kudryavtsev1a (947413), страница 88
Текст из файла (страница 88)
+ ар (25.17) Ф Ф ° задан. Если существует мпогочлен Рл-т (х) = Ья-тх" + Ья-их" я+...+ Ьр, (25.18) удовлетворяющий условию (25.16), то, дифференцируя это равенство, получим: Р„(х) У ахи ~Ь Ьх+ с т я+ + +Р„) (х)(2ах+Ь) + а 2 Гах'+Ьх+с Уолт+ох+с' или 2(и„х" +ах,хя-'+...+а,х+аи) = = 2 (ах'+ Ьх+ с) 1(л — 1) Ьи,х"-'+... + ЬЬихи-'+... + Ь)1+ + (2ах+ Ь) (Ь„,х"-'+...
+ Ь„х" +... + Ь ) + 2сс, 2Р„(х) = 2Р'„) (х) (ахи+ Ьх+ с) + Ре т (х) (2ах+ Ь) + 2сс. (25.19) Здесь слева стоит многочлен степени и, а справа каждое слагаемое также является многочленом степени не больше и. Замечая, что Р„') (х) = (и — 1) Ья,х"-'+...+ ЬЬьхи-'+...+ Ь„(2520) и подставляя (25.1?), (25.18) и (25,20) в (25.19), имеем равен« ства йзр и 2о. еснтегрировиние некоторых иррациональностей Приравнивая коэффициенты у одинаковых степеней х, получим следующую систему п+1 линейных уравнений с п+1 неизвестными Ь„Ь„..., Ь„м.он 2пе — — 2сЬ»+ ЬЬе+ 2се, 2а,=2ЬЬ,+4сЬ,+2аЬ,+ ЬЬ,, 2а» =2 (Ь вЂ” 1) аЬ», + 2АЬЬ»+ 2 (1+1) сЬ»ь,+2аЬ»,+ ЬЬ» (25.21) 2а„»=2(п — 2) пЬ„»+2(п — 1) ЬЬн,+2аЬв»+ ЬЬ 2а„=2(п — 1) аЬ„,+2аЬе и Из последнего уравнения сразу находится Ь„;1 а„ Ь,,=— ни Подставляя это выражение в предпоследнее уравнение и замечая, что в этом уравнении коэффициент у неизвестного Ь„, равен 2а(п — 1)ФО найдем значение Ь„,.
Подставляя далее значения Ь„, и Ь„» в предыдущее уравнение, найдем значение Ь„„и т. д. Последовательно получим все значения неизвестных Ь» (А=О, 1 ..., п — 1). После этого из первого уравнения сразу находится неизвестное сь. Таким образом, система (25.2!) имеет решение при любых значениях и„ а„ ..., а„, поэтому определитель этой системы не равен нулю и указанное решение единственно. На практике многочлен Р„, (х) в формуле (26.16) пишут с неопределенными коэффициентами, которые находят, репшя систему (25.21).
После этого вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла г1х )' ах'+Ьх+е который в случае, когда подкоренное выражение положительно на некотором промежутке, легко сводится к табличному (см. п. 22.3). Интегралы вида гГх (х — Х)» Уаке+Ьк+а подстановкой 1 к — Х сводятся к интегралам рассмотренного типа (25.16). 2б!. Интегралы вида /)1(в(п х, сов х)дх 434 2 26. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ 26Л. ИНТВГРАЛЫ ВИДА ) )т (Мпх, совх)йх Подстановка х и =(а —, — п(х сводит указанный в заглавии интеграл к интегралу от рацио- нальной дроби. Действительно, имеем х х 2 г!и — савв 2 2 э)пх— соУ .
+ в)я~в 2!и†+1 1+ 2 сови-- х 2 сов х = совг— х 2 х — Б!п' -— 2 1 — гн (26.1) х !+и' ' мп х=2агс(яи, Йх= — „ 2ди поэтому Р (э! п х, сов х) с(х = 2 ~ Р 1 — ",, 11+ иго 1+ив) !+и' Таким образом, получился интеграл от рациональной функции. Вычислим указанным методом интеграл ~ †.†. Используя дх 1+в!и х' формулы (26.1), получим: дх Г ди 2 2 =2 ~ — = — — +С=— 1+Мпх д (1+и)" 1+и х +С. +~ 2 и = з(п х, и =- соз х, и = (я х, (26.2) иногда значительно быстрее позволяют вычислить нужный интеграл. Примеры.
1. Рассмотрим интеграл ~ —. Представим его с'х сог4 х ' 1 дх Г 1 де в виде в1 —, = ~ —,—,. СРазУ видно, что в этом слУчае Следует, однако, иметь в виду, что, хотя с принципиальной точки зрения рассматриваемые интегралы всегда можно привести к интегралу от рациональной дроби указанным методом, при практическом его применении он часто приводит к громоздким вычислениям; вместе с тем другие методы, в частности подстановки вида 422 Э 2б. Интегрирование некоторых трансцендентных функций очень удобна подстановка и = (дх: — = ~ (1+!йвх)1(!их= ~ (1+и') с(и = =и+ а+С=(их+ з +С.
2, Представляя интеграл ! ., х в виде ,.! Мпв х сов х ,) ИПВХ СОБХ 51П Х йх убеждаемся в целесообразности подстановки и = = соз х. Действительно, =-~ —.-- =- 3 —.": — -. = йх (' й сов х !' йи ! Г Нив яп'хсовх 3 в!пах сове,) (! — ив)ви 2 д (! — ив)вив ! (' йо "! ! (' (! — О)+О 1 +- !и)! — о! — - — +С=)п)!дх! — ., +С. б Конечно, интегралы, рассмотренные в примерах ! и 2, могут ыть вычислены и с помощью подстановки (26.1), например, йх ! Г ((+ив)вйи 5!Пвхсовх 4,) ив(! — ив) ' однако, при таком способе пришлось бы интегрировать более сложную рациональную дробь, чем в результате применения подстановки и=созх.
3. Иногда при вычислении интегралов, подынтегральное выра- жение которых содержит 5(пх и созх, бывает полезно прибегать и к другим искусственным приемам, используя известные триго- нометрические формулы, как, например, формулу 51пв х+ соьв к —— = 1. Покажем на рассмотренном только что примере способ при- менения этой формулы: 1 '' йх ( Б1п х+сО55 х ! Г !(х Г сов х !(х 5!П Х СОБ Х ) 5!П Х СОБ Х ) 51П Х СОБ Х ~ 51ПБ Х !)(ух (' йнпх Г йи Г дет' =1 — я.+~."=~-.- ~ —:*= ! ! =1п)и! — --,-+С=!и!!нх, '— .
+С. 2от ' " ' 2мпвх Как и следовало ожидать, получился тот же результат, что и вын.е. *' здесь сделана подстановка О=ив. 2б.2. Интегралы вида ) слп'" х сов" хдх 26.2. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА ) »1пых со»ахах Пусть и и и — рациональные числа. Интеграл ) зш'"хсоэ" х!(х с помощью подстановок и=э!их или и =созх сводится к интегралу от дифференциального бинома. Действительно, полагая, например, и =яп х, получим соз х = (1 — и»)11», с(и = соз х г!х, с!х = (1 — и')-"' с(и, и потому л — 1 ) з!и'"хсозлх!(х=') и'"(! — и») ' с(и.
Таким образом, интеграл ~яп хсоз хс(х выражается или нет через элементарные функции в зависимости от того, обладает этим свойством или нет получающийся интеграл от дифференциального бинома. В случае когда т и п целые (не обязательно положительные) числа, интеграл г)йп хсоз хс(х относится к типу интегралов, рассмотренных в предыдущем пункте, в частности, для их вычисления целесообразно применять подстановки (26.2). Например, если т =2л+ 1 (соответственно и =22 + 1) — нечетное число, то можно сделать подстановку и = созх (соответственно и=япх): ~ яп'» 'хсоз" хс(х= — ~ (1 — соз»х)»созвхс(созх = и»)» ив с!и Расс»!атриваемый интеграл сведен к интегралу от рациональной дроби.
Аналогичный результат можно получить н для интеграла йп" хсоз'»" хс(х с помощью подстановки и =йп х. Если т=2й+1, и=-2!+ Г, то бывает полезной подстановка )=соз2х: ~ 51П»»т»х СОЗ 1+ ХС!Х = — ~ 3!П ХС0$ Х Б!ПХ СОЗ ХС!Х = ~,'1 — сов 2х)» (1+сов 2х)1( 1 = — 2» т,! ~(! — !)»(!+1)'"! т, е.
снова получился интеграл от рациональной дроби, Если оба показателя и! н п положительны и четны (или один из ник ноль), то целесообразно применять формулы 1 — сто 2х» 1+ ссо 2х 81п'х= 2, соз х= 454 4 25. Интегрированне некоторых трансцендентных функция которые, очсвидно, приводят рассматриваемый интеграл и интегралам того же типа, но с меньшими, также неотрицательными показателями. Например, 4 26.3. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА ) Мпох соархс|х Указанные в заглавии пункта интегралы непосредственно вычисляются, если в них подынтегральные функции преобразо- вать согласно формулам 5|пах соя !)х = — (я!и (а+ ()) х+ я!и (а — !3) х), 1 5|и ах 5|и рх = 2-(соя (са — р) х — соя (а+ Р) х1, ! соя ах соя Рх = — [соя (а+ (1) х+ соя (са — !1) х).
1 Например, 1 |' я!п2хсояхс(х = — - ~ (5!иЗх+я!их)с(х= 1 1 = — -- с05 Зх — — соях+С. 6 2 26.4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ, ВЫЧИСЛЯЮЩИЕСЯ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ К числу интегралов, указанных в заглавии этого пункта, относятся, например, интегралы ~Е"хСО5()ХС(Х, ~Ееая!П()ХС(Х, ~Х" СОяаХС!Х ~Х" 5|паХС(Х, ~Х"Е хс(Х, ) х» агсяп х с(х, ~ х" агссоя х с(х, ~ х" агс(я х с(х, ~ х" агсс1д х с)х, ~ х" 1п х с(х (и — пелое неотрицательное).
Все эти интегралы вычисляются с помощью, вообще говоря, повторного интегрирования по частям. Действительно, имеем: 1 = ~ Е"х СОЯ РХС(Х = ~ Е"'С( — = — --~ Е"хЯ!И РХС(Х= ах а!и рх сох Ми рх а -61 ео а!п рх аваксов!1х и- Г р + нна рг ) — —. ~ е соя рхс(х = ео» (11 а!и 6х-1- а соа 6х) аа ра — — 1 Ва 2б.т. Интегралы от трансцендентных функций откуда г' !Р к1п Вх + а ток йх) 1 С (2" 3) а +6л Аналогично вычисляется и интеграл )е' ып !)хг(х, В интегралах )хлсозахг(х, )хныпахг(х, ')х"е"хг(х, положив и=хн и соответственно г(о=созахг(х, г(п=-э!пахйх, йо=е" г(х, после интегрирования по частям снова придем к интегралу одного из указанных видов, но уже с меньшим на единицу показателем степени. Применяя этот прием и раз, придем к интегралу рас- сматриваемого типа с и =О, который, очевидно, сразу берется.
Например, ') х' з !п х г(х = ) х'г( ( — сов х) = — х' соз х+ о ') х сов х г(х = = — х' соз х + 2 ~ хг( з ! и х = — х' соз х+ 2х ып х— — 2 ~ з 1п х г(х = — х' с об х+ 2х э(п х+ 2 соз х -(- С, Используя интегралы, рассмотренные выше, можно вычислять и более сложные интегралы. Вычислим, например, интеграл ~ х"е'*" сок !)х г(х.
Интегрируя по частям н применяя (26.3), имеем: ат ! рт Хлгих ° ° ' ' ) Хн-гстх З1П !)Х г(Х В Мп Вх+а сог Вх . нВ ат Вз ак ! Вг — ! Х"-'Е"л СОВ ))Х г!Х. ат+ йк д Полученные в правой части интегралы — того же типа, что и исходный, только степень у х на единицу меньше. Применяя последовательно указанный ирисы, мы придем к интегралам вида ~ сох Б!и рх пх и ~ еох соя !)х г(х, которые бгйли рассмотрены выше. Наконец, интегралы ~х" агсз!пхг!х, )хл агссоэох, )хлагс1яхг(х, ~ х" агсс1я х ох и ~ х" 1п х г1х сводятся интегрированием по частям к интегралу от алгебраической функции, если в них положить г(о=х" г(х, а за функцию и взять оставшуюся трансцендентную функцию, т. е. одну из функций: агсыпх, агссозх„агс1ях, агсс1ях, 1пх.
Например, х' х' 1и х 1 Г х' 1и х х' х1пхг(х= 1пхг( — = — — — хЫх = — — --+С. 2 2 2 д нее э аб. )тнтеерирование некоторых тронецендентнык функций 265. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА ) Л(тах, онх)йх Подстановка и= (Ь сводит интеграл ~)г(з(тх, с)1х)дх к интегралу от рациональной дроби. Действительно, при указанной замене переменной имеем — тг т(х 1 ее 2и 1+ ие 2йи поэтому ~)с(з)1х, с)тх)дх=2 ~)с( ",, +"„) В конкретных примерах иногда оказывается значительно удобнее использовать подстановки вида и=з)тх, и =сЬх нли и =В1х, позволяющие вычислить интеграл существенно проще (ср. и. 26.1). Интегралы вида ~ З)1"'ХСЬнХЙХ, где т и н — рациональные числа, с помощью подстановок о = Й х (и=с)1х) приводятся к интегралу от дифференциального бинома (ср.
п. 26.2). 26.6. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИНТЕГРАЛАХ, НЕ ВЫРАЖАЮЩИХСЯ ЧЕРЕЗ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ Мы рассмотрели различные классы элементарных функций и нашли их первообразные, которые также являются элементарными функциями. Однако не всякая элементарная функция имеет в качестве своей первообразной элементарную же функцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
