kudryavtsev1a (947413), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Построим график функции ге+1 х= ., д= —. 4(1 — ()' 1+И (14.17) П аралеетрическое представление имеет смысл для всех 1, кроме 1= ! 1. Асимптоты, пачаются при 1= 1 и сс+ =... ралаельные оси Ох, полу=. -+.со; нх уравнения сов ответственно д=1/2 и д= 7 — 1. Асимптота, параллельная оси Од, получа) с-е-е ется при (= — 1; ее уравее с е пенне х=1/4. Наклонных ц асимптот в данном случае нет. Для построения графика вчерне полезно составить таблицу изменеРис. 69 ния знаков переменных х и д в зависимости от изменения г'; в нее могут быть включены и некоторые характерные значения х и д. Так, в данном случае полезна следующая таблица.
Теперь строим график (рис. 59). Для наглядности на графике указано, как ветви графика соответствуют изменению параметра. Далее, 1+21 — (е л 1 4(! 1)з д! (1 ) бе поэтолту (1+1)е (1+ 2( — се) ХЕ 4 ! 1Р (14.18) В данном случае лучше рассматривать х как функцию от у, а не наоборот, так как из нарисованного графика видно, что естественно ожидать, что х определяется однозначно как функция от д, д~1)2 и у~1. 44.5. Построение ерафакое функций 245 Из (14.18) видно, что х'=О при 1= — 1 и когда 1-! 21 — 1е = =О, т.
е. при 1=1+(т'2 и 1=! — ~Г2. Значеш;ю 1= — ! не соответствует никакая точка графика, а при 1=1+1т'2 и 1= = 1 — 1'2 имеем соответственно 1 — 12 12 и р= 2 — 1'2 2 1+! 2 1~2 2+!т2 2 Составим теперь таблицу эта таблица позволяет найти изменения знака производной х„', н точки экстремума. Из таблипы видно, что в точке у= р 2~2 функция х=х(д) имеет максимум, в точке у= — "! 2!2 — минимум и строго кюно- Г тонна на интервалах ! 2~ ( ! 2 !1, !1 1т2~ т)с2 (! ) т)з (Э + Зе Зн+ Р) х„"о=(х„');(„'=- Производная х„"„равна нулю при 1= — 1 и для тех 1, для которых Р (() = — 3+ 31 — Зте+ (а=О.
Замечая, что Р' (() =- 3 (т — 1)'.=.е О, причем Р' = О только в одной точке ! =-1, видим, что Р(1) строго монотонно возрастает Следует обратить внимание на то, что, взяв и за независимую переменную, х — за зависимую, т. е. взяв ось Оу за первую координатную ось, а Ох — за вторую, мы получили систему координат, ориентированную противоположно рассматриваемой нами все время системе коордкнат, у которой первой осью явля:тся Ох, а второй — Оу.
Читателю полезно убедиться, что доказанные нами выше критерии, например, для наличия экстремумов и точек перегиба геометрпч скн не связаны с той или иной ориентацией осей координат. Для исследования выпуклости и точек перегиба функции х(у) найдем х,',: Э 14. Исследоваиие поведения функций на всей вещественной оси (почемуу), Следовательно, существует единственное (з такое, что Р (1„) = О. При этом Р (0) = 3) О, а Р( — 1) = — 4 О, откуда — 1((з(0. Если уз=- — ', то, 1+!з очевидно, — со ( дз (О (можно, конечно, получить и более точную оценку для у„ выбирая более близкие 1, и 1„ такие, что Р(з!)~0, Р(1,)~0). Составим теперь таблицу изменения производной х„„и определим с ее помощью интервалы выпуклости вверх и вниз, а также точки перегиба: График фушсции (14.17) исследован.
Пример 4. Построим график функции х= —., д= —. 1И 1Ц !з (14.19) Асимптот, параллельных осям координат, в данном случае нет; так как х-+-со и у — »-со при 1-з.— 1, то, возможно, существует наклонная аснмптота. Для ее нахождения вычислим соответствующие пределы: 1пп -У = 1пп 4= — 1, т. е, й= — 1, ! — ! ! — ! (,1 ! +1 И' !Щ !з — ' 3' l и — 1 Построим приблизительно графики функций х(1) и у((); для этого предварительно найдем производные: 1 — г1з, ! (З сз) (! 1 !з)з~ и! (! 1 1з)з ' (14.
20) Отсюда следует, что наклонная асимптота существует и что ее уравнение будет р= — х — !!3. 14.5. Построение графиков функций 247 Производная х; обращается в ноль при (=1)у 2, меняя знак с «+» на « — », поэтому это точка максимума; производная дг обращается в ноль при 1=0, меняя знак с « — » на <-1-» (значит, это точка минимума) и при 1=1!)т'2, меняя знак с «+» на « — » (следовательно, это также точка максимума). Из этих замечаний следует, что графики функций х(() и у(1) имеют вид, изображенный на рис.
60, Рис. 50 По этим графикам, зная уравнение асимптоты, можно найти приблизительно график искомой функции (14.19). Он имеет впд, изображенный на рис. 61. Исследование производной у„' позволит уточнить размеры «петли», образуемой графиком. Из (14.20) имеем у,'=— 1 (2 — Р) Теперь видим, что: 1) у„'=0 при 1=0 и )= у"2, т.
е. касательная к графику параллельна оси Ох в точках (О; 0) и (у'2)3; ус4/3); 2) у',=оэ при и ( = со, т. е. касательная параллельна оси Оу в точках ()) 4)3; )сс2)3) и (О; 0). Таким образом, точке (О; 0) (являющейся, как говорят, точкой самопересечения графика) соответствуют два значения параметра 1=0 и Рис. 5! (=ос, если только доопределить функции (14.19), положив х(оэ) =О, р(оо) =О. В этой точке две части графика имеют соответственно своими касательными координатные оси. График функции (14.19) называется декартов»ем *1 лиспшм.
Из формул (14.19) нетрудно получить его неявное задание х'+уз — хд = О. Р. Д е к а р т (1595 — 1650) — французский философ, математик, физик. физиолог. У 18. Вектор-фунхц я 248 графики следующих функций: 1 . 1! 11. у=ха 1 — — яп — ). 4 х)' 12. х=21 — а, у=31 — Гч 13. х=т — е т, у=21 — е зг. та+! 14.
х= —,, у= —, ~'- — 1' та+!' 15. у' — хзу' — ха=о. Укаазние; выразить х и у через параметр С полагая у=гх. Уп р аж пения. Построить 6. у =-хнт. 8. у=з!пзх+соах. 9. у=ха!пх. ха Ухз — ! !О. у= 2 15. ВИКТОР-ФУНКЦИЯ 15Л. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА И НЕПРЕРЫВНОСТИ для ннктОР-Функ!(ни г(1) =(х(1), у(1), г(1)).
Если при всех 1~Е имеем г(1) =О, то вектор-функция г(1) называется двумерной; в этом случае пишется г(1) =(х(1), у(1)). Длина всякого вектора р обозначается через ~ р~. Будем предполагать известнызли основные алгебраические свойства векторов„ понятие скалярного и векторного произведений, а также свойства этих произведений. Скалярное произведение векторов а и Ь обозначается через аЬ или (а, Ь), а векторное через ахЬ или (а, Ь].
Введем понятие предела, непрерывности, производной и дифференциала для векторных функций. Определение 2. Пусть вектор4ункг1ия г(1) определена в некоторой проколотои окрестности точки 1о и а — некоторый вектор. Определение 1. Если каждому значению 1~ Е, где Š— некоторое множество чисе г, соответтпвует определенныи' вектор г = — ' г(1) трехмерного пространспгва, гпо буделс гпваритв, чп!о на Е определена век!пор-функция, или, чтпо то же, векторная функция г К). В этом определении в зависимости от рассматриваемых задач.
под значениями г(!) можно понимать как свободные векторы, так и векторы с закрепленными в одной и той же точке началамн (так называемые радиус-секторы). Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то, как хорошо известно, каждому вектору соответствует упорядоченная тройка действительных чисел — его координат, и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует вектор, для которого числа, входящие в эту тройку, являются его координатамн. Поэтому задание вектор-функции эквивалентно заданию трех скалярных (числовых) функций х(1), у(!), г(1), являющихся его координатами: 15.1.
Понятие предела и непрерывности для вектор-функстсси М9 Будем называть векпюр а пределом функции г(1) при 1 — 1и и писать и=!ип1'(1) (или 1" (1)- а при 1-+-1в), если для любого с. е)0 существуесп такое 6=6(е))0, что дют всех 1, удовлетворяюи(их условию ! 1 — 1о ! ( 6, 1 Ф 1„, вассолняепсся неравенство (рис, 62) ! г (1) — а ! = е. Очевидно (ср. с леммой п. 4.9), что !пп г(1) =а, ст тогда и только тогда, когда !пп ! г (1) — а ! = О. (15. 2) в Рис. Вг Если г(1)=(х(1), у(1), г(1)) и а=-(а„а„ае), то для того, чтобы а = )пп г (1), необходимо и доста- се точно, чтобы с 1пп х(1)=а„)пп у(1)=от, Ищ г(1) = аси с с, с с, с с, ~ а,' (15.3) В самом деле, г(1) — а!= =)с'[х (1) — а,7+ [у (1) — ае)е+ [г (1) — ас)т. (15.
) Поэтому !с (1) — а!=,'х(1) — а,й Отсюда следует, что условие ! г(1) — а , '— 0 при 1-н(о влечет за собой условие !х(1) — ас(-+-0 при 1-э-(о, т, е. 1пп х(1)=а,. Аналогично доказываются другие равенства (15.3). Ст Наоборот, если выполнено (15.3)„то из (15.4) сразу получаем, что !г(1) — а!- 0 при 1-+-1в, т. е. а= Исп г(1). Ст Отметим некоторые свойства пределов векторных функций.
1'. Если 1цп с (1)=а, то Ищ !г(1)!=!а!. Это непосредственно ст следует из неравенства Ц г ! — ! а ! ! ( ! с — а !. 2'. 1пп [г,(1)+г,(1)1= Ипт г,(1)+ Итп г,(1). с-с, 3'. 1пп1(1)г(1) = !пи 1(1) Итп г(1) (с (с) — скалярная функция). са , с ст с со 4'. Ищ г,(1) гт(1) =!ип гт(!) Ит ге(1). с-с, с с. 5'. 1ип г,(1)хг,(1) =1пп г,(1)х Итп г,(1). с с, с с. с с, В свойствах 2' — 5' все рассматриваемые функции определены в некоторой окрестности точки 1си кроме, быть может, самой точки 1си и предполагается, что все пределы, входящие в правые части равенств, существуют; тогда утверждается, что существуют и пре- В Гц Вектор-функция долы, стоящие в левых частях, причем справедливы написанные р авеиств а.
Все эти свойства доказываются аналогично тому, как мы доказывали подобные утверждения, встречавшиеся нам раньше (см. и. 3.9, 4.7). Докажем, например, свойство 5', Предварительно заметим, что для любых векторов р и с7 ! Р х г7 ! = !со ( ~ г7 ) з)НРд « ~!Р ( ! с7 ~. (15.5) Поэтому, если р =- р (!), с7 = с7 (Г), причем 1пп !р (Г) ! = О, а ! г7 (Г) !— ограниченная функция, то из (15.5) имеем (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
