kudryavtsev1a (947413), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Очевидно, что последовательность [э)ч!) и удовлетворяет условию (27.2). 2ХД Ограниченность интегрируемой функции В нашем случае, т. е. в случае неограниченности функции 7, для любого разбиения т (в том числе и такого, что бт~б„если существовало бы указанное 6,) при любом фиксированном е- 0 можно так выбрать точки $!, что будет выполняться неравенство ! сс, ! ~ ( А (+ е. Полученное противоречие доказывает теорему, Д Условие ограниченности функции 7' будучи необходимым для ее интегрируемости, не является вместе с тем достаточным. При- мером, доказывающим зто утверждение, может служить так на- зываемая функс1ил Дирихле (см. п. 4.2) ~ 1, если х рационально, 1(х) =( ! О, если х иррационально.
Рассмотрим ее на отрезке [О, 11. Она, очевидно, ограни- чена на нем. Покажем, что она не интегрируема. Зафиксируем произвольное разбиение т=(х;)и.'"ь отрезка [О, 11. Если выбрать точки с! ~[х, „х!1, !=1„2, ..., А рациональными, то получим от= ~'[($!) Ах! = ~ч , 'Ах!=1, с=! с=! а если взять $! иррациональными, то о,= ~1($!) Ах! =О. с= 1 Так как это верно для любого разбиения т, то интегральные суммы о, заведомо не стремятся ни к какому пределу при бт-эО. 27.3. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ СУММЫ ДАРБУ. ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ИНТЕГРАЛЫ ДАРБУ Пусть функция 1(х) определена на отрезке [а, о), т = (х!)с:!— некоторое его разбиение и Ах! =х! — хг,, ! =1, 2, ..., !г. Положим (рис. 103) М;= зпр 7'(х), т;== !п1 7(х), с=-!, 2, ..., й, «е«е.
!-1 ! от=от 9= ~~ Я!Ах„ (27.3) с=-! з, = вч (1) = ~ т; Ахп (27.4) с= ! Очевидно, в,= 5,. Сумма оч называется верхней, а в,— нижней суммой )(арбу. и" к7. Определенный интеграл Свойства сумм Дарбу 1'. Если функция 1' ограничена, то при любом рогюиении суммы Я, и з, определены. В самом деле, в этом случае М; и т„(=1, 2, ..., й конечны, и поэтому выражения (27.3) и (27.4) имеют смысл. 2'.
Если т'э-т, то о, ~5, Фй зк зк" Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть т= (т,),'=, и т' =(х,'Д=='а — два разбиения отрезка (а, о1, таких, что т-4т' и., е а х, Ех; е т;= )п( )(х), ю'=1,2,...,й, и . 4ОЗ к г 1 ~ к ~ к ю т,'=- 1п( 1".(х), 7= 1, 2...,, а'. лег к 1 (к(кг Если (х'г'ь хДс:(хг,, хД, то, очевидно, нц ~ т~. (27,5) Раг. 404 (нижняя грань при уменьшении множества может только увеличиться). В силу условия т-4т' каждый отрезок [хг „х;] разбиения т является объединением каких-то отрезков разбиения т', будем обозначать эти отрезки через ~х<~ и, х';,~.
Таким образом, если Лх =х.— х. и Лхс =х~, — х(; и., г г-1 б г 1' то (рис. 104) Лх; = ~ч „'Лх,'с. Используя эти обозначения и неравенство (27.5), получим: к а зк = У тгЛх; = ~ т; ~ Лх), = 'У', 'У', т; Лх~, ~ г=н у,. а а ( ~, '~~т,' Лх'; = 'У',т,'Лх,'=э, г=1 Мы доказали, что э, = э, . Аналогично доказывается, что Як-=ко; при т -4т', П 27.3. Верхние и нижние суммы Дарби Следствие. Для любых двух разбиений т, сс т, отрезка ~а, Ь1 выполняется неравенство э,, =-5пи (2?.6) т: е. любая нижняя сумма Дарбу меньше любой верхней.
Действительно, если даны два разбиения тс и т, отрезка '1а, Ь), то существует разбиение т этого отрезка, такое, что ть;-т, и т ~ т, (см. п. 2?.1). Применяя свойство 2', получим з,с~э,. =5,~5,, ( ) Очевидно, что суммы Римана и Дарбу связаны неравенствами эл =- ае — 5х. Х-(*: -Хн и . — Хи '=1, 2, ..., Л), с=-1 как легко видеть, справедливы равенства (почему?) л л зир Х = '5', а; зпр Хь 1п1 Х = ~Ч ', ас 1п1 Хс. с=с с=-с В силу этого имеем: л л э, = ~ т; Лхс = ~Ч„1п1 с лс Сс лс ( 7(Ц Лхс — — сп1 ~ 7 ($с) Лхс = лс <Сс(лс с сп1 о,ф $„..., йл). л с 1 ( с ж е Лн алогично, л л 5,= ~к~ МсЛхс= ~к~~ зир )("=с) Лхс= с=с с=с * 1а.к . з~Р ~и?(м)Лхс= энр а,()' 5о ..., 5~).
( ) Следующее свойство является уточнением этого утверждения. 3'. Если о, = о(сс й„..., $л) — какая-либо интегральн я сумма Ри сана, сооосветстеусосссая донному разбиению т, то з,= 1п1 а„5,= знр о,, ли" л лс" Ел Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть т = (х;)сс=лл — разбиение отрезка ~а, Ь~ и $с ~~хс „хс), с=1, 2,, А. Если заданы какие-либо числовые множества Хь с = 1, 2, ..., й и постоянные а; >О, с =1, 2, ..., А, то для множества я 77. Определенный интеграл 4'.
5,— я,=~~пи(1)лхо где оог()) — колебание функ!(ии 7' на отрезке (х! „хг) (см. п. 19.8), ! =1, 2, ..., й. Доказательство. Отметим сначала, что если для двух данных числовых множеств Х и )г положить л=(г: г=х — у, х ~ Х, уен )г), то япр л =япр Х вЂ” )п1 т' (почему?). Используя это, получим М, — т! = япр 1(х) — 1п1 1(х) = япр 1) (х")— л <л<и,. ! ! ~ е ~ е ! л.
жы(е. — )' (х')] = ы! (1), ! = 1, 2, ..., 1г, позтому 5,— я,= ')~(М; — т,) г=! Положим теперь 1 =апре„ Лхг=Х гогу)Лхи П 1* = — 1п1 5т. 1н называется нижним инте~ралом Дарбу функции 1 на отрезке (а, 61, а 1и — ее верхним интегралом. Из свойств 1' и 2' сумм Дарбу следует, что если функция 1 ограничена, то как ее нижний интеграл Дарбу, так и верхний конечны. В силу следствия из свойства 2' будем иметь также (27.7) 277К НКОБХОДИИЫК И ДОСТАТОчпыЕ УСЛОВИЯ ИНТЕГРИРУКИОСТИ Теорема 2.
Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функг1ил была интегрируемой на нем, необходимо и достаточно, чтобы 11!и (5, — я,) = О. (27.8) о,-о 15,— я,((е. Поскольку я,(5„то (27,9) равносильно неравенству 5,— я,(е. (27 9) Условие (27.8) означает (см. определение 3 в п. 27.1), что для всякого е)0 существует такое 6=6(е)) О, что для любого разбиения т мелкости 6, 6 выполняется неравенство 27.4.
Необходимые и достатонныв условия интегрирусмости 447 Доказательство необходимости. Пусть ограниченная на отрезке !а, Ь! функция ! интегрируема на нем и пусть ь 1= ~!(х) с(х; тогда 1ппа,=1. Поэтому для любого е»О существует такое 6=6(г)) О, что если 6,(6, то (а,— 1~~а, или 1 — в~ос(1+е. Отсюда при 6,~6, согласно свойству 3' сумм Дарбу (см.
п. 27.3), получаем неравенство 1 — г =-. з, =-.: 5, ( 1+ е. Таким образом, если 6,(6, то 0=-5, — з,( 2е, а это и означает выполнение условия (27.8). Доказательство достаточности. Пусть функция ограничена и выполняется условие (27.8). Из определения нижнего и верхнего интегралов Дарбу и из неравенства (27.7) имеем (27.!0) поэтому 0~1* — 1 -"5,— з„ откуда в силу (27.8) следует, что !' — 1, =О.
Обозначая общее значение верхнего и нижнего интегралов Дарбу через 1, т. е. полагая 1=1„=1*, из (27.10) получим зт - ! '-5хл и поэтому 0~1 — з,(5,— з„0==5,— ! ~5,— з,. Отсюда в силу (27.8) вытекает, что 1пп (1 — з,) = 1!гп (5, — !) = О, а значит 1!т г,=!!гп5,=1.
ь,в ь,о Но в силу свойства 3' интегральных сумм Дарбу (см. п. 27.3) (27.12) Из (27.11) и (27.12) следует (ср. аналогичные утверждения в п. 3.3 и 4.7), что 1!гп а,=1, ь;о а это и означает интегрируемость функции !. [ ] Следствие 1. Если функция 1 интегрируема„то не только ее интегральные суммьс Римана, но и ее суммы Дарбу стремятся к ее интегралу при стремлении мелкости разбиения к нулю.
э" 27. Олределенный интеграл 448 Действительно, если функция ) интегрируема, то выполняется условие (27.8), а из него, как мы видели, и следует утверждение следствия, т. е. равенство (27.11). [ ] Следствие 2. Для того чтобы ограниченная на некотором отрезке функция )' была инт грируемой на этолс оптрезке, необходимо и достаточно, чтобы !!пт ~', оч(1) Лх;=О, о,-о, где тоеЯ вЂ” колебание функции у на отрезке [хе и хг] разбиения т = (х;) ==о отрезка [а, Ь]. Это следует непосредственно из свойства 4' сумм Дарбу (см.
п. 27.3). [] Задача !В. Доказать, что, для того чтобы функция была интегрируемой на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной на нем и чтобы ее нижний и верхний интегралы Дарбу совоадали; ири этом общее значение этих интегралов и является ее интегралом. 27.5. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ НЕНРЕРЫВНЫХ И МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ Теорема 3. Функция, определенная и непрерыеная на некотором отрезке, интегрируема на нем. Доказательство. Пусть функция ) непрерывна на отрезке [а, Ь]; тогда, как известно, опа ограничена (см. теорему 1 в п.
6.1) и равномерно непрерывна (см. теорему 5 в п. 19.6) иа.этом отрезке. Зафиксируем произвольно в~О. В силу равномерной непрерывности существует такое й- О, что для любых точек вен[а, Ь] и т) ен[а, Ь], удовлетворяющих условию !т) — 3! 6, выполняется неравенство !~(ц) -ЫН (27, 13) Возьмем какое-либо разбиение т = (х „' ] мелкости 6, ( б. Пусть, как всегда, Лх,=х; — х, „т;=- 1п1 !(х), М;= знр у(х), , ке1 !ее лд с=1, 2, ..., й. Поскольку непрерывная на отрезке функйия достигает своей нижней и верхней грани на этом отрезке, то существуют такие точки й; ен [х; „х,] и тн ен [х;,, хг], что 1 (йг) =- ть ) (тн) = Мь Точки $г и ие принадлежат одному и тому же отрезку разбиения т, поэтому !це — 3,!=..Лх,=.й,~б, Отсюда, в силу (27.13), вытекает неравенство 1'(ти) — 1(й) =-!1(тн) — У'(й;) ~(,— ',, =1, 2, ..., й.
27.5 Интегрируемосгь непрерывны» и монотонных функций 449 Следовательно, для любого разбиения т мелкости 6, б выполняется условие а= 1 Это означает, что 11т (Я,— э,) =О. Поэтому, согласно теореме 2, а,-а функция р. интегрируема на отрезке [а, Ь]. [ ) Теорема 4. Функция, определенная и люнотонная на отрезке [а, Ь], интеерируеми на этом отрезке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция 7'(х) монотонна на отрезке [а, Ь], например, монотонно возрастает на нем.
Тогда 7(а).=1(х) =7(Ь), а=.х=.Ь. Таким образом, функция р ограничена на отрезке [а, Ь]. Далее, для любого разбиения т= [х,]';::а отрезка [а, Ь], очевидно, имеем т;=[(х! !), М,=)(х!), !=1, 2, ..., А, поэтому Ят()) — э,(7) = ~', (М; — т!) Ах!= [7' (х;) — 4 (х! ,)] Лх; =- 6, р', [4 (х;) — [ (х; ,)] = [7'(Ь) — 1' (и)] 6 . г=! г=! ибо в сумме ~ч"„[[(х!) — 1(х! !)] взаимно уничтожаются все слаг= ! гаемые, кроме ) (Ь) и ) (а). Из полученного неравенства следует, что 1'пп [5,(1)-эт(7)]=0. а -о Поэтому (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
