kudryavtsev1a (947413), страница 83
Текст из файла (страница 83)
(х+р„,+д,)з., (23.10) где т е ~~~ ест+2 ~) ~тт=п, — '- — д; с О, 1=1, 2, ..., з, с=т и все коэффициенты А„, а,, ..., а,; пот)ы ..., Р„тт, действительны. Прн этом а„..., а, суть все действительные корни мнпгочлеиа Р„(х), а каждому существенно комплексному корню гв и ему сопряженному корню г„соответствует множитель вида х'+ рх+т1 = =(х — зв)(х — з,). Вместо буквы г, употреблявшейся выше для обозначения аргумента рассматриваемого многочлена, здесь по традиции написана буква х, чтобы подчеркнуть, что все рассмотрения происходят в действительной области (это означает, что коэффициенты многочлена х'+ рх+ т) действительны).
Формула (23.10) непосредственно следует из формул (23.7) и (23.8): нужно в разложении (23.7) сгруппировать попарно множители с сопряженными корнями и записать произведения вида (г — гв) (г — г„) в форме (23.8). Тогда, замечая, что кратность сопряженных корней св и Бв одинакова, мы и получим формулу (23.10). Разложепие многочлена на множители вида (23.10) единственно, ибо опо однозначно определяется корнями этого многочлена и их кратностями. 23«5е. НАИБОЛЫПИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНОВ Пусть дан многочлен Р(х).
Всякий многочлен Я(х), на который делится многочлен Р (х), т. е. Р (х) = Я (х) г (х), (23. П) где г(х) — также многочлен, называется делителем многочлена Р (х). Мы видели, что многочлен Р(х) можно записать в виде Р(х) =А(х — а,)" ... (х — рт) ° (х'+р,х+дт)"т ... ... (х'+ р,х+ дт)З, (23,12) 28.е е. Наибольший ильине делитель лшогоелеьье где а„..., а, — действительные корни многочлена, а множители вида ль+ р х+ 7; соответствуют существенно комплексным иорням этого многочлена, р) 4 коэффициенты А, р; и де(1 =1, 2, ..., з) действительны.
Отсюда следует, что всякий делитель 1с(х) многочлена Р(х) может быть записан в виде Р(х) =В(х — а1)) ... (х — а,)хе(х'+ р1х+е)г)ь' ... ... (хГ+р, +д,) ., (23,13) пдн ль(а;, (=1, 2, ..., г, н,((),, 1=1, 2, ..., з. (23,14) Действительно, никаких других множителей вида х — а и хь+рх+~д (23 Рб) лг где а, р и д действительны н ' — — д(0' в разложении много- 4 члена )с(х) быть не может, ибо, с одной стороны, многочлен Я(х), как всякий многочлен, может быть разложен на множители вяла (23.15), с другой стороны, из формулы (23.11) следует, что если в разложении й(х) на множители имеется множитель вида х — а, соответственно вида х'+рх+д, то х=а, соответственно корни трехнлена х'+рх+д, являются и кбрнями многочлена Р(х); поэтому указанные множители входят в разложение (23.12).
Неравенства (23.14) также очевидны: из той же формулы (23.11) следует, что кратность корня многочлена Й (х) не может превышать кратности того же корня многочлена Р(х). Пусть теперь даны два многочлена Р(х) и Я(х). Всякий миогочлен, являющийся делителем как многочлена Р(х), так и многечлена Я(х), называется нх оби(ил делиглелеи. Общий делитель двух многочлепов, который делится на любой общий делитель этих многочленов, называется их лаибольеииле оби(иле делителеле.
Если многочлеиы Р(х) и Щх) записаны в виде (23.12): Р ( ) 4~ (х а )~~ (х аа)ег (х2+Р'+д)е! ... (х~+рх+д,')в', (23.16) 1~(Х) = А' (Х вЂ” а;) ' ... (Х вЂ” а,-)"'"(Ль+ Р,Х + а,")З' ... ... (хе-'; ртх+г),"-)'е", (23,17) то всякий их общий делитель Я(х) можно записать в виде (23.13), где множители х — а~ (и=1, 2,, г), х'+р,х+дт (1=1, 2,, з) (2316) входит как в разложение (23.16), так и в разложение (23,17). 404 а Ва Некоторые сведения о комплексных числах и мновочленах Пусть индексы у коэффициентов множителей (23.18) в разложениях (23.16) и (23.17) Равны соответственно (к, Й и (й, Н, тогда в силу неравенств (23.14) имеем (23.19) рс =к== К'„рс ~ ~(у,', 1=- 1, 2, ..., а. Для того чтобы многочлен (23.13) был наибольшим общим делителем многочленов Р(х) н 9(х), необходимо и достаточно, чтобы показатели степени лн, й=1, 2, ..., г и р„!=1, 2, ..., з были максимальными из возможных, т.
е. чтобы Хн= пни(сх~„', агк~, рн = пн(п ф,'„(ф, й=1, 2, ..., г, 1=1,2,...,з. (23.20) то а является корнем кратности а — 1 для многочлена Р'(х). Действительно, дифференцируя. (23.21), имеем Р'(х) = я (х — а) -'Р,(х) + (х — а) Р;(х) = (х — а)"-' Р, (х), где Р,(х) =ссР,(х)+(х — а) Р;(х) Р,(а) =иР,(а) ФО. Подобным образом, если Р (х) = (хе+ рх+ с))а Р, (х) „ (23.22) Действительно, при вьшолненни этих условий многочлен )7(х) будет общим делителем многочленов Р(х) и Я(х), кроме того он будет делиться на любой многочлен вида (23.13), для которого выполнены условия (23.19), т. е. Р(х) будет делиться на любой общий делитель многочленов Р(х) и Я(х). ( ) Из найденного вида общего делителя, и в частности, наибольшего общего делителя следует, во-первых, что наибольший общий делитель двух многочленов не единственен', однако два наибольших общих делителя двух данных многочленов могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем (постоянную В в формуле (23.13) можно брать пронзвольной, неравной нулю); во-вторых, что наибольший общий делитель двух многочленов имеет степень, ббльшую, чем любой их общий делитель, не являющийся наибольшим общим делителем.
В качестве примера, полезного для дальнейшего, найдем наибольший общий делитель многочлена Р (х) и его производной Р' (х). Предварительно заметим, что если число а является действительным корнем кратности и многочлена Р(х), т. е. Р(х) =(х — а)" Рх(х), Р, (а) ~0, (23.21) 405 25,5 Ь. Наибольший обечнй делитель нногоилеиов где Р— д ~ О, и, значит, корни г, и г, (г, = г,) трехчлена х' + 4 + рх+о существенно комплексны, и если Ра(г,)~0, Р,(г,)ФО, то Р'(х) =(х'+Рх+с))а-'Рл(х), где Р4(гт)~0, Р,(гв)чьО, т. е. Р,(г) не делится на х'+рх+д. Действительно, дифференцируя (23.22), получим: Р'(х) =() (х'+рх+е))а-'(2х+р) Рэ(х)+ + (ха+ рх + д) а Ра (х) = (ха+ рх + д) а-т Ре (х), где Р, (х) = — (1 (2х + р) Р, (х) + (х'+ р т+ 0) Р, '(х), о гк уда следует, что Р4(г,)= — р(2г,+р)Ра(гт)~0, Ре(гэ)=))(2га+р)Рэ(гэ)4=0, ибо г,Ф вЂ” р)2 и г,Ф вЂ” р)2, так как оии существенно комплексиы.
( ) Из доказанного следует, что если многочлен Р(х) записан в виде (23.12), то его производную Р' (х) можно представить в виде Р '(х) = С (х — ал)"т ... (х — и,)" (х' + Р,х + д,)а ... (х' + р,х + де)В Рв (х), где многочлен Рь(х) не делится ни на х — пь 1=1, 2, ..., г, ни на хэ+ргх+ать 1=1, 2, ..., з, т. е. пе имеет общих корней с многочленом Р (х). Из формул (23.13) и (23.20) получаем, что наибольший общий делитель )с(х) многочлена Р(х) и его производной Р'(х) имеет вид )с(х) =(х — ат)" ' ...
(х — а,)" ' (х'+ртх+дт)~т ... (х'-1- р,х -1- д,)"л '. (23 23) Изложенный метод получения наибольшего общего делителя двух многочленов Р(х) и Я(х) принципиально полностью решает вопрос о существовании и виде наибольшего общего делителя. Практическое же его применение может, однако, вызвать существенные затруднения: для использования этого метода надо знать разложения на множители вида (23.16) н (23.17) данных много- членов Р (х) и 9 (х), которые далеко не всегда удается написать в явном виде, Существует, однако, другой способ получения наибольшего общего делителя двух многочленов Р (х) и 9 (х), называемый обычно ал.орипьиоле Ееклидп. *' Опишем его. Пусть для опре;еленностп степень миогочлена Р(х) больше или равна степени мпогочлена Я (х).
Разделив Р (х) на 9(х), '1 Н в канд (ок. 365 — ок. 300 до н. э.) — древнегреческий математик. 406 э 2З. Игнатовиче свезевия о канплеюенмк чеелак и ьвогоклекак получим в качестве частного некоторый многочлен 9,(х) и остаток Р, (х), степень которого, очевидно, меньн~е степени много- члена 1~(х) (в противном случае процесс деления иа 1~(х) можно было бы продолжить): Р (х) = Д (х) (), (х) + К, (х).
Из этой формулы следует: 1) если миогочлены Р(х) и Я(х) делятся на некоторый многочлен г(х), то и многочлен )г, (х) делится на этот многочлен; 2) если многочлены 9(х) и Р,(х) делятся на какой-то многочлен г(х), то и многочлен Р(х) делится иа этот многочлен г (х). Отсюда в свою очередь следует, что общие делители многочленов Р(х) и Я(х), в частности их наибольшие общие делители, совпадают с общими делителями, соответственно с наибольшими общими делителями, многочленов 9(х) и й,(х).
Разделим далее многочлен гг(х) на многочлен Я,(х): Я (х) = Р, (х) Яе (х) + Я, (х), продолжая процесс дальше, будем иметь Яе (х) = Йя (х) ее (х) + Яе (х) Рь е(х) =Рь,(х) 9ь(х)+ йь(х). Степени многочленов К; (х), 1= 1, 2, ... убывают, поэтому существует номер (мы его обозначим т+1) такой, что Я „(х) =О, и следовательно, Й -,(х) =Р„(х)9 .м(х). ПаРы многочленов Р (х) и Я (х), Я (х) и Р, (х), )З, (х) и Й,(х), ..., Й,(х) и Р,„(х) имеют одинаковые общие делители, а значит, и одинаковые наибольшие общие делители.
Но Я„,(х) делится на Р (х), поэтому Й„(х) является наибольшим общим делителем Р„,(х) и Р (х), а значит, и наибольшим общим делителем многочленов Р (х) и Я(х). 23.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕН НА ЭЛГМЕНТАРНЫЕ Пусть Р(х) и Я(х) — миогочлены с деиствительными коэффициентами. Рациональная дробь Р (х)Дг (х) назаваеепся правильной, если степень многочлена Р(х) меньше степени многочлена 9(х). Если рациональная дробь Р(х)Я(х) не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу гд.б. Рахлине,. нраеильных рацион. дробей на элементарные ест деления многочленон, ее можно представить в.
виде Р (х» Р„(х) Я ) (),(х)' — = Я (х) + —" (23.24) где )х (х), Р,(х) и Я»(х) — некоторые многочлены, а Р, (х)Щ(х)— правильная рациональная дробь. Лемма 1. Пустпь Р (х))(г (х) — правильная рае(накальная дробь. Если число а является действительным корнем кратпности а="-1 многочлгна Я(х), т. е. (б(х) = (х — а)и(;» (х) и (),(а)~ О, то сди(ествуют действительное число А и мноеочлен Р,(х) с действительными коэффициентами такие, чою Р(4 А Р,(х) я(х) (х — а)и (х — а)" тц,(х)' где дробь,, таквиг является правильной. Р, (х) До к аз а тел ь ство. Каково бы ни было действительное число А, прибавляя и вычитая из дроби Р (х) Р (х) о(х) (» — а)" о, (х) А выражение —, получим: (х — а)а Р*(х) А (' Р (х) А А + Р (х) — А()Ь (х» (» — а)н (х — а)и(), (х) ' По условию, степень многочлена Р(х) меньше степени много- члена Я(х)=(х — а)" (г,(х). Очевидно, что и степень многочлеиа (~,(х) меньше степени многочлена (;)(х) (нбо а:-.-1), поэтому при любом выборе числа А рациональная др.обь — является и (х) — АЯ~ (х» правильной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
