kudryavtsev1a (947413), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Например, формула х с(х=--+С хз 3 справедлива на всей числовой оси. Г дх Однако для интеграла ~ -, уже нельзя написать подобную д хз единую формулу, справедливую для всей ее области определения, т, е, для всей числовой оси, из которой исключено чссло ноль. В этом случае имеем: е — — +С, для х- 0 1 ~дх х — — +С, для х(0. 22.2, Табличивве интегралы 2.
~ -„=!п)х!+С на любом промежутке, на котором х~О. 3. ~ ал г)х = —,„+ С, а -» О, а ~ 1. В частности, )е"'е)х=-е"+С. 4. !!з!пхбх= — созх+С. 5. ~ сов хе)х= зшх+С. 6. ~ —,— = 1д х + С. Г их Г бх 7. ~ —.= — с1их+С. ) гвпв г 8. ~ эЬхдх=с!вх+С. 9. ) с)вхе!х=з11х+С. 10. 1 — ~~ =1Ьх+С. 13. ~ —,"", =,'-1п ~"=„'~+С. Нх . л х 14, ~ = агсзйп — + С = — агссоз — -+ С, !х! (', а!. причем, когда под корнем стоит х' — а', предполагается, что )х~= )а!. Само собой разумеется, что если знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль в некоторой точке, то написанные формулы будут справедливы лишь для тех промежутков, в которых не происходит обращения в ноль указанного знаменателя (см.
формулы 2, 6, 7, 11, 13, 15). Это замечание относится и к аналогичным ситуациям, которые встретятся нам в дальнейшем и не будут каждый раз специально оговариваться. То, что производными функций, стоящих в правых частях этих формул, являются соответствующие подынтегральные выражения, проверяется непосредственным дифференцированием (см. примеры в э 9).
С помощью интегралов 1 — 15, называемых обычно пгабличнылви иннлеграла.ии, и доказанных выше свойств неопределенного интеграла можно выразить интегралы и от более сложных элементарных функций также через элементарные функции. 22.З. »1птеерировакие подстановкой (запева переменной) Зад т. е. функция )[сР(())сР'(() имеет в качестве одной из своих перпообразных функцию е [~Р(1)). Отсюда сразу и следует формула (22.9). [ ) Формула (22.9) часто применяется на практике при вычислении интегралов.
Для удобства ее пспользовзния придадим ей несколько другой вид.' Заметив, что 1 г (х) йх ~к к ю = [е (х) + С)к,р оо = Р [ Р (()) .+ С, перепишем формулу (22.9) в виде 1ЛЧ (г)) тР (с) с((=1)(х) йх~к= ио (22.10) Отсюда видно, что можно сначала гычислить интеграл ~1(х) с(х, а затем вместо х подставить функцшо с( ((). Эта формула и называется обычно тРормрлой ингиегрирования пойетановкой. Ее левую часть можно записать в другом виде согласно равенству )ПР(1)) Р'(0й~=$ПР(0)йр('). Отметим также, что фэрмулу (22.10) бывает целесообразно использовать и в обратном порядке, т.
е. справа налево. Именно, иногда бывает удобно вычисление интеграла '),((х) с(х с помощью соответствующей замены переменного х=«Р (1) свести к вычислению интеграла 1 ) [ Р (1)) Р (г) с(( (если зтот интеграл в каком-то смысле «проще», чем исходный), т. е. использовать формулу (22.10) в виде ) 1(х) с(х = $~ [ср (1)) тР'(~) с((/т=«тм> (22. 11) Эта формула непосредственно следует из (22.10), если в обеих ее частях сделать замену переменного г=ср'(х), где ср', как всегда, обозначает функцию, обратную функции сР. Чтобы функция сР' существовала, в дополнение к условиям теоремы 1 достаточно, например, потребовать, чтобы на рассматриваемом промежутке функция ~Р была строго монотонной. В этом случае, как известно (см. п.
6.3), будет существовать однозначная обратная функпия ~Р '. Формула (22.11) обычно называется срормрлой интегрирооания заменой переменной. Пр имер ы. 1. 1(ля вычисления интеграла $ созахс(х естественно сделать подстановку и = ах, тогда созахс(х=- ) сов ийи== — з(пи+С= +С, а~0. 1 Г 1 яп ах а а а 13 К»в»в»в»в Л. д.,т. 1 5. Интелрает ~ (г"ах — хас(х монако вычислить с комаппяо подстановки х = а яп1 (см.
также пример 2 в щ 22.4). Имеем е(х = =асов(Ж, а поэтому )/са' — ххс(х = а' ~ созхга1= ах ~ + с(1 = 2 ~Р г а~ аЧ ах — Ш+ -- соз 2га( — — + — — яп 21+ С. Подставляя в полученное выраэиенне 1=агсз1п и замечая а что з(п 2агсяп — =2яп. агсМп- 'соз агсяц-) =2 — ~~ 1 —,-= х . ( .
х1 ( . х~ х Г хе 2 а ( а) ( а) а Г' аг = — е-х~' а' — х' окончательно будем иметь ) а' — х'ах= — -агсяп - + ) а' — х'-1-С. а 2 Заметим, что для проверки результата, полученного при вычислении неопределенного интеграла достаточно его продифференцировать, после чего должно получиться подыптегральное выражение вычисляемого интеграла. Другие примеры на интегрирование с помощью замены переменного будут рассмотрены в 2 25, 26.
22.4. ПИТГеГРИРОВАНИК ПО ЧАСТЯМ Теорема 2. Если функяии и(х) и о(х) непрерывны на некотором промежутке, диф4еренцируелы в его внутренних точках и на этом промежутке существует интеграл )оди, то на нем сущюпвует и интеграл ~ идо, причем ~ ибо = ио — ~ ос(и. (22.12) Доказательство. Для внутренних точек указанного в условиях теоремы промежутка по правилу дифференцирования произведения имеем с((ио) =иди+не(о, и поэтому иЫо=д,(ио) — оди. Интеграл от каждого слагаемого правой части существует, ибо по свойству 1' п.
22.1 ~ е( (ио) = ио + С, а интеграл $ оди существует по условию теоремы. Поэтому согласно свойству 3' п.22.1 существует и интеграл ~ идо, причем ~ идо = ~ д (ио) — ~ оди. (22.13) 888 Е 22. Определение и свойства пеопрвдглепппгп пнтеграпп Подставляя в правую часть (22.13) ио+ С вместо ) г1(ио) и относя произвольную постоянную С к интегралу ~Ми, получим формулу (22.12). Д С помощью формулы (22.12) вычисляются многие интегралы.
При ее практическом использовании задана левая часть (22.12), т. е. функция и и дифференциал г(о, а поэтому о определяется неоднозначно: Обычно в качестве о выбирается функция, записываемая наиболее простой формулой. Примеры. 1. Пусть требуется вычислить интеграл ~ хехг(х. Полагая и=х, г(о=с'г(х, откуда г(и=г(х, о=е"', имеем ~ хе тг(х = ~ хг(ех =- хе — ) е "г(х = хе.т — ех + С. Заметим, что, взяв и=е" и г(о =хг(х, откуда и=ех и о =хх12, мы имели бы хехг(х = хвех — — ~ хвехг(х 1 ! 2 Добавим и вычтем а' в числителе подынтегральной функции интеграла, стоящего в правой части равенства; тогда, произведя деление на (Гав — х', будем иметь — 1 ' хтдх (' ав — (аг — хг) 'тгаг — хг д 1''а' — хв йх =а ) ° — ~ )г'ах — хвг(х = а' агсз 1п — — 1.
) ра' — х' а Подставив зто выражение в (2.14), получим: 1 = х Уа' — х'+ а' агсз(п — — 1. а (22.15) .т. е. интегрирование по частям привело бы к интегралу, более сложному, чем исходный. Отсюда видно, что при вычислении интегралов с помощью формулы (22.12) не каждый способ выбора функций и и о приводит к интегралу, более простому, чем первоначальный.
2. Вычислим интеграл 1=~)/а' — х' г(х посредством интегрирования по частям (ранее, см. п. 22.3, пример 5, он был вычислен с помощью замены переменного). Полагая и =) а.' — х', г(о = г(х и, следовательно, г(и =- х — — г(х, о =х, получим 1= ~ )/а' — ххах=-х ага' — х'+ ~ . (22.14) га.й Комплексные числа Как уже отмечалось, всякое равенство такого вида представляет собой равенство между двумя множествами функций, элементы каждого из которых отличаются друг от друга на постоянную.
Поэтому общее выражение для элемента множества 1, согласно (22.15), имеет вид 1 =- ) па — х'+ ' — агса(п — + С. 2 2 и 3, Иногда для вычисления интеграла правило интегрирования по частям приходится применять несколько раз, например, агсз!п хг(х = х агсэ!и х — 2 т агса!и х — — = Г хйх г' ! — х =х агс ш'х+2 ~ агсзш ха()Г! — х' = = х агсз!гга х+ 2 агса!п х ) '1 — х' — 2х+ С.
4. Если Рн(х) — миогочлен степени х, то для вычисления интеграла ~ Р„(х) е х г(х следует формулу интегрирования по частям применить п раз. Выполнив зто, получим . ( Р, (х) ) н (х) р(п Г (х) Другие примеры па применение интегрирования по частям будут рассмотрены в 2 25. й 23. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЛАХ И МПОГОЧЛЕНАХ 23.1. ИОМИЛЕКСИЫЕ ЧИСЛА Как известно из алгебры колггглекснылги чпслалги называются выражения вида г=х+ау, где (и= — 1, а х и у — любые действительные числа, Множество всех комплексных чисел обозначается через С.
Число х называется действительной частью, у — мнимой частью комплексного числа г=х+(у. Это записывается следующим образом: х=йег, у=1тг*'. От .чатинских слов геа)И вЂ” дейстиительиый и ппай)наг(на — мнимый. 8ОО у гЗ. Некоторые сведения о комплексных чисяох и иногочлених Комплексное число г, не являющееся действительным, т. е.
у которого 1гпг~О, будем называть суи(ественно кпмплексньсн числом. Число 3г хе+у' называется модулем комплексного числа г =к+ су и обозначается )г ~, т. е. )г)=3~ х'+ у'. Каждому комплексному числу г=х+су соответствует упорядоченная пара действительных чисел (х, у), и обратно, каждой упорядоченной паре действительных чисел (х, у) соответствует комплексное число г=х+)у. В силу этого взаимно однозначного соответствия (а также и в силу других обстоятельств, о которых г речь будет ниже) комплексное число г = х+ су геометрически удобно интерпретировать либо как точку (х, у), либо как р'адиус-вектор на плоскости с коордннатамн х и у (прн некоторой и х г фиксированной прямоугольной де- картовой системе координат). Рис. 94 Координатная плоскость, точ- ка (х, у) которой (при любых х, уе= Л), отождествлена с числом к+ус, называется комплексной плоскостью.
В ней ось Ох называется действительной, а Оу— мнимой осью. Угол ср, образованный радиус-вектором г, г ~ О, с положительным направлением оси Ох, называется аргументом комплексного числа г и обозначается Ага г. Значения ~р аргумента комплексного числа г, такие, что — и ( ср -.== и, обычно обозначают агд г. Очевидно, что Ага г определяется комплексным числом г~ О с точностью до целочисленного кратного 2л, в то время как аги г определяется уже числом г ~ О однозначно. Очевидно также, что агд г = агс1и -"„-+ йп, где А=О для первой н четвертой координатных четвертей, й= 1 для второй н й= — 1 для третьей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
