kudryavtsev1a (947413), страница 85
Текст из файла (страница 85)
22.2) е(х =- —, С А А (х — а)в (н — !) (х — а)в-т + (24.2) Рассмотрим теперь интегралы от дробей Мх-и У (х'-1- рх+ 4)в ' ре где 4 — е) (О, и = 1, 2, .... Снова начнем со случая и = 1. Замечая, что р '2 х'+ рх + г) = (х+ р ) +, г) — р 1, и полагая 1= х+-, а' = г) — -Р— ) О, получим: р 2' 4 ,) а ) ---а М( — — )+У = — !п (х'+ рх+ г))+ агс1н + С. (24.3) В случае а 1, полагая, как и выше, 1=х+-Р, а'=г) — Р, 4 ' подобным же образом получим мх+ м 1' тж 2и — рм р й) (хе+ рх+4)",) (и+а')" + 2 ) (а+а ) ' (24 4) Рассмотрим в отдельности каждый из получившихся интегралов в правой части этого равенства. Что касается первого нз Э 2л.
)Гвгегрнроаанаа ранаонааонык дробей них, то он вычисляется сразу: где 1 1' д (!л+ал) 1 (Р+а')н 2 ) (Р+ал)л 2(а — 1)(Р+ал)л " + Второй же интеграл правой части равенства (24.4) вычисляется несколько сложнее. Пусть п.=1, 2, 3,.... Проинтегрируем интеграл 1л по частям, положив и = †, , „, с(о = — Ж, и, следовательно, ди =- — , , „,, о = 1, 1 2лни (Р+ил)л ' а затем, добавив и вычтя а' в числителе получившейся под знаком интеграла функции и произведя деление так, как это указано ниже, получим Ш 1 ! Р (!л+ал)л (!л+ал)л + ) (Р+ал)ла й Г (Р на*) — ал +2п э!' —,— -- —.й(= (Р+ал)л Э! (Р-1-ал)л 1 (гл+ал)л + !! ( ) (Р ! ал)л а ) (и+ал)ло ] т.
е. 1„=, лл +2п1„— 2паа(лен откуда 1 ! 2н — 1 1л+!=-2 . Р,л + 2,, 1л, п=1, 2, .... (24.6) Интеграл 1, легко вычисляется (см. в п. 22.2 формулу 12); формула (24.6) позволяет вычислить 1,; зная же 1„по той же формуле можно найти значение и 1„продолжая этот процесс дальше, можно найти и выражение для любого ивтеграла 1л (п=1, 2, ...). 24.2. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ Из результатов п; 23.6 и предыдущего п.
24.1 непосредственно вытекает следующая теорема, Теорема 1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знамена!пель дроби не обращается в ноль, суи(гствуеп! и выражается через элементарные функции, а именно он является алгвбраи«есной суммой суперпозт!ий рациональных дробей, арктангенсоо и натуральных логарифмоэ. Теорема 1 есть прямое следствие формул (23.24), ( 3.30), (22.6), (22.8), (24.1) — (24.6). Эти формулы дают и конкретный способ вычисления интеграла от рациональной функции: сначала деле- 2«.2, Общий или«ай пнем числителя на знаменатель выделяется «целая часть», т.
е. данная рациональная дробь представляется в виде суммы много- члена и правильной рациональной дроби (23.24), затем получившаяся правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей (23.30), после чего, используя линейносгь интеграла (22.6), можно вычислить интегралы от каждого слагаемого в отдельности, согласно формулам (22.8) и (24.!) — (24.6). Примеры. 1.
Вычислим х «)х ;) (х» — 1)(х — 2) * * Уже известно (см. (23.32)), что х 1 1 2 (х"- — !)(х — 2) 2 (х — !) б (х-1- Ц + 3 (х — 2) ' поэтому хйх (х» — 1) (х — 2) 1~ бх 1' ,— -в-1п' ,х+ 1',+ -~-1п ) х — 2)+ С. 2 х — 1 — !п)х— 1 2 Г х«1-2х«+2х« — ! 2. Вычислим ~ ... «(х. Согласно общему правилу, выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель; получим х«1 2х«1 2««1 х» х (х' + !)' + х (х' + 1)« Для получившейся правильной рациональной дроби уже найдено ее разложение на элементарные дроби (см. формулу (23.33)): х« — 1 1+ 2х + х х(х«+1)' х (х'+!)" х«+1 ' поэтому х» -)-! 2 (х«+1)' 2 Д х'(-1 х» ! 1 = — — 1п ~ х ) — —, + — 1п (х + 1) + С.
Следует иметь в виду, что указанный метод вычисления неопределенного интеграла от рациональной дроби является общим: с помощью его можно вычислить неопределенный интеграл от любой рациональной дроби, если можно получить конкретное разложение знаменателя на множители вида (23.10). Однако естественно, что в отдельных частных случаях бывает целесообразнее для существенного сокращения вычислений действовать иными путями. 4 24.
Интегрирование рациональньи дробей 44б Например, для вычисления интеграла х' йх (1 — хз)з проще яе раскладывать подынтегральную функцию на элементарные дроби, а применить правило интегряровання по частям. Положив хйх 1 и =х, г(о = н следовательно, г(и = г(х, о = (! — хз)г 4 (1 хз)г получим (' д(1 — «з) х ! (' 1 «з)з 4 (! хз)з 4 ) (1 хз)г Прибавляя и вычитая к числителю получившейся подынтегральной функции х', производя деление, получаем два интеграла, из которых первый табличный, а второй легко вычисляется интегрированием по частям: х 1 (' (1 — хз)+хз 4(1 — х)з 4 ) (! — хг х ! 1" йх 1 (' хайх 4(1 — хз)з 4 ) 1-хз 4 3 (1 — хз)з х 1 ~!+х) х ! (' дх 4(1 — х')' 8 ~ 1 — х ~ 8(1 — х') 8 .) 1 — хз х 1 ) 11+«! х 4(1 — хз)з !6 ( 1 — х ) 8(! — хз) 24.3*.МЕТОД ОСТРОГРАДСКОГО В пункте (24.1) было показано, что всякая правильная рацио- нальная дробь.
может быть представлена в виде суммы элемен- тарных дробей. Но из п. 24.! следует, что первообразные элемен- 1 гнх+ Лг / р' тарных дробей — и —, ~ — — г) (0~ являются трансх — а хз-1- рх+д ( 4 цендентными функциями вида А агс(я(аз«+аз)+ В!п((ггх+Ьз)+С (см. (24.1) и (24.3)); первообразная элементарной дроби АДх — а)а, с«=2, 3, является рациональной дробью; первообразная же элементарной дроби (Мх+Л))!(ха+ рх+г))", р =2, 3, ..., в силу формул (24.4), (24.5), (24.6) и формулы 12 п. 22.2 может быть, вообще говоря, представлена в виде суммы правильной рациональной дроби и трансцендентной функции вида А агс(я(аз«+аз)+С, являющейся первообразной от дроби вида,, „(-4 — — г)(0). Поэтому хз+рх-1-д ~ 4 гт' 3*.
Метод Остроградского т'! 7 всякая первообразная любой рациональной дроби представима, вообще говоря, в виде суммы рациональной дроби (алгебраиче- ская часть) и трансцендентной функции, являющейся первообраз- ной от суммы дробей вида Мх+ а' Рт х — а ха+ох+Ч ' 4 Таким образом, если Р (х)Я (х) — правильная рациональная дробь и 9(х)=-(х — а!) ... (х — а,)"т(х'+ртх+!Г!)а! ... (х'+р,х+с),)8 разложение ее знаменателя в виде (23.10), то отсюда, произведя под знаком интеграла сложение дробей, имеем Р (х) ! Р, (х) Г Р, (х) — +3' О(х) Я! (х) 3 Яа(х) (24.8) где Ят(х)=-(х — а) ... (х — а)(ха+Ртх+с)!) ... (х,+Рх+с),).
Из формул (24.2) и (24.6) следует, что многочлен !',!т(х) имеет вид ()! (х) = =(х — а!)"! ' ... (х — а,)от '(тх +ртх+с)!)а ' ... Гтх~+р„х+дг)аг *' М. В. Ос т р от р адски й (!80! — !86!) — русский математик. 14 Ктаатвиее л. д,,т т. е. миогочлен Я! (х) является наибольшим общим делителем многочлена Д(х) и его производной ()'(х) (см. (23.23)).
формула (24.8) называется формулой Остроградского *'. Второе слагаемое правой части формулы (24.8) называется трансцендентной частью интеграла д! — с(х', это естественно, ибо из сказан- Г Р(х) ст (х) кого выше следует, что всякая первообразная дроби Ра(х)д',)а(х) с точностью до постоянного слагаемого представляет собой линейную комбинацию логарифмов и арктангеисов от рациональных функций и, значит, как это можно показать, будет являться, вообще говоря, трансцендентной функцией. Первое же слагаемое, называемое алгебраической частью„может быть найдено чисто алгебраическим путем, если известны многочлены Р(х) и 9(х) (а значит, и (7 (х), т.
е. без интегрирования каких-либо функций. В самом деле, многочлен Я! (х), являясь наибольших! общим делителем многочленов 9(х) и !',!'(х), всегда может быть найден с помощью- алгоритма Евклида (см. п. 23.5*), тем самым для отыскания ав 4 г4. Интегрирование рациональных дробей многочлена Я,(х) не требуется знания корней многочлена !',!(х); однако, если корни многочлена Я(х) известны, а значит, известно и его разложение вида (23.17), то мпогочлен !~,(х) сразу выпи.
сывается по формуле (23.23). Многочлен Яе(х) находится как частное от деления 9(х) на (г,(х). Для отыскания же многочленов Р,(х) и Р,(х) можно применить метод неопределенных коэффициентов. Поясним его. Обозначим степень многочлена Я,(х) через и,, степень многочлена 1,!е(х) — через и:; тогда из равенства () (х) = Я, (хЯе (х) (24.9) Производя дифференцирование, будем иметь Р Р!О,— Р,О1 ! Р, ~К Ф 0ь (24.10) Заметим, что Р!0, — Рф', Р!Ое — Р,Р (24.11) 0г Ь)но ь где )т=9,'!,1,д,1, является многочленом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
