kudryavtsev1a (947413), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Определение 7. Предел Пм) — ((м,) ' 0 х 1(гп ', если он сузце- Рис. 01 и м, мом ствует„называется производной функции 1' в точке Мо по направлению вектора 1 и обозначается дР(мй д1 Пусть теперь в пространстве )хз зафиксирована некоторая система координат х, у, г.
Пусть М,=(хо, уо, го), М =(х, у, г), Ах=х — хо, Ау=у — уо, бг=г — го и в=М,М. Найдем связь между координатами точки М и ориентированной длиной з отрезка М»М. Пусть а, р и у — углы, образованные вектором М,М, соответственно с осями Ох, Оу и Ог, тогда (рис. 91) х — х,=зсоза, у — у«=асов р, г — го=зсозу. Вдоль прямой М,М функция 1 является функцией одной переменной з, а именно ~(х, у, г) =)'(хо+всози, у,+в совр, го+зсозу). Производная этой функции по з (если она, конечно, существует) и является производной функции 1" в точке Мо по направлению вектора М»Мо Заметим, что направляющие косинусы сова, совр и сову век- тора М„М, через координаты точек Мо = (хо, у,, го) и М, = зве З Уз. Честные производние.
Дофференцнруемоеть = (хь .Ум гг) опРеделЯк тсЯ следУеощим обРазом: «1 — хо У~ — Ем г,— г„ соз а= '-, совр=- — ', созу=-— Р Ет Р Р=)те(кт — хо) +(ух — уо) +(го — го)'. (20.43) Вычисляется производная по направлению по правилу дифференцирования сложной функции. Пусть функция Е'(х, у, г) диффереицируема в точке (х„у„г,) и пусть х =- х, + з сов а, у = уо+ з сов р, г = го+ з соз у.
(20.44) Согласно определению производной по направлению и формуле производной сложной функции имеем: дР (Мо) (, ) (М) — Е ЕМ о) ММ =- йгп Е(хо+ееооех у +оооо й го+веоот) ! (то, оо го) о О еу ~ дЕ(М„) хЕх дг(М„) ду д((М„) тгг = — "- -+ — '" - — + де ~.ов дх де ду дв дг дв ' но из (20.44) следует, что дх ду дг -д —, —— -сова, -д;=сов~, -д,- — — сову, (20.45) поэтому онончательпо д)(М„) д)(М ) д) (Мо) д" (Мо) д) (М,) дЕ дв дх = — = — "' сова+ — "соз()+ ' сову. (20.46) ду дг Это н есть искомая формула. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 7. Пустпь функция Е дифференцируема в точке (к„, у,, го). Тогда в этой точке функция Е" имеет производную по любому напразленеио и зта производная находится по форхеуле (20.46). Любопытно отметить, что из полученной формулы (20А6) для производной по напргвтению сразу не видно, что эта производная не зависит от выбора систе.лы координат. Зта независимость непосредственно следует из самого определения производной по направлению, откуда в свою очередь вытекает, что правая часть формулы (20.46) не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат, а определяется только точками Мо и М„ или, что то же, точкой Мо и вектором М,М,. Вектор с координатами — '— ', ' ' ", — ' называется, как д) (М,) д) (ЗЕо) д) (Мо) дх ' ду ' дг мы знаем, градиентом функции Е(М) в точке М„и обозначается игаг().
(Мы уже встречались с понятием градиее;та функций при рассмот;енин кривых, заданных неявным образом: см. п. 20.6.) х0.7. Производная по навравяеяию Таким образом, если т,,)' и й — координатные орты, то а "7= — х + —.7+- - й дг .. д) . д) (20.47) Часто оказывается удобным использование символического вектора Гамильтона *~ Ч 1д+~д+Юд называемого наблой.
Набла является обозначением определенной операции, которую следует произвести над той или иной функцией. Для функции 7", по определению, полагаем ч7'=7 — ~-,7' — +й- —. .д) .д) д) дх др дг Формально это равенство можно рассматривать как «произведениеа вектора и на число ). Итак, дгас))' и т1 являются обозначениями одного и того же выражения. Пусть теперь вектор 7 единичный, и, следовательно, =(созга, созр, созу). С помощью градиента формула для производной функции 7" по направлению вектора Р запишется следующим образом: — =соза — +соз(3- — +созу---=Р ягабг", (20.48) д) д) д) д) дГ дх дз дх где в правой части стоит скалярное произведение вектора 1 и вегас)~.
Отсюда, поскольку Р— единичный вектор, — =: кгаг) ) ~ соз ф, д) где ~р — угол, образованный вектором 1 и йтаг)~. Из этой фор- мулы видно, что в случае, если в данной точке (стх) +(др) +(дТ) *~ У, Г ам иль то н (1805 — !865) — ирландский математик. то производная дифференцируемой функции по направлению достигает наибольшего значения в единственном направлении, а именно том, при котором созср= 1, т.
е. в направлении градиента. Из этого следует, что для заданной функции точки 7(М) градиент в каждой точке однозначно определяется самой функцией, а не зависит от выбора системы координат, как это могло бы сначала показаться из формулы (20.47). Збб б 20. Частные нроивводные. Дифференцируеность Действительно, прежде всего, если градиент равен нулю в одной декартовой системе координат, то он равен нулю и в каждой другой подобной системе координат. В самом деле„ равенство нулю градиента в некоторой точке, согласно формуле (20.48), равносильно равенству нулю в этой точке производных по всем направлениям, последнее же не зависит от выбора декартовой системы координат, поскольку от этого выбора ие зависит производная по направлеяию.
Если же градиент не равен нулю, то его независимость от выбора декартовой системы координат следует непосредственно из доказанного выше его геометрического смысла: направление градиента показывает направление наибыстрейшего роста функции (оно единственно), а его величина равна производной в этом направлении.
Возьмем теперь любую непрерывно дифференцируемую кривую без особых точек, проходящую через точку (хв, цв, гв), и такую, что вектор Л~,М, является ее касательным вектором. Обозначим через з переменную длину дуги этой кривой, отсчитываемую от точки М, в таком направлении, чтобы вектор МвМт давал положительное направление на касательной. Если х =х(в), у= у (з), гг а(з) — представление этой кривой, то, как мы знаем (см. п.
!6.5), — д--=сова, -„— =совр, — — =сову, т. е. также выдх др дх полняется (20.45). Поэтому если взять производную в точке (хв, Ув, гв) от диффеРенпиРУемой фУнкции !'(х, У, г) по Данной кривой, т. е. при х=х(з), у=(е(з), г=г(з), иначе говоря, взять производную от функции 1(х(з), у(з), г(а)) по з, то для этой производной будет справедлива формула (20.46). Это означает, что производная в некоторой точке от функции вдоль кривой, проходящей через указанную точку, совпадает с производной по направлению касательной к этой кривой в той же точке. Все сказанное переносится на функции любого числа и переменных (л ) 2).
Сформулируем лишь определение производной по направлению. Пусть в некоторой окрестности точки х~в' =-(х',", ..., х'„") определена функция 1(х) и пусть хио = (х',", ..., х'„") — точка этой окрестности, хпц Ф х~о'. Проведем прямую через точки хив и хцй Ее уравнение имеет вмд (см. (18.44) и (18.45)) х; = х!" + з сов а; „! = 1, 2, ..., и, — со ~: з (+ со, где созае — направляющие косинусы вектора Рассмотрим заданную функцию ) только на точках этой прямой, т: е.
рассмотрим функцию ) (х,"'+ з соз ам ..., х'„" + з сов а„). 20.В. Пример исследования функций двух леремеинмх д67 Производная — функции ~(хм ..., х„) в точке х~ > в направд) в лении точки х'~', или, что сяо же, в направлении (созап..., сова„), д) определяется как производная -. — от сложной функции ~(х',"+ +в сова,, ..., х'„"+всозсс„). В случае, если функция 1 диффереицируема в точке х~", то, согласно формуле для производной сложной функции, имеем в этой точке д) ~~е~ д) д( д) — = - — = — сова„+...+ — сова„.
дГ дв дх, дх„ Вспоминая определение градиента функции и переменных (см. п. 20.6), с помощью скалярного произведения и-мерных векторов (см. (18.32)) формулу производной функции 1 по направлению вектора 2 для любого и-мерного пространства Йв можно записать в виде (20.48), т. е. д, — — (агадир, Ев), д) где Рв=(совам ..., созсс„). В заключение отметим, что из того, Рис. 92 что функция в некоторой точке имеет производные по всем нзправленням, не следует, что функция в этой точке дифференцируема. Например, функции О, если учьх', или х=у=О, 1, если у =- хв, х'+ух~О, имеет в точке (О, 0) по любому направлению производную, равную нулю.
Однако, в точке (О, 0) функция Р разрывна и, тем более, не дифференцируема (рис. 92). 20.8. ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ С помощью частных производных можно изучать поведение функций многих переменных, подобно тому как исследовалось поведение функции одной переменной с помощью ее производной. Вопросом отыскания наибольших и наименьших значений мы займемся позже в 5 40 и 5 43, здесь же ограничимся одним примером изучения функции двух переменных, который позволит нам получить одно полезное для дальнейшего неравенство. Покажем, что для любых а- О, Ь.=- О, р~ 1 и числа в, определяемого равенством (20А9) зов Э хд. Частные производные.
Йафференцирненосте справедливо неравенство ал де аЬ =- — + — —. я (20.50) Прежде всего отметим, что уравнение (20.49), связывающее числа р и д, равносильно соотношению (р — 1) (д — 1) = 1, (20.51) которое эквивалентно условию Р р — 1 (20.52) Р(х, д)=-хд — — — — —, х~О, д=-О. (20.53) хл д'т Р ч ' Вычислим ее частные производные: дР д (»' У' У хл ' д (х' У) х дт-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
