kudryavtsev1a (947413), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Всякую функцию у = 7 (х„..., х,) от и переменных можно рассматривать в определенном смысле и как функцию от любого числа и+т ) и переменных х„х„..., хн, ... ..., х„, . Именно, для всякой функции 7(хм ..., х„), заданной на множестве Е ~ Р', определим функцию 1*(х„..., х„, ..., х„,„) на множестве точек (х„..., хн, ..., х., ) таких, что (х„..., х„) ен ен Е, — со ( х; (+ со„ / = и+ 1, ..., и + т, следующим образом: ~*(х„..., хто ..., х„ь )=~(хм ..., х„). (20.37) Таким образом, рассмотрение функции и переменных, как функции и+ т переменных, означает фактически продолжение по формуле (20.37) функции 7 с множества ее определения Е с: )сн на множество Е" =-1(хм ..., хне„); (х„..., х„) а= Е, — со(хт(+со, )=и+1,, и+т), лежащее уже в пространстве йньн'.
Для функции 7*, полученной после такого продолжения, имеем д('(х,, ..., к„„) д)(х„..., х„) д)*( ' "'' "' )=0, '= +1, ..., и+т, дхт 90зь Инворионтноеть форнег первого дифференциово 809 поэтому и -~- т " е(хг=е()(х„..., х„). е=1 Например, когда мы говорим, что функцию одного переменного х=1(х), определенную на некотором интервале (а, Ь), мы рассматриваем как функцию двух переменных ) (х) = Р (х, у), хан(а, Ь), — со<у<+со, это означает, что функция Р(х, у) является постоянной, ргвной 1" (х) па любой прямой, проходящей через точку х интервала (а, Ь) оси Ох параллельно оси Оу.
При этом =~ (х), — =О, е(Р(х, у)=4(х), а<х<Ь, — со<у<+ос. Е*=((хм ..., х„, х„+,):(х„..., х„) енЕ, а<х„,<Ь) д( (хь „,,„,,„„) =0 на Е*, дх„ , (20.38) то сУществУет фУнкциЯ 4(хп ..., х„) от л пеРеменных, опРеделенная на множестве Е и такая, что )'(х„..., х„, х„,) = =)(х„..., х„) для всех (х„..., х„) яЕ, х„е,я(а, Ь). В этом случае говорят, что функция ре фактически не зависит от переменной х„+,. В самом деле, из условии (20.38) следует, что функция ~е постоянна как функция х„е, (см.
следствие 1 теоремы 3 из п. 11.2) при фиксированной точке (х,, ..., х„), т. е. зафиксировав какое-либос ~ (а, Ь) для любой точки (х„..., х„) ~Е и х„+, я (а, Ь), имеем 1е (х„..., х„,т) = )е (х„..., х„, с). Искомая функция 1, очевидно, определяется равенством 1(х„..., х„) =. =(е(х,, ..., х„, с), причем она не зависит от выбора сев(а, Ь). Из вышесказанного, в частности, следует, что формулы (20.36) для дифференциалов остаются справедливыми и в том случае, когда функции и и с зависят от разного числа переменных, так как всегда в силу указанного приема этот случай можно свести к вышеразобранному случаю функций одного числа переменнык.
Полезно для дальнейшего отметить в известном смысле обратный факт. ПУсть Е ~ )Сн. Если фУнкцин,ге (х„..., х„, хн.ц) опРеделена на множестве абр 8 20. Частные производные. Дифференцирувиость 20Л, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ И ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА Для большей геометрической наглядности и для того, чтобы не вводить новых понятий, в этом пункте ограничимся рассмотрением функций двух переменных. Рассмотрим функцию г=)(х, у), определенную на плоском открытом множестве 6, т.
е. множестве 6, лежащем иа плоскости )сз. Пусть (х„уо) ~ 6 и пусть в точке (х„ио) существует дг частная производная — . Ее геометрический смысл сразу полудх дг чается из определения частной производной — как обычной про- дх изводной функции у(х, у) по х при фиксированном у и из гео- метрического смысла х обычной производной (см.
п. 9.3). В самом деле, возьмем замкнутый круг 9 радиуса ! ! г с центром в точке ! (хо уо) и лежащий в 6"'. Пусть у — кривая, заданная представлением "4 х,— г«х~хо+т, що р'с —- т. е. кривая, которая л получается сечением графика функции г = Рис. 88 =)(х, и), (х, у) ~Я плоскостью у=ус (рис.
89). Как известно, 4 (хо уо) д( (х уо) =- (да, где а — угол, образованный касательной к графику функции ((х, уо) в точке (х„) (х„уо)) с осью Ох, т. е. угол, образованный касательной к кривой у в точке (хо уо тг (хо ио)) с осью Ох, Таким образом, дт (хо, Ро) дх — в этом и состоит геометрический смысл частной производ- . д) ной д..
*' Такой круг О всегда существует. Действительно, в силу определения открытого множества существует такая б-окрестность 6 точки (хо, до), что У ~ О. Тогда замкнутый круг Я радиуса б(2 с центром в точке (хо, уо) будет заведомо лежать в О. 20.б. Геометрический смысл частных праиоеодных и дифференциала Збг Аналогично устанавливается и геометрический смысл частной д> (хо уо) производной ' У' как тангенса угла наклона, образованного ду касательной в точке (х„у„>" (хо, у,)) к кривой, получающейся сечением графика функции г=Г(х, у), (х, у) еиО плоскостью х=х,, с осью Оу. Что же касается геометрического смысла дифференциала, то из формул (20.20) и (20.9) для нашего случая, т.
е. при п=2, получим >'(х, у) = го+ А (х — ло) + В (у — уо) + о (р), р -ы О, (20.39) Р=)> (х хо) +(У Уо) го=1(хо Уо). Уравнение г = г, + А (х — х„) + В (у — у,) (20.40) является уравнением плоскости, проходяшей через точку (х„у„г,) и не параллельной оси Ог. 1ч.ак мы знаем, коэффициенты А и В однозначно определяются из соотношения (20.39), причем А д)(хч, Уч) В=д>'(хы Уо) дх ' ду (20.41) и, значит, плоскость (20.40) однозначно определена соотношением (20.39). Эта плоскость называется касательной плоскостью к графику функции г=) (х, у) в точке (х„у,, г,). Таким образом, мы пришли к следующему определению.
Определение 6. Касательной плоскость>о к графику функции )'(х, у) в данной точке называется о>акая плоскость, что разность ее аппликаты и значения функции ) (х, у) является величиной, бесконечно малой по сравнению с р при р- О. В силу. (20с41) уравнение этой касательной плоскости имеет вид го= д„(Х вЂ” хо)+ д (У вЂ” Уо) (20.42) д((х,, у,) д> (хо Ус) д)(хо уо) А~ > д)(хо, уо) дх х> Это есть обычная запись дифференциала йг функции г=->(х, у) в точке (х„у,) и поэтому уравнение (20.42) можно переписать: г — го = йг.
В дальнейшем (см. т. 2, п. 50.4) мы познакомимся с другим подходом к понятию касательной плоскости. Полагая Лх = — х' — х„ЛУ = у — у„правую часть уравнения (20.42) запишем в виде ааг г го. Чистние производные. Дифференцируемосто Таким образом, геометрически полный дифференциал функции в точке (хо, уо) равен приращению аппликаты плоскости, касательной к графику функции (рис. 90). Более подробно, дифференциал д)(хо уо) й д)(хо, ио) й дх дх сох = х — хо, Лу == у — уо совпадает с приращением в точке х= = хо+Ах, у=уо+Ьу аппликаты плоскости касательной к графику функции в точке (хо, ио, ~(хо, Уо)).
20,6. ГРЛДИКПТ ФУ1ПоЦИП Пусть функция Е(х, у) дифференвгу) цируема в точке (хо Уо), а кривая у такова, что функции х=х(0 У=уй а=="(==Ь, с помощью которых оиа задана в параметрической форме, удовлеРис. 90 творяют уравнению с'(х, у) = О, т. е. посредством его осуществлено неявное задание кривой у. Пусть Евер(а, Ь), хо=к(1о), до=у(оо), а функции х(1) и д(о) дифферснцнруемы при с=-со. Дифференцируя-при (=(о тождество Р(х(О, у(с))=0, а=-(=- ~Ь, получим , др , ар х) — а — +у) а, —— О, с=се, ах аа т. е. векторы (х ((,), у'((о)) и ( — „— ', ' ортогональны. ИР (хо Ро) ар (хо Уо)~ Вектор а=(х;, д,') в случае, когда он не равен нулю, является, как известно, касательным вектором к кривой у в точке (х„д,) = Сдр (хо Ро) аР (то ио) =(х(со), у(со)).
Вектор ( " ', ' Ео ) называется градиенспом функции с в точке (х„уо) и обозначается через йгас)Р(х„до). Из сказанного следует, что градиент функции с ортогонален касательной к кривой, неявно задаваемой уравнением с (х, у) =О. Прямая, перпендикулярная касательной к плоской кривой и лежащая в одной плоскости с пей, называется (см, п. 17.3) нормалью к даш:ой кривой. Тащем образом, градиент функции г" коллинеареп нормали в соответствующей точке к кривой, задаваемой уравнением г" (х, у) =-О. В случае днфферепцнруемой функции 7" (х„..., х„) ее градиентом называется вектор ~ —, ..., — ).
/ д( а) '~ '1 ах, " ах„ )' 20нд Производная по направлению 202. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ Частные производные от функции являются производными «в направлениях координатных осей». Естественно поставить вопрос об определении и вычислении производной по любому фиксированному направлению. Прежде всего определим это понятие. Проведем рассмотрение этого вопроса на примере функций трех переменных. Пусть функция 1 определена в 6-окрестиости У(М»; 6) точки М,ен)с», пусть М,ев(1(М»; 6).
Проведем через точки М, и М, прямую. За положительное направление на этой прямой возьмем направление вектора 1=М„МО т. е. направление от точки Мо к точке М,, Для всякой точки М этой прямой обозначим через МоМ ориентированную длину отрезка с началом в точке Мо и концом в точке М, т. е. з а1 длину этого отрезка со знаком плюс, если вектор М,М имеет то же направление, что и вектор 2 и со знаком минус в про- у тивиом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
