kudryavtsev1a (947413), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Зто сразу следует из условия (16,3). Перейдем теперь к понятию кривой. Определение 3. Всякое множество Г непрерывных эквивалентных отобр жений г (1) отрезков [а, Ь] в пространство (см. определение 2) называется параметрически заданной кривой: Г =[«(1); а(1== Ь). Каждое из указанных отображений называется представлением атой кривой. Вектор-функция г (1) (г (1) — радиус-вектор с концом в точке г(1)) называется по аналогии с и.
16.1 векторным представлением 9* гбо э lб. Длина дуги кривой параметрически заданной кривой Г: Г = (г ((); а ~ ( ~ Ь). Если «(() = (х (г), у (г), г (()), то функции х (г), у ((), г ((), а =-"(й Ь называются координатным представлением параметрически заданной кривой Г: Г =-(х((), у(У), г((); а==(= Ь). Очевидно, что параметрически заданная кривая однозначно определяется каждым нз своих представлений. Это позволяет (что более удобно), например, в записи Г=(г((); а(г'==.Ь) правую часть равенства понимать не как совокупность всех представлений кривой Г, а как некоторое вполне определенное ее представление г(г), а~(=Ь.
Мы так и будем поступать в дальнейшем, причем не только в указанном случае, но и в случаях как векторных„ так и координатных представлений. П р и м е р. В силу нашего определения параметрически заданные кривые 0 =(~2п, О~(=4п, х=-созг, уг з(п(, у= с(п(, х= сов г, являются, как это уже отмечалось в п. 1б.1, различными кривымн, хотя как множества точек плоскости они совпадают: эти множества представляют собой одну и ту же окружность х'+ у' = = 1. В первом случае эта окружность «пробегаетсяю один раз, во втором — дважды. Представления же х=соз(, у=э(п(, — п(2(1="и/2 ,=тп:,), у= — 1, О ., 2, задают одну и ту же кривую. Действительно, функция т= 1+з1пг непрерывна, строго монотонно возрастает на отрезке [ — п(2, и/21 и переводит одно представление в другое.
Множество точек кривой образует в этом случае полуокружность х'+у'=1, х~О. При заданном представлении г(г), а~(( Ь, некоторой непрерывной кривой и при фиксированном значении параметра г через г((), естественно, обозначается точка рассматриваемой непрерывной кривой, в которую при данном представлении отображается точка ( ен'(а, Ь1.
Определим, теперь, что называется точкой параметрически заданной кривой, т. е. кривой, определенной как класс эквивалентных непрерывных отображений отрезков. Определение 4. Пусть г(1), а=-г=-Ь, и р(т), а--.т(~,— два представления параметрически заданной кривой Г, <р — отображение, осуществляющее их эквивалентносп1ь (см.
определение 3) и 1б.2". Парамегрииеаки заданные кривые тб1 пусть 1=*ер(т), а.:-т =. (), а~1= Ь (причем значение т, а потому и значение 1 фиксированы), и, следовательно, г(1)=р(т). Обозначим эгпу точку пространства через Р, т. е. Р=г(1) =р(т). Пары (Р, 1) и (Р, т) называются эквивалентными. Эквивалентность пар (Р, 1) и (Р, т) будем обозначать символом (Р, 1) Р(т). Легко проверить, что 1) (Р, 1) (Р, 1); 2) если (Р, 1) (Р, т), то (Р, т) (Р, 1); 3) если (Р, 1,) (Р, 1..) и (Р, 1,) (Р, 1,), то (Р, 1,) (Р, 1,).
Определение 5. Для данной параметрически заданной кривой Г совокупность ((Р, 1)) всех эквивалентных пар (Р— фиксировано) называется точкои этой кривой, а точка пространства Р— ее носителем. Каждая точка ((Р, 1)) параметрически заданной кривой Г = = [г(1); а -= 1.= Ь) однозначно определяется каждой парой (Р, 1), и поскольку в этой паре Р = г(1), то каждая точна кривой Г однозначно определяется значением параметра 1 в= [а, Ь) прн каждом представлении. Поэтому для краткости точки параметрически заданных кривых будем обозначать не символом ((Р, 1)), а просто г (1). В силу сказанного это обозначение имеет однозначный смысл. Определение 6. Совокупность носителей всех точек параметрически заданной кривой Г называется носителем этой кривой. Точка Р носителя кривой Г, являющаяся носителем по крайней мере двух различных точек кривой, называется кратной точкой (или точкой санопересечения) носителя кривой Г. Как мы уже видели на примерах в п.
16.1 (см. (16.1) и (16.2)), различные кривые могут иметь один и тот же носитель. Заметим еще, что если г(1) ~'=г(а) =г(Ь), а.~1(Ь при одном представлении кривой, то это условие выполняется и при любом другом ее представлении. Следовательно, понятие замкнутого контура (см. определение 1 в п. 16.1) не зависит от выбора представления кривой.
Перейдем, теперь, к определению кривых других классов. Понятие эквивалентности отображений отрезка в пространство можно вводить не только для непрерывных отображений, но и для других отображений. Это дает' возможность определить специальные классы параметрически заданных кривых: и раз диффереицируемых и и раз непрерывно дифференцируемых параметрически заданных кривых, и =- 1, 2, ....
Определим, например, понятие эквивалентности для непрерывно дифферепцируемых отображений отрезков и непрерывно дифференцируемую параметрически заданную кривую. Определение 7. Два непрерывно дифференцируемых отображения отрезков в пространство называются непрерывно дифференцируемо эквивалентными, если существует функция ~р, осуи(ествляюи(ая их эквивалентность в смысле определения 2, которая как сама, так и ей обратная непрерывно дифференцируемы.
В !б. гтлина дуги кривив 2б2 Определение 8. Всякое множество Г нспрерывно дифферснцирусмых и непрерывно диффврвнцирувмв эквивалентных отображений отрезков в пространство наэываеится непрерывно дифференцируемой параметриусски заданной кривой. Вообще параметрически заданная кривая данного класса определяется как совокупность отображений отрезков в пространство (называемых ее представлениями), эквивалентных в некотором смысле. Отображения одного отрезка на другой, осуществляющие эту эквивалентность, называются в этом случае допустимыми преобразованиями параметра и удовлетворяют условиям рефлексивности, симметричности и транзитности (см. и.
16.1). Каждая параметрически заданная кривая некоторого класса однозначно определяется любым своим представлением и для нее по той же схеме, что и выше, определяется понятие точки, носителя точки и носителя кривой, В дальнейшем для простоты там, где это ие сможет привести к недоразумениям, параметрически заданные кривые и их носители (непрерывные кривые в смысле п. 16.!) будут называться одним и тем же термином «кривые». 16Л. ОРИЕНТАЦИЯ КРИВОЙ.
ДУГА КРИВОЙ. СУММА КРИВЫХ. НЕЯВНОЕ ЗАДАНИЕ КРИВЫХ Порядок чисел (по величине) на отрезке [а, Ь1 с помощью данного фиксированного представления г (1) кривой Г = (г (1); а =1~ Ь», естественно, порождает соответствующий порядок точек на кривой. Точка г(1.') е= Г считается предшествующей точке г(1") енГ, или, что то же, точка г(1") считается следующей за точкой г(у), если а*.=р <,~ (Ь.
Если этот же порядок точек желательно сокринить и при других представлениях кривой, то необходимо сузить класс допустимых преобразований параметра, именно допускать лишь строго, монотонно возрастающие преобразования параметра. Определение 9. Кривая Г, определенная классом эквивалентных непрерывных отображений отрезков в пространство, для которых допустимыми преобразованиями параметров являются только стрвео монотонно возрастающие непрерывныс функции, называется ориентированной кривой. Таким образом, функции «2, осуществляющие эквивалентность двух представлений данной ориентированной кривой, удовлетворяют условиям определения 2 и, кроме того, являются строго монотонно возрастающими.
Вместо выражения «задана ориентированная кривая» говорят иногда, что «на кривой задана ориентация» (т. е. порядок точек). Определение 1О. Пусть Г=(г(1); а~с=-Ь» — ориентированная кривая и пусть 1=1(т) — строго монотонно убывающая и непрерывная на агпрвзкв ~а, р1 функция, причем 1(сс)=Ь, 1(»))=а. Кривая, определяемая представлением г = г(Г(т)), с» ( т ~ ~3, наэы- 2вз 16.З. Оравнтацав кривой.
дуга кривой. Сумма кравык вается кривой, ориентированной противоположно кривой Г, и обозначается — Г, Подобным же образом определяются ориентированные и про- тивоположно ориентированные кривые других классов (диффе- ренцируемые, непрерывно дифференцируемые и т. и.). Если 1=1(т) — указанное в определении 10 отображение отрезка [а, р] на отрезок [а, Ь), твен [а, Я и 1»=1(тв), то точки г(гв) и г(1(т,)) соответственно кривой Г и противоположно ориен- тированной кривой — Г называются соответствуюгцими друг другу. Одна точка кривой Г предшествует другой точке этой кривой тогда и только тогда, когда точка кривой — Г, соответствующая первой точке, следует за точкой, соответствующей второй.
Этим оправдывается термин «противоположно ориентированная кри- ваяю Если г((), а~1~Ь вЂ” представление кривой Г, то г(а+Ь вЂ” т), а -.т ( Ь, является представлением противоположно ориентиро- ванной кривой — Г, ибо функция 1=а+Ь вЂ” т, а(т(Ь, строго монотонно убывает и отображает отрезок [а, Ь) на себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
