kudryavtsev1a (947413), страница 50
Текст из файла (страница 50)
И =- !(х) — (йх + !), МР =- =-Мясо»а. Таким образом, МР отличается от МЯ лишь на не равный нулю множитель сеж 0, поэтому условия МД вЂ” ~-0 и ЫР- О прн х-».+со (соответственно прн х-» — сс) эквивалентны, т. е. если 1пп МЯ=О, то и 1!т МР=О, и наоборот. х Ч-со с — -~- со Стсюда следует, что асимптота может быть определена как прямая, расстояние до которой от грас)щка функции, т.
е. отрезок МР, стремится к нулю, когда точка М =-(х, г(х)) «стремится, оставаясь на графике, в бесконечность» (прн х- +со нли, соответственно, х с- — со). Укажем теперь общий метод отыскания асимптоты (14.9), т. е, способ определения коэффициентов й и ! в уравнении (14.9).
Будем рассматривать для определенности лишь случай х- +со (при х- — сз рассуждения проводятся аналогично). Пусть график функции Г' имеет асимптоту (14.9) при х — »+со. Тогда, по определешпо, Г (х) = йх + 1+ о (1). (14.10) Разделим обе частя равенства (14.10) на х и перейдем к пределу при х-»-+ оо. Тогда 1йп — = 1г. ! (х) (14. 11) х +со Э И. Исследование иоведеная функций Используя найденное значение й, получим из (14.10) для определения 1 формулу !пп (! (х) — йх).
(14. 12) Справедливо и обратное утверждение: если существуют такие числа й и 1, что выполняется условие (14.12), то прямая у = ух+1 является асимптотой графика функции )(х). В самом деле, из (14.12) имеем 1пп (~(х) — (йх+ 1)1 =-О, Х +со т. е. прямая у = йх+1 действительно удовлетворяет определению асимптоты, иначе говоря, выполняется условие (14.10). Таким образом, формулы (14.11) н (14.12) сводят задачу отыскания асимптот (14.9) к вычислению прем делов определенного вида. Более того, мы показали, что если существует представление функции ) в виде (14.10), то й и 1 выражаются по формулам (14.11) и (14.12).
Следовательно, если существует представРис. Зд ление (14.10), то оно единственно. Найдем по этому правилу аснмп- хе — Зк — 2 тогу графика функции 1(х) =, найденную нами выше х+ 1 другим способом: я= 1пп — = 1пп = 1, Ц (х) . хе — Зх — 2 х „х(х-1- !) 1= Вщ ~ /хе — Зх — 2 ! . — 4х — 2 — х! = !!гп = — 4, х+1,) х+ ! т. е. мы, как и следовало ожидать, получили то же уравнение аснмптоты у=х — 4, как при х-+-+со, так и при х — и — со. В виде (!4.9) может быть записано уравнение любой прямой, непараллельной оси Оу. Естественно распространить определение асимптоты и на прямые, параллельные оси Оу.
Определение 8. Пусть функция !' определена в некоторой окрестности точки хе (быть может, одностороннеи) и пусть вьтолнено хотя бы одно из условий 11гп )' (х) = оо, или 1пп !' (х) = со. (14.13) к к,— О ««+О Тогда прямая х=хо (рис. 55) называется вертикальной псимптотвй граф!сна функции 1 (в отличие от асимптоты вида (14.9), которая назьсвается также наклонной).
239 14.9. !)оггроение графиков функций В случае вертикальной асимптоты, как и в случае наклонной, расстояние МР =х — х, между точкой М и прямой х=х, стремится к нулю, если точка М (х, )(х)) стремится вдоль графика в бесконечность, т. е. когда х-г.хо — 0 или х †«хо+ О. Чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции ), надо найти такие значения х, для которых выполняется одно хг — Зх — 2 или оба условия (14.13).
Например, функция у=- имеет х+ ! вертикальную асимптоту х = — 1. Вообще если 7" (х) = — — рацио- Р (х) О (х) нальная функция ((Р (х) и (') (х) — многочлены), Я (хо) = О, Р (хо) ~ О, то пРЯмаЯ х=хо ЯвлЯетсЯ асимптотой гРафика фУнкции 1(х). !4.о. НООТРОКНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ Изучение заданной функции и построение ее графика с помощью развитого нами аналитического аппарата целесообразно проводить в следующем порядке. 1. Определить область существования функции, область непрерывности и точки разрыва. 2. Найти асимптоты. 3.
Приблизительно, вчерне, нарисовать график функции. 4. Вычислить первую, а если нужно, и вторую производную (без производных более высокого порядка часто удается обойтись). 5. Найти точки, в которых первая и вторая производные либо не существуют, либо равны нулю. 6. Составить таблицу изменения знака псрвой и второй производных. Определить промежутки возрастания, убывания, выпуклости вверх илн вниз функции, найти точки экстремума (в том числе концевые) и точки перегиба.
7. Окончательно вычертить график, При этом чем ббльшую точность графика мы хотим достигнуть, тем больше, вообще говоря, необходимо найти точек, лежащих на нем. Обычно целесообразно найти (быть может, с определенной точностью) точки пересечения графика с осями координат и точки, соответствующие экстремумам функции; другие точки находятся по мере потребности. В случае очень громоздких выражений для второй производной иногда приходится ограничиваться рассмотрением тех свойств графика, которые можно изучать лишь с помощью первой производной. Пример 1.
Построим график функции )(х) = ' х+! Эта функция определена и непрерывна для всех хФ вЂ” 1. Она, как мы уже знаем (см. п. 14.4), имеет асимптоты р=х — 4 и х = — 1, причем 1цп г" (х) = + со, 1пп )'(х) = — оо. Было х †! — о х †!+О Э 14. Исследование поведения Функций отмечено также, что )(х) =х — 4+, поэтому 1(х))х — 4 при 2 к+1 ' х) — 1 (графнк функции находится выше асимптоты) и !'(х) е ' У < х — 4 при х ( — 1 (график лежит ниже асимптоты).
График функции 1(т) пересекает ось Ох в точках, в которых х' — Зх — 2=0, т. е. при х„те = (3-1 Р 17ф2 нли приблизительно 'в точках х„= 3,5, — .- — оя. о ал .р.фч,,* ресекает в точке у= — 2, Это ! позволяет нарисовать график ! функции 1(х) в виде, указанном на рис. 56. Дальнейшее исследование имеет своей целью нахождение ! экстремумов точек перегиба и интервалов, выпуклости вверх или вниз графика функции. Для этого найдем у' и у": хе+ 2к — 1 "= (.+1) Рис. йб у" = 4 (х+ 1)' Отсюда видно, что у' =0 при х= — 1 — !с'2 =- — 2,4 и х — —.— 1+ + )'2 — 0,4. В точке х= — 1 производные у' ну" не существуют.
Составим таблицу изменения знака первой и второй производных в зависимости от изменения аргумента, включив в нее критич:ские точки: х ! ! — 1 — )~2 — 1+ "т 2 ! у' )+ о о ~ + — Не существует '1-! — Не существует ~ + ~ + ~ + Из этой таблицы видно, что функция ! (х) имеет в точке х = = — ! + !л 2 строгий минимум, а в точке х = — 1 — )л'2 — строгий максимум; при х( — 1 функция строго выпукла вверх, а при х- — 1 — строго выпукла вниз. Точек перегиба нет, так как при х= — ! функция разрывна, Мы нашли общий характер поведения функции.
Чтобы построить график более точно, надо найти ряд точек графика, как это отмечалось выше. ИХ Построение графинна функций В дальнейшем для краткости таблицы, подобные табл. 1, будем называть таблицасии поведения фрнкцис( н ттогда сразу отмечать в них точки экстремума, точки перегиба и интервалы выпуклости. Пример 2. Построим график функции )'(х)=(х+1)в)) х'. Область определения этой функции — множество всех действительных чисел, причем она непрерывна в каждой точке и потому и имеет вертикальных асимптот.
Из того, что 1'пп — = со ) (х) х х с со следует, что пет и наклонных асимптот. ,!)ля построения графика вчерне заметим, что 1) ((х) обращается в ноль в точках х= — 1 и х=О; 2) ) ~ О при х ) — 1, х чь 0; 3) )(О при х( — 1; 4) !цп ~(х)=+оо и 1пп )(х) = — со. к — — со к- Г!рнблнзнтельный вид графика функции, который можно нарисовать на основании этих замечаний, изображен на рис. 57. рис.
йу Рис. й7 Проведем теперь более по)1робное исследование функции с помощью производных. Найдем 1(' и рк: (х+ 1)е (11х+ 2) к В (х+ 1) (44 Р -1- 16х — 1) р = Д З)с х эх ус х Отсюда видно, что д'=0 при х= — 1 и х= — 2)111 р" =0 при х= — 1, а также когда 44х'+16х — 1ооО, т. е. приблизительно при х,= — 9(22 и хе=1)22. При х=О производные р' и у" не существуют.
Составляем таблицу поведения функции — см. с. 242. Теперь график функции р= — (х+1)')тха можно нарисовать более точно. Его вид изображен на рис. 53. Как видно, с помощью исследования производных мы существенно уточнили вид графика (ср. с рис. 57). 242 б 14. Исследование ловедеиия функций Развитый аппарат позволяет строить и графики функций, локально заданных параметрически: х=х(1), у=у(1). Здесь не предполагается, что пара функций х=х(1), д=р(1) определяет однозначно одну функцию вида у=у(х) или х=х(у).
Под графиком параметрически заданной функции подразумевается объединение графиков всех функций вида у=1(х) и х=д(у), задаваемых формулами х = х (1), р = р (1). Сделаем несколько предварительных замечаний. Для нахождения асимптот, параллельных оси Од, необходимо найти такие значения 1, *>, для которых существует конечный предел 1(пт х(1)=а или 1(щ х(1)=а, а 1пп у(1), соответственно р-ьо г и — о ьц-о 1нп у(1), равен +сю или — со. и — а Здесь н в аальнейшем 1,— число нлн одна на бесконечностей +со, — Оо.
14.5. Лостроеное графиков ф«нкиий Если такие значения 1 существуют, то Х4 а (14.!4) будет уравнением искомой аснмптоты. Аналогично нахождение асимптот, параллельных оси Ох, сводится к определению таких значений 1,, для которых существует конечный предел 1цп у(1) =р или !1пт д(1) =Ь, а !пп х(1), г ь+о ! ь — о с-ь .-о соответственно 11гп х(1), равен +со или — со. Если окажется, ! и — о что такие значения 1» существуют, то д=(! (14.15) является уравнением искомой асимптоты. Наконец, для нахождения асимптот, не параллельных ни оси Ох, ни оси Оу, надо найти такие значения 1,, для которых пределы Нт х(1) и 1пп у(1) (или 1пп х(1) и 1пп у(1)) т-те+о и+о с-ь — о ь — о равны +со или — со и существует конечный предел 1!гп «у) с ь+о х(б « (1) = гг ~ О (соответственно 1пп — — = — )с1. Если для этого значения, г ь — ох(0 кроме того, существует конечный предел 1!и! (у(1) — йх(1)) =4 С-Ь -1-О соответственно 1!пт (у(1) — )сх(1)! =- Д, то прямая т-а-о / у=йх+! (14.
16) является асимптотой графика рассматриваемой функции. Здесь везде 1о может быть как конечным, так и бесконечным. У и р аж не н и е 5. Вывести уравнения аснмптот (14. !4), (14.15) и (14.16), исходя иа того, что асимптотой называется прямая, расстояние до которой от точки (х(1), «(1)) графика функции, заданной параметрнческн: х=х(1), « = =«(1) стремится к нулю, когда точка стремится, оставаясь на графике функции, в бесконечность, т. с. когда т хе(!)+«т(!)-ьол при 1-ьг»+О или 1- 1,— О. При предварительном вычерчивании графика функции, заданной параметрически, часто бывает полезно построить сначала в отдельности графики функций х=х(1) и у=у(1).
Для определения промежутков возрастания и убывания функции, заданной параметрически, нахождения ее экстремумов, точек перегиба, а также интервалов выпуклости вверх и вниз надо использовать выражения для производных у,'„и у,", через производные хг, дь хгт и г(гь При этом следует иметь в виду, что уравнения х=-х(1), д =-д(1) вообще говоря, ие определяют однозначно функцию вида у=у(х), так что при исследовании графика функции надо все время внимательно следить за тем, какая «ветвь» графика рассматривается. Иногда полезнее рассматривать, наоборот, х как функцию от у. а 14. Исследование наведение фуннцей 244 Пример 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
