kudryavtsev1a (947413), страница 72
Текст из файла (страница 72)
По аналогии с функциями одной переменной линейные функди ди ди ции — Нх, — о(у, — — о(г переменных о(х, о(у, о(г, называемых дифференциалал!и независимых переменных, называются частными дифференциалами функции и(х, у, г) соответственно по переменным х, у, г и обозначаются через Аналогичные определения имеют место для любого числа переменных. Если функция у=-((х„..., х,) определена в некоторой окрестности точки хф) =(х,", ..., х,"'), то по определению длт дх! 1» =-»; ' (20.1) ду или, что то же, опуская обозначение аргумента, .-== 1!гп — *, дх! Л»! о Лх' у» (х(О! х»О) х1») + Лх х)» хн!)» ( !О! ..., х,'"' !, х,"', хнц „..., х"').
Лля обозначения частной производной — - применяются также обозначения ух или !х ду дх, ! ! Удмп Частные производные и частные дифференциалы дтд Частный ди4ференциал с(, у определяется по формуле с(л.у =- д —. с(тп — оо ( с(х; (+ оо, ае~ ду д хе (20.2) и тем самым является линейной функцией переменной с(хь называемой ди44ерент(налом незаеисидсой переменной хь Здесь везде 1=1, 2 ..., и. В случае и=-1 частная производная совпадает с обычной производной, а частный дифференциал — с обычным дифференциалом. Подчеркнем, что: — — единый символ, т.
е. в нем числитель ду дх; и знаменатель не имеют самостоятельного смысла. С другой стороны, частная производная - —, конечно, может быть записана ду дх; ' ду ~хчУ и в виде частного двух дифференциалов: — — = — ' 'дхз дх;' Из определения частных производных, как обычных производных при условии фиксирования всех переменных, кроме одной, по которой берется производная, следует, что при вычислении частных производных можно пользоваться правилами вычисления обычных производных. Пусть, например, требуется найти произдг водную — функции г=хуеае.
для этого, зафиксировав в этой ду формуле х, получим функцию одной переменной у; вычисляя ее производную, будем иметь: дг - — = хепе+ хуечте д Гх» х(у — х)еа" ду ду(у) у В заключение этого пункта отметим, что из непрерывности в данной точке функции п переменных не вытекает существование у нее в этой точке частных производных, Соответствующий пример в случае а=1 был приведен ранее (см. п.
9.2). Важно заметить, что при пгм2 из существования даже всех частных производных в некоторой точке не следует непрерывность функции в этой точке *~. Это естественно, поскольку условие непрерывности функпии нескольких переменных в точке накладывает определенное ограничение на ее поведение при приближении к этой точке по всем направлениям, в то время как существование частных производных в точке означает, что функция удовлетворяет определенным условиям при приближении к указанной точке лишь в направлении координатных осей. Чтобы в этом наглядно убедиться, рассмотрим функцию )'(х, у), равную О, если ху=О, и 1, если ху=,йО. Очевидно, *' Напомним, что при и = ц т.
е. для функции одной переменной из существования в точке производной вытекает и непрерывность функции в втой точке (см. п. а.хй), веч у 20. Часгиме производиьсе. Диффвренцируелосгь у(х, 0) = — у(0, у) = — О, и, следовательно, д)(0, О) д)(0, О) — =О. дх . ду Однако эта функция разрывна в точке (О, 0), так как, например, ее предел вдоль прямой у=-х при (х, у)-~-(0, 0) равен 1, а )(От 0) =О. Более того, существуют функции, имеющие частные производные во всех точках и все-таки разрывные.
Примером такой функции является функция у(х, у) = ху/(ха+у') при х'+уз- О, 0 при к=у=О. Эта функция имеет частные производные во всей плоскости и разрывна в точке (О, 0) (почемуу). 20.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ В ТОЧКЕ Рассмотрим сначала случай функций двух переменных.
Пусть функция г=)(х, у) определена в некоторой 6-окрестности (т'=- =(У(М,; 6) точ и М,=(х,, у„) и пусть (рис. 88) М =(х, у) ~(У(М,; 6), Лх=х — хо, 6у — у уо и, значит, р = р (М, Мо) =- ~/ Лха + ЛУа ( 6. Пусть, наконец, бг=гс(хо+бх у,+бу) — 1(х., у.)- Рис. 88 Обычно Лг называется пол- ным приращением функции; это название объясняется тем, что здесь, вообще говоря, все независимые переменные получают приращения, отличные от нуля, Определение 2. Функцсся г=Г'(х, у) назавается дифференцируемой в точке (хо, уо), если существуют деа такие числа А и В, чпю Лг = А Лх+ В бу+ и (Лх, Лу), (20А) где при р~ О: а(бх; Лу)=н(бх, Лу)р, !!гпв(Лх, Лу)=0*1. (20.5) р-о " Напомним, что, согласно сделанному соглашению, запись Пш / равно- р'-о сильна записи Ппп 6 где Р=Р(М, Мо).
и мв 20.2. Дифферекцирусмость функций р точке Из (20А) следует, что а(0, 0) =О. Вместе с тем заметим, что значение функции е (Лх, Лу) в точке (О, 0) не определено формулой (20.5). Определение 3. В случае ди44еренцируемосош 4ункции в точке (х„уо) линейная функция А Лх+ВЛу перел енных Лх и Лу называется полным дифференциалом, и,ги ггросто ди44ррвнциалом, 4ункции У' в точке (хе, у„) и обозначается через дг. Таким образом дг= А Лх+ВЛу.
Вместо Лх и Лу употребляются также равнозначные обозначения дх и с(у, т. е. пишут йг= А йх+Вау. Из (20.5) следует„ что "(Лх Лу) (20.6) Функпии сс(Лх, Лу), обладающие свойством (20.6), будем обозначать по аналогии с функциями одного переменного через о(р! при р-+-0 "'. Применяя зто обозначение, определение дифференцируемости можно переписать в виде Лг = А Лх+ В Лу+ о (р), р — О. (20.7) Лемма 1. Условие (20.5) эквивалентно условию а(Лх, Лу)=»е,(Лх, Лу)Лх+е,(Лх, Лу) Лу, р~О, (20.8) где 1ппе,=1ппеа=-О. о-о р-о )доказательство. Пусть выполнено условие (20.5), т.
е. сс=ер, рФО, где в- 0 при р- 0; тогда Лх лу — Лх+ е — ' Лу = е, Лх+ е, Лу, Р"Лха-1- Лу' ' 1'Лхх-г- Лут где е,= . „, ея У . ЗамечаЯ, что ~ЛхД/Лха+ ЛУа,( 1' Лхт Зуа а "угдхв !. Луэ )ьг~З** »Г) .1, ° ),) . ", ~,). ! 1пп е,= Игп е,==О, т. е. получилось представление функции а р о р-о в виде (20.8). Пусть, наоборот, выполнено условие (20.8), т.
е. а=егЛх+ +е,бу, р О, где и,— 0 и еэ-ьО прн р-+-О; тогда и=-, г,+ . ' ев))г'ЛР+ Лу'= р, Лх Лу (У'Лх»Ч-Лух ' 1'Лхэ, Лув Вообгае лля функпий и и (г многих переменных и=о((г) при х-ь-ха', хаЕсгг», хо'геЛ,'», если а(х)=-е(х)р(х), где Иап е(х)=О. В этом х"', ке и случае будеч говорить, что функция и является бесконечно малой по сравнениго с функцией 1! при х-ьх'ь', х т Е. эвв у 20. Чоогние производные. Диффоренцнруемосго — =В. д)(хо, у,) ду а((хо, Уо) дх 1 (20.9) Таким образом, (20.10) Доказательство. Согласно определению дифференцируемости (см.
(20.4) и (20.8)), Ле= А Лх+В Лу+е, Лх+е, Лу, где 11гп е, = В щ е, = О. (20.11) р-о р о Полагая Лу=О, получим Ле=лхе=АЛх+е,Лх, где 1!гп е,=0 ьх о (это следует из (20.11), поскольку, полагая Лд=-О, получим р = =-(Лх!). Отсюда Лхх л" = А -(- е„ лх (20.12) где при Лх — г.О правая часть стремится к пределу, равному А, поэтому и левая часть при Лх-г.О имеет тот же предел, а это и означает (см.
(20.1)), что в точке (х„д,) существует частная дх производная — = А. Аналогично, полагая в (20.4) Лх=О и передх дх ходя к пределу, при Лу-о-0 получим — =В. П ау Следствие. Если Функция )' (х, у) диф4еренцируема в точке (х„, уо), то она илгеет единственный ди4ференциал. Едянственность дифференциала непосредственно вытекает из формул (20.9), так как частные производные в данной точке определяются однозначно. Вспоминая определения частных дифференциалов (см.
(20.2)), формулу (20.10) можно переписать в виде йа=й„е+йое, где е= е,+ е, и, значит, ~е(~(ег)+~во); лх лу у Лхо +Луг $/Лхо+ Луо поэтому е-о-0 при р- О. Таким образом получилось представление функции сг в виде (20.5). ( ) Теорема 1. Если 4ункция е =,Г(х, у) ди44еренцируема в точке (х„у,), то она непрерывна в этой точке. Действительно, так как (Лх~~р и (Лу)(р, то из формул (20А) н (20.5) следует, что Ле- О при р — г-О, что и означает непрерывность функции ) в точке (х„до). П Теорема 2. Если функция г=1(х, у) ди4ференцируема в пючке (хо, уо) и йе=Аг(х+Вйу — ее ди4ференциал в этой )почке, пго в точке (х„у,) у функции г' сугцеспгвггют все частные производные и 20.2.
дцффереяцоруемость функций е точке зе7 т. е, полный дифференциал функции (когда он существует) является суммой ее частных дифференциалов. Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, не имеет места: существуют функции, имеющие все частные производные во всех точках плоскости, но не дифференцируемые в некоторой точке. Примером может служить функция (20.3), приведенная в конце предыдунтего пункта: в точке (О, 0) эта функция не непрерывна, откуда в силу теоремы ! вытекает, что в точке (О, 0) она и не дифференцируема. Из сказанного следует, что не всегда выражение дхг+ йег, когда оно имеет смысл, является полным дифференциалом функции. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием в этой точке частных производных сложнее, чем связь между дифференцнруемостью и существованием производной у функции одной переменной.
Сформулируем достаточные условия в терминах свойств частных производных для дифференпируемости функции. Теорема 3. Пусть функция г = )(х, у) в некоторой окрестнодх дг сти точки (хо, у,) имеет частные производные —.-. и --, которые дх ду' непрерывны в самой точке (хе, у„); тогда функция г =)(х, у) дифференцируема в эпюй точке. Следствие. Если функция г = ) (х, у) имеет в некотпорой окрестде де ности точки (х,, у,) частные производные — и - —, причем мпи дх ду' часттитые производные непрерывны в самой точке (хе, уе), тпо и функиия г=((х, у) также непрерывна в этой точке. Доказательство теоремы.
Обозначим через У(6) 6-окрестность точки (х„, у„), в которой определена вместе со своими частными производнымн ), и )е функция (. Выберем йх и Лу так, чтобы (х,+Ах, у,+ Ьу) ~ У(б). Замечая, что йг =1(хе+ бх, уе+ йу) — ) (х„уе) = = !) (х„+ тхх, у, + йу) — ) (х„у„+ еху)~+ ~) (х„, у„+ тху) — ) (х„у,)1, применим к выражениям, стоящим в квадратных скобках н являющимся приращениями функций только по одной переменной, формулу конечных приращений Лагранжа (см.
п. 1!.2). Это воз. можно, поскольку функция г(х, у,+Ау), рассматриваемая как функция одного переменного х, имеет на отрезке с концами в точках х, и х„+Ах производную (являющуюся частной производной по х функции )), поэтому она и непрерывна на указанном отрезке. Таким образом, функция )(х, у„+йу) удовлетворяет всем условиям, при которых была доказана формула конечных приращений 3!агранжа.
диалогично проверяется и возможность применения формулы Лагранжа к функции )(хе, у), рассматриваемой как функция одного переменного у, на отрезке с концами зов Э га. частно»е нроаоеодные. Дач»ференпаруеносто в т||чках до и у„+Лу. Тогда Лг=),(х„+9, Лх, у,+Лд) Лх+1,(х„у„+во ЛУ)ЛУ, 0 < 9, < 1, О - 9, ( 1, (20.13) причем 9| и 9» зависят, конечно, от выбора точки (х,+Лх, д„+Лу), т.
е. от Лх и Лу. Если 1х (ко+ 9| Лх уо+ Лд) 1» (хо уо) =а|» 1»(хо. до+9 Лд) — 1е(хо, до)=ее, (2014) то в силу непрерывности частных производных 1 н 1„в точке (к»о у„) имеем 1 пи е, = 1 пи е, = О. (20.!5) а-о о-о Подставив (20.14) в (20.!3), получим: Лг=),(хо уо)Лк+1р(хо, уо)Лу+е|Лх+е,ЛУ. (20.15) что в силу выполнения условий (20.15) и означает дифференцируемость функции 1' в точке (хо, уо) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
