kudryavtsev1a (947413), страница 68
Текст из файла (страница 68)
в-ох-а Заметим, что другой повторный предел Игп 1пп)'(х, у) в этом х ов о случае не существует. Как и для случая функций одной переменной, для функций ) (х) многих переменных можно определить предел 1нп 1(х), т. е. х к предел, когда точка х=(х„..., х„) неограниченно удаляется от начала координат, иначе говоря, когда )Гх;'+ ... +хе-ь-+со, а также повторный предел по переменным х)-оос и х)- оо ((, 1=1, 2, ..., и). Отметим, что и в этом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 1.
Можно ввести и понятие бесконечных пределов. Мы всего этого делать не будем, предо- ставляя это проделывать читателю по мере потребности. Замечание 1. В дальнейшем будут рассматриваться ком- позиции функций многих переменных. Для сложных функций многих переменных справедлив аналог правила замены перемен- ного для пределов функций, установленного ранее для функций одного переменного (см. и. 4.8*).
Его формулировку и доказа- тельство (также аналогичное одномерному случаю) предоставляем читателю. Замечание 2. Данное в настоящем параграфе определение предела функции расширяет это понятие и для функций одного переменного. Определение предела функции, сформулированное в п. 4.4 и в п. 4.5, является определением предела по интервалу (т. е. когда множество Е в определении 2 этого пункта является интервалом). Конечно, и в случае функций одной переменной можно рассматривать пределы по произвольным множествам. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле (см.
п. 4.2). 1, если х рациональное, 1(х) = О, если х иррациональное. 198. Оелрерывноето функций Для предела в нуле по множеству рациональных чисел и по множеству иррациональных чисел имеем соответственно 1!ш1(х) =1, 1ип1(х) =О. к О к О Замечание 3. Если множество Хс:Щ на котором определена функция 1: Х- Е, состоит только из точек х, координаты которых суть натуральные числа: х=(т, п), т ай!, пан)11, то функция ~ называется'двойной последовательностью иве значение у=1(т, п) обозначается через у„л, а сама последовательвость— через (у„„).
Для двойных последовательностей (у„,) можно рассматривать предел 1ип ут„(см. п. 38.1) и повторные пределы (т, л) со 1ип !ип у „, 1ип !ип у „. т -).ол +с л + т (с Пример. Пусть у „= — созт2пп!х, те=У, пай(, хе=)с; тогда ~ 1, если х рационалы(ое число, 1ип Нш созт2пп!х = ( л +со т + со ( О, если х иррациональное число. Действительно, если х=р1у, ран.к, () яУ, о>0, то при лен й(, п ~ д, имеет место равенство соз 2пп! х = 1 и, следовательно, 1ип созт2пп! х=1, п~(1, а поэтому 1!гп !ип созт2пп! х=1.
лс ц- о» л л-о»т +оо Если же число х иррационально, то при любом натуральном п справедливо неравенство (сов 2пп! х!~1, из которого и вытекает, что 1ип 1ип созт2пп! х=-О. 1 ) л +о»т -(-о» В результате нами получено аналитическое задание функции Дирихле (см.
замечание 2): 1(х) = 1ип 1!гп созт 2пп!х, х ~ !т. л +сосо +со $9Л. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Определение 7. Функция 1, определенная на множестве Е ~ Р', называется непрерывной в точке х(') ен Е по множеству Е, если для любого е)0 существует такое 6=6(в))0, что для всех х е Е, удовлетворяющих условию р(х, х(О))(6, выполняется неравенство Д (х) — ~ (х(')) ! ~.. е. (19.4) Заметим, что это определение в случае п=1 шире соответствующего определения непрерывности, данного в п. 5.1, так как мы здесь не предполагаем, что функция1 определена обязательно в некоторой окрестности точки х(').
828 В ху Предел и непрерывность функций многих переменных Определение непрерывности, данное здесь (в отличие от сформулированного в п. 19.2 определения предела), ие предполагает и того, что точка хип является предельной для множества Е. Точка х'е~ может быть и изолированной; при этом в изолированной точке множества Е функция ) всегда непрерывна, нбо в этом случае в качестве 6:~0, участвующего в определении непрерывности, всегда можно взять такое б, что окрестность У(х"', 6) не содержит других точек множества Е, кроме самой точки х'", а для точки х= хин условие (19.4), очевидно, выполняется при любом е) О. Например, раньше для элементарной функции у = ')х )п соз 2пх, определеннои л1пнь для целочисленных значений х = О, -+. 1, -ь-2, ..., мы не могли говорить о ее непрерывности, так как множество, на котором она определена, состоит только из изолированных точек. В смысле же определения 7 эта функция непрерывна во всех точках ее области задания.
Если же точка хпч является предельной для множества Е, то данное определение непрерывности функции ~ в точке хгп по множеству Е эквивалентно условию 11ш ) (х) =Р(х'"). к к'ь', к ~ Е (19.5) Из сказанного следует, что если функция 1, определенная на множестве Е, непрерывна в точке хпп ~Е по множеству Е, то либо хип является предельной точкой множества Е и тогда выполняется условие (19.5), либо хип является изолированной точкой.
Если в равенстве (19.5) перенести 1(х~") в левую часть н положить Ьу=~(х) — 1(х~е~), то условие (19.5) перепишется в виде Игп Ьу = О. р(х,х'') О,х~Е 1пп 1 (хпп) =~ (х" ~). к со (19. 6) Число Лу называется приращением функции в точке х~в>, соответствующим изменению аргумента от точки хин=(х',", ..., х,",) доточких=(х„..., х„). Так как р(х, хаен) = р'Лх,"+ ... +Ьх'„, где Лх; =х; — х,'", 1=1, 2, ... п, то непрерывность функции(в точке х"> по множеству Е означает, что ее приращение Лу в этой точке стремится к нулю, когда приращения Лх; всех ее аргументов одновременно стремятся к нулю, (т. е. таким образом, когда р (х, хип) — 0).
Можно, конечно, сформулировать понятие непрерывности функции и на языке последовательностей. Функция ) (х), определенная на множестве Е, непрерывна по этому множеству в точке хпп е- :Е в толь и только в том случае, когда для любой последовательности точек хгн ~Е, и= 1, 2. !у.8. Непрерыаносеь функций Действительно, точка х'ьг является либо предельной точкой множества Е, либо его изолированной точкой.
В случае, когда хг'г — предельная точка множества Е, равенство (19.6) равносильно равенству (19.5) в силу определения предела функции. Если же хнн является изолированной точкой, то, как это отмечалось выше, в этой точке функция 1(х) всегда непрерывна. С другой стороны, поскольку в этом случае существует окрестность () (х") точки х"', в которой не содержится точек множества Е, кроме самой точки х'", и поскольку последовательность точек х'"г ен Е, /г=1, 2, ... сходится к точке х"', то в указанной окрестности содержатся все точки этой последовательности, начиная с некоторого номера вь:хею «наг(хгьг), ге =:=)ггь что возможно лишь когда х'»' =х'ь', й=зя .
Очевидно, что в этом случае равенстно (19.6) также справедливо. ( 1 Когда говорят, что функция ~ определена на множестве Е, это означает, что она заведомо определена во всех точках этого множества, но не исключает того, что она может быть определена н на некотором большем множестве 0:» Е. Может, конечно, случиться, что функция г будет непрерывной в какой-то точке х'г енЕ по множеству Е и не будет непрерывной в этой точке по множеству 0 (например, функция Дирихле, см.
п. 4.2 и 19.2, непрерывна в точке х=О по множеству рациональных чисел и не является. непрерывной в этой точке по множеству всех действительных чисел). Поэтому слова «по множеству Е» в определении непрерывности существенны. Впрочем, иногда в случаях, когда это не может привести к недоразумениям, они опускаются. Лемма 1.
Ес.ги функция !" определена на лгножеспгве Ес: Ьи и непрерывна в точке хнн ен Е по э«ному множеепгву, причем (" (х" г) ФО, то существует такая окрестнвспгь (l(х"') точки хг'г, что для всех х е- :(г'(хгь') () Е справедливы неравенства г (х)) 2, ес.ги г (х' г))О, 1 (х'« ) и ) (х) ( ', если ( (х'ь') ( О, в частности, во всех точках множества У (х'ь') () Е значения функции ) (х) илгеюпг пгьт же знак, что и ) (хь). Следствие..Если функция ( непрерьгвна в точке х'гн по множеству Е с йги и ) (х"') с (соответственно, )'(х'ьг) <с), то существует пгакая окрестность (/(х'ь') точки х'", что для любых х е= У(хгь') ДЕ выполняется неравенство ((х) ) с (соотвегпсгпвенно ) (х) <с).
( 1 (х'ь') 1 Доказательство леммы. Пусть е= —, тогда в силу 2 непрерывности функции ( в точке хг'г по множеству Е существует такое 6>О, что для всех хан()(хгьг; 6) ПЕ справедливо неравен- ЗЗВ Э 19. Предел и непрерыенасто функций ннагих перемени»ох ство ~ г (х) — 1 (хгог) ) ( е =, и поэтому ',1(хо) ~ е ( .гог) ~ 1 (х о') ! г ( .) ~ е ( .гог) ) 1 1(х о') ~ 2 2 Если р(хг ) >О,то((х' ) — = — и, следовательно, 1 г (х'о') ! г (х'о') ((х) ) —; если же р'(хг'г)(О, то ) ~~~о ) ) (х о|) )(хоп)+ 2 — — и, следовательно р(х)«., 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
