kudryavtsev1a (947413), страница 73
Текст из файла (страница 73)
(20,4) и (20.8)). ( ) Следствие из теоремы вытекает из того обстоятельства, что функция, дифференцируемая в некоторой точке, является и непрерывной в ней (см. теорему 1). Теорема 3 имеет важное значение, связанное с тем, что понятие диффсренцируемости функции играет первостепенную роль в ряде разделов теории функций многих переменных. Однако непосредственная проверка дифферепцируемосги функции (например, для выяснения возможности применения тех или иных теорем) часто бывает затруднительна, в то время как проверка непрерывности частных производных, для вычисления которых имеется удобный аналитический аппарат, оказывается проще.
Определение 4. Функция, имеюидгя в некоторой тачке (иви саотвепктвенна на некотором множестве) непрерывные частные производные, называется непрерывно дифферен|(ируемой в за|ай точке (соответственно на этом множестве). Сопоставим определение дифференцируемости функции (определение 2) и определение непрерывной дифференцируемости (определение 4). Дифференцируемость функции в точке означает существование в этой точке дифференциала, т.
е. справедливость для этой точки формулы (20А). Непрерывная же дифференцируе|мость функции в точке означает непрерывность в этой точке ее частных производных. Таким образом, дифференцируемость функции связана с понятием дифференциала, а непрерывная диффереицируемость — с понятием частных производшях. Вместе с тем из непрерывной дифференцируемостн в точке (иа открытом множестве) 20.2. Диффереи«ируемооть функций в точке зов о о где в их правых частях стоят соответственно модули непрерывности фУнКЦий »„и )у.
Из непРеРывности частных пРоизвоДных )'„и ~у на компакте А„/, следует, что 1пп го(р', /к; А,,)==0 и 1!гп о/(р; )„; А„м)=0. о о о-о Поэтому для любого е) 0 существует 6=6(е)) 0 такое, что для всех р<6 выполняются неравенства го(Р )'к Ак/о)<е, /о(Р )у', Ал/о)<е. Следовательно, для всех о<6 и всех (хо, уо) ен А справедливы неравенства »ео»' е, (ео»<е.
следует дифференцируемость в этой точке (соответственно на этом множестве); в этом состоит утверждение теоремы 3. В дальнейшем нам понадобятся некоторые дополнительные свойства функций е, и е, из формулы (20.16). Определение 5. Пусть А и  — дса плоских множества, Ас: с: Ку, В с:)ч/„'„и пусть функция ) =/'(х, у, и, о) определена для (х, у)е— : А, (и, о)с=В. Функция ) называется равнол/ерно стрел/имейся к нулю на множестве А переменнь/х х, у при (и, о)- (и„о,), если для любого о~О су/цествугт такое 6=-6(е) «О, «то для всех (и, о), удовлетворяю/цих условию )/ (и — ио)'+ (о — оо)' < 6, (и, о) ~ (ио, о„) и всех (х, у) о= А вь/полняется условие /)(х, у, и, о)»<е. Общее определение равномерного стремления функции к пределу будет дано в п.
39А. Теорема 4. Пусть функция г=/'(х, у) непрерывно дифференцируема на открытол/ множестве 6 с:Яо. Тогда йг=/' (х, у)6х+), (х, у)бу+е,/ух+ее/уу, (20.17) где функции е,=е,(х, у, йх, Ьу) и ео=е,(х, у„бх, бу) равномерно стремягпся к нулю при р=)Гбхо+ буо-/-0 на любом компакте А ~ 6. Доказательство. Пусть А — компакт, лежащий в 6. Тогда замкнутые множества А и Р" 6 не пересекаются, и так как А ограничено (см. и. 18.3, теорему 3), то д=р(А, Яо ~6))0 (см. лемму 7, п. 18.2). Множество Алм = ((х„у): р ((х, у), А) ( /1)2) содержится во множестве 6 и является компактом (см. лемму 11 п.
18.3). ь/ р ч=уаР+чч*к//К ч р /*,, чу л получим (см. (20.13)): (хо+ 9~ 6х, у,+ Ьу) ев Ал/о, (х„у,+ в, йу) ен А,ж, и, следовательно, согласно формулам (20.14), имеем неравенства »е1»' о (Р /х Ал/2)~ » ео» ~ /о (р' /у' Ал/о)~ 050 Э 20. Честные производные. Диффвренцирусмость Это н означает равномерное стремление к нулю при р->О функций е, и е, на компакте А. Ц 3 а и е ч а н и е. В предположениях теоремы 2 приращение функции Ла представимо также в виде Ла = гсх (х, у) Лх+ (в (х, у) Лу+ ер, гд" е=-в(х, у, Лх, Лу) равномерно на каждом компакте А с:0 стремится к нулю, когда р= — ')/Лх'+ Луа->.0.
Для доказательох ау ства достаточно в формуле (20.18) положить а = а, - — + в« '— Р Р (сравните с доказательством леммы в начале этого пункта). Все определения и утверждения этого пункта переносятся и на случай функции у=((х), х=(х„..., хн), любого числа гг переменных, определенной в некоторой окрестности точки х"'.
Например, условие дифференцируемости в данной точке х"1 в общем случае выглядит так: Лу=А,Лх,+...+А„Лх„+о(р), р-в0, (20.19) где л р = ~гг ~ Лх;, Лу = — ('(хг,..., х„) — ) (хг", ..., х~",), с= 1 причем в этом случае Ас =, г =1, 2, ..., гг. д( (х'ь') Таким образом, если функция ( дифференцируема, то ((х) =)(х1ег)+ А,(х,— хг")+...+ А (х„— х'„")+о(р), р — ь. О, (20.20) т. е. функция )' в окрестности данной точки с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем р =- л = — 1уГ У', (х; — х,'")', равна линейпойфункции"'. Образно говоря, г= г дкфТеренцируемость функции в данной точке означает, что функция ( «почти ливейва> в окрестности этой точки; точный смысл выражения «почти линейна> заключается в формуле (20.20). В случае, когда имеет место (20.19), линейная функция дг(х) , д)(х) — Лх,+... + — Лх„от переменных Лх„..., Лх„(здесь вместо дх ''' дх„ хг'1 написано х) называется дифференциалом функцигг, или, подробнее, полным дифференциалом функции в данной точке х и обо- Функции вида у=се+с,хг+...+сих„, где с; — постоявцые, с==в, 1, 2, ..., и, иааываются линейными функс1иямий п переневвых, ияи, что то же самое, линейными функциями точки х=(хь ..., х„) ы Дв.
20.3. Дифференцирование сложной функция зя значается ф (х): д!'(х)== — Лх,+...+- Лх„. д) (») д,' (») д»с д»о (20.21) с(1" (х) = — — с(х, +... + —.— с(х„. дг (») д) (») Очевидно, что Л)(х) =д)(х)+о(р) при р — я0. Если же рассматривать дифференциал и при изменении точки х=(х,, ..., хн), то он будет уже являться функцией от 2п переменных: х„..., х„, с(х,„..., дх„. Теоремы ! — 4 настоящего параграфа очевидным образом обобщаются на функции п переменных, поэтому мы це будем приводить их формулировки. 20Л.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУННЦ!Н1 Теорема 5. Пусть функции х(1) и у(() одного перелсснлсого 1 дифференцируемы в точке 1, (что, как мы зна м, зксисалентно суи(ествованисо у них производных в точке с„см. и. 9.2) и пусть хо=-х(1о), ус==у()о). Если функция г=!" (х, у) дифференцируема в точке (х,, у,), то сложная фунсция г=-)(х(~), у(()) определена в некоторой окрестности точки (о, имеепс в со произзодну~о и зта производная вычисляется по формуле дг д» д» д» Лу Ш д»си дую ' (20. 22) или, подробнее, О)) д)(" ы)д»(с)+д)(» у)дуЯ Щ дх Щ ду а~ Доказательство. Функция ~(х, у), согласно оиределеиспо дифференцирусмости функции, определена в некоторой окрестности точки (хм у,). Из дифференцируемости же функций х(() и у(() следует их непрерывность в точке го.
Поэтому, согласно замечанию к теореме 2 в п. 19.4, в некоторой окрестности точки (о определена сложная функция )(хф, у(1)). Дифференцируемость функции г=)(х, у) в точке (х„, уо) означает, что ее полное приращение Лг =) (хо+ Лх, уо+ Лу) — ) (х, уо) Дифференциал, как и всякая линейная функция и переменных определен на всем п-мерном пространстве )»".
Таким образом, формула (20.21) имеет смысл для всех значении Лхо с =.1, 2, ..., и, в то время как формула (20.19) — только для тех, которые не выводят за область определения функции 1. Переменные Лх; называются также дифференциалами п.р. иглных х; и обозначаются дхо с= 1, 2, ..., и. В этих обозначениях дифференциал фушгцни ~ записывается в виде 852 р 2Ц Частные производные. Дифблеренцирлленость представимо в виде ь.=ил*-; —,'ьь,вГлн.лье. (20.23) --, - + -+:в1/( — ") +!б о) .
(20.24) При Л(- 0 в силу непрерывности функций х(() и у(!) в точке го получим Лх — л-0 и Лу-ь-О, а значит, и !пир=О. Отсюда, по лл -о теореме о композиции непрерывных функций (см. и. 19.3), !!тв (Лх, Лу)=0. Заметим, наконец, что существует конечный ьг-о предел )(пт ~хг (а"~~' (~~~~' 1'х" ((,) ьрр((,). Из всего этого следует, что при Лу- 0 правая часть формулы дг дх дг ду (20.24) стремится к конечному пределу - „--+ — „- (г=-г',), поаг этому и левая часть этой формулы, т. е. —, стремится к тому же пределу, а это н означает, что в точке (а существует производдг ная -„и выражается формулой (20.22).
( ) Отметим, что, хотя в окончательную формулу производной сложной функции (20.22) входят только частные производные дг дг — и - функции г=('(х, у), по ходу доказательства существенно дх ду использовалось более сильное свойство этой функции, чем существование частных производных, а именно ее дифференцируемость. У п р а ж н е н н е 1. Показать, что прн отказе от требования днфференцируемости функции г,'(х, Н! в точке (хь, уь), а лишь при предположении дг дг существования в зтоа точке частных производных -- и - и существования дх дд дх др производных -- и - в точке (л формула (20 22), вообще говоря, несправед- Й лава и, более того, сложная функция )(х(О, у(О! (предполагается, что она имеет смысл), вообще говоря, не имеет производной в точке Гь.
где функция в=в(Лх, Лу) такова, что !!гп е(Лх, Лу) =О. Здесь, о-о как обычно, р= у'Лхз+ Луг. Лоопределим функцию е(Лх, Лу) в точке (О, 0), положив а(0, '0) =-0 (ср. с доказательством теоремы 4 в п. 9.7). Так, доопределенная функция н(Лх, Лу) является непрерывной в точке (О, 0). Пусть теперь Л! — приращение переменной ! и Лх = х (ьа+ Ль)— — х (га), Лу = у ((о+ Л!) — у(ьа). Разделим обе части равенства (20.23) иа Лг: 2дя. Дьфференцирооонне сложной функции Здд Следствие. Пусть функции х=х(и, о) и у=у(и, о) определены в некоторой окрестности пючки (и,, оа), а функция г = у (х, у) определена в некоторой окрестности точки (х„, у,), еде ха =- '= х (иа, оа), уа = у (игг, оа).
Если функция у" (х, у) дифференцируема в точке (х„у,) и если в точке (и„о,) существуют частные производные и --, то дх ду дн ди' дг в впгой точке (иа, оа) сгги(ествуует и частная производнач сложди ной функции а=у'[х(и, о), у(и, о)1, причем дг дг дх дг ду дн дх ди ду ди' (20. 25) Лак а вате льство. Зафиксируем о=.о, и рассмотрим сложную функцию г=у[хуи, о,), у(и, оа)) одного переменного и. Согласно теореме 5, эта функция определена в некоторой окрестности точки и, и имеет в этой точке производную. Таким образом, производная -- в точке (и„г,) существует и из формулы (20.22) дг вытекает формула (20.25).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
