) =в (г) р (г), где пгп е(г)=О.
15Д. Проивводнал и дифференциил вектор-функции 555 Приведем формулы дифференцирования вектор-функций (аргумент для простоты обозначений опущен): !. («+«о)'=«!+«о'. 2. 9г) =1'г+)г'. («т! 2) 1 т! о + 1 !«а' 4. («тх«а)'=«тхго+«,хго'. Здесь все рассматриваемые функции определены в некоторой окрестности точки 1, и предполагается, что все производные, стоящие в правой части каждого равенства, существуют при 1=-1,; тогда в точке 1 существуют и производные, стоящие в левой части, причем справедливы написанные равенства. Все эти формулы доказываются аналогично формулам дифференцирования скалярных функций (см. и.
9.5). Докажем, например, формулу 4. Использовав свойства !' — 5' пределов вектор-функций, получим: г ! (Еа+ об Х г, (га -!- Ж) — г, (та) Х г. ((а) о! о ат гт(1а+ы) — г!(га) ~1, д к ° к га(1а+ай — га(еа) (и! ) и о" = — «! ((а)х«г((а)+1 т((о) ео((о). Если вектор-функция «(1) =-(х(1), т1(1), г(1)) определена в некоторой окрестности точки 1, и имеет и производных в этой точке, то для нее справедлива формула Тейлора л б«= «(1.+ й() - (1.) = ~,', д „",(,'") б("+ о(йг"). о=1 Она непосредственно следует нз разложения по формуле Тейлора координатных функций х(1), р(1) и г(1). Мы видим, что многие факты, установленные в теории скалярных функций, дословно переносятся на вектор-функции.
Однако было бы ошибкой думать, что это всегда так: например, в определенном смысле аналог формулы конечных приращений не имеет места для вектор-функций. Действительно, рассмотрим двумерную вектор-функцию «(1)= =(соз|, этп1), 0(1==2л. Поскольку «'(1)=( — о(п1, соз(), то (г'(1) (= )/в!пег+созо1=1 при любом 1ев (О, 2л!. Следовательно, не существует такой точки $ ен (О, 2л), для которой было бы справедливо равенство, аналогичное формуле конечных приращений Лагранжа для скалярных функций, г (2л) — 1 (О) = 2лг' Я), так как слева стоит нулевой вектор, ибо г(2л)=г(0), а справа— не нулевой.
у 1ь; Вектор-функция Некоторой заменой формулы конечных приращений для вектор- функций является следующее утверждение. Теорема 1. Пусть вектор функция г(!) непрерывна на отрезке [а, Ь! и дифференцируегяа внугпри него. Тогда существует такая гпоцка $ — (а, Ь), цпю ! г (Ь) — «(а) ! -.=- (Ь - а) / «' Д) !.
(15.11) Д о к а з атель ство. Если г (а) = «(Ь), то неравенство (15,11) справедливо при любом выборе точки Кап (а, Ь), ибо его левая часть обращается в ноль. Пусть г(а) чи«(Ь). Оценим длину !г(Ь) — г(а) ! вектора «(Ь)— «(а) ныл. Если задан какой-либо вектор х, то обозначая через е единичный вектор в направлении векторах, получим !х!=-(х, е), ибо согласно определению скалярного произведения (х, е) = =!х|!е!созхе, !е!=1, хе=-0, и, следовательно, созхе=1. Поэтому, если е — единичный вектор в направлении вектора «(Ь)— — г(а) ~0, то !«(Ь) — «(а) !==(г(Ь) — «(и), е) =(г(Ь), е) — (г(а), е), т.
е. получилась разность значений числовой функции р(1) =-(г((), е) (!5 12) на концах отрезка [а, Ь1: !«(Ь) — г(а) ~ =) (Ь) — г(а). (15.13) Из (15.12) следует, что функция Г" (1) непрерывна на отрезке [а, Ь) и дифференцируема во всех его внутренних точках, нбо согласно условиям теоремы этими свойствами обладает функция г(г), Поэтому, в силу формулы конечных приращений Лагранжа, существует такая точка $ ен (а, Ь), что ) (Ь) — ) (а) =~' (я) (Ь вЂ” а). Но согласно правилу дифференцирования скалярного произведения имеем ~' (() = (г" (1), е), вследствие чего Г (Ь) — [ (а) = (« (~), е)(Ь вЂ” а), а < $ ( Ь.
(15,14) Для любых же двух векторов х и у из определения скалярного произведения следует неравенство !(х, у)!=!х!(у)!созху! ' !х)!у!! в частности !(«'Я), е)/~!«'(с)!',е/=:«'(в) !. Следовательно, из (15.14) получаем: [(Ь) — ~(а)-=!г'Я)!(Ь вЂ” а), а($ - Ь.
Из этого неравенства и формулы (15.13) сразу следует неравенство (15.11). [! 2бб !бл. Лонятае кривой 6 16. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 16лЕ ПОНЯТИЕ КРИВОЙ Рассмотрим отображения отрезков в трехмерное пространство )тз. Пусть [а, Ь1 — некоторый отрезок, а г(1) — его отображение в )сз, т, е. отображение, ставящее в соответствие каждой точке 1вн[а, Ь1 точку г(1) пространства 1сз, короче, г:[а, Ь1- )сз.
Будем считать, что в пространстве )сз фиксирована система координат. В ээом случае задание точки пространства равносильно заданию трех ее координат. Обозначим координаты точки г (1) через х(1), у((), г(1): г(1) =(х((), у(~), г(1)) Тогда задание отображения г(1) оказывается равносильным заданию трех числовых функций х(1), у(1), г(1), называемых координатными функциями отображения «((). Отображение т (т) называется непрерывным на отрезке [а, Ь1, если на этом отрезке непрерывны все его координатные функции. Для отображения г (1) будем обозначать через н(1) вектор- функцию, у которой координаты вектора г(1) совпадают с координатами точки г(1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
