kudryavtsev1a (947413), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Действительно, если з— корень многочлена !~, кратности )ь, то, как мы знаем (см. п, 23А), г является корнем кратности ). — 1 для производной Я; и однократным корнем многочлена 9е, поэтому в этом случае г является и корнем кратности ). для многочлена ДДе. Отсюда, согласно формуле (23.7), сразу следует, что многочлен !~Де нацело делится на многочлен 9ь т. е. что Р также является многочленом. Итак, нз (24.9), (24.10) и (24.11) имеем откуда Р = РЯе — РЯ+ РЯР (24.12) Многочлен Р имеет степень не выше, чем и — 1 (ибо дробь РЯ вЂ” правильная).
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях (г, й=0, 1, ..., и — 1, переменного к в обеих частях получим п =- п, + н,. В силу того что дроби Р, (х)Я> (х) и Ре(х)Яе(х) правильрые, степени миогочленов Р,(х) и Р,(х) соответственно не выше„чем и,— 1 и и, — 1 и, значит, в этих много- членах число отличных от нуля коэффициентов соответственно не превышает н, и пе; таким образом, число неизвестных коэффициентов равно и,+не=и.
Дифференцируя первообразные, входяьцие в обе части формулы (24.8), получим (опуская для краткости обозначение аргумента) соотношение 24.8*, Метод Остроградского равенства (24.12), получим п линейных уравнений относительно и неизвестных. Выше было доказано (см. (24.8)), что многочлены Р, и Р, всегда (в частности, при некотором фиксированном много- члене Д и при любом многочлене Р степени, не превышающей и — 1) существуют; поэтому полученная система линейных уравнений имеет решение при любой правой части *1. Отсюда следует, что определитель этой системы не равен нулю, а значит, про рассматриваемую систему можно сказать, что она не только имеет решение, но' и что оно единственно. Тем самым не только получен метод для определения неизвестных коэффициентов в формуле (24.8), ио и доказана единственность этого представления.
Формула (24.8) сводит, вообще говоря, задачу иптегрирования любой правильной рациональной дроби к задаче интегрирования правильной рациональной дроби, у которой знаменатель Я(х) имеет только простые корни. С помощью этой формулы при интегрировании правильной рациональной дроби можно найти указанным выше путем алгебраическую часть интеграла ~ — г(х, Г Р(х) г !) (х) а затем проинтегрировать более простую рациональную дробь Р,(х)Яз(х), если, конечно, случайно не окажется, что Р,(х)— тождественный ноль: в этом случае задача будет уже решена.
Описанный здесь метод интегрирования рациональных дробей носит название мелчоди Остроградского. При использовании метода Остроградского для интегрирования рациональных дробей часто оказывается целесообразней записывать формулу Остроградского (24.8) в виде (24.7), так как в этом случае после нахождения неизвестных коэффициентов в подынтегральной функции ее сразу можно проинтегрировать. Неизвестные коэффициенты в формуле (24.7) находятся тем же методом, который был описан для формулы (24.8): следует продифференцировать обе части равенства (24.7), привести к общему знаменателю все рациональные дроби, получившиеся в обеих частях равенства, приравнять коэффициенты у одинаковых степеней переменной х в многочленах, стоящих в числителях, и решить получившуюся систему линейных уравнений. Пример. Применим метод Остроградского для вычисления интеграла ~ '...
дх. Согласно форыуле (24.8), х4+ 2х' — 2х'+х Кха+ 1 ха+ Мх+ М (' йхз+ !х+ аз (1 — х)' (! + х')а дх (1 — х)з (! + х') д (1 — х) (1 + з') + дт ' с(х, поэтому х' -1-2х' — 2х'-1-х Кха+ ьхе+ Мх-'- й! н йхз+ !х+ т (1 — х)' (хз+ 1)е ~ (1 — х)' (!+хе) (1 — х) (1+ х') ь' Как обычно, предполагается, что все члены уравнений, содержащие неизвестные, и только они перенесены в левую часть равенства, 14' 420 4 2х. Интеграрованре рт!иохрльнмх дробей Произведя дифференцирование, получим хг -1- 2х' — 2хг+ х (1 — х)з (1+ хг)г (3Кх'+ 2(х-[ М) (1 — х) (хх+ !) — (Кх'+Ех'+Мх-[- !У) М + Х [ — 2 (1+хг)-1-(1 — х) 2х) (1 — х)г (1 + хг,г йх'-(- 1х -1- хг (1 — х) (1+ х') Отсюда имеем; х'-[- 2х' — 2х'+ х =- (ЗКх'+ 2Ех+ М) ( — х'+ х' — х+ 1)— — (Кхх+ (.х'+ Мх+ Лг) ( — 4х'+2х — 2)+ [ (!гхх [ 1х+т) (хг 2хз [ 2хх [ [) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим М+ 2Лг+т= О, — М + 21, + 2М вЂ” 2)у — 2т+1= 1, ЗК вЂ” 21.
+ М + 21 — 2М + 4 Ж + й — 21+ 2т = — 2, — М + 21. — ЗК+ 2К вЂ” 2Г, + 4М вЂ” 2К + 21 — 2>п ='- 2, ЗК вЂ” 2Л вЂ” 2К+ 4 1. + 2)г — 21+ т = 1, — ЗК+ 4К вЂ” 2)г+ 1 =- О, я=О, или М + 21() + т = О, 2Ь+М вЂ” 2У+1 — 2т= [, ЗК вЂ” М+ 4!У+ )г — 21+ 2т = — 2„ — К+ ЗМ вЂ” 2)г + 21 — 2т =- 2, К+ 21 + 21г 21+ т К вЂ” 2)г+1=-0, )г= О. Решая эту систему уравнений, находим: 1 1. )г =О, 1= — --, т =- 2' 2 поэтому г(х = .—,—; — + х'-1-2х' — 2хг+х 1 хг — хг+Зх — 2 (1 — х)х (хг+ 1)г 2 (1 — х)г (1+х') 1 Р— х+1 1 хз — х'+ах — 2 1 + . ~ „, г(х= —,, + — агс(их+С. 25.5 Предеирительиые зиме»ения 42! в 25.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ 2ВЛ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ Функции вида (и„..., и„) ц Р (и„..., ил) 0 (и» °" ил) (25.1) где Р и (1 — многочлены от переменных и„..., ил, т. е. функции вида а»,... »и'" ° и" »»+ ' " +»л < 4 называются рациональными функцилми от ии ..., и,. Если в формуле (25.!) переменные ио ..., ил в свою очередь являются функциями переменной х: и;=ф1(х), (=1, 2, ..., и, тэ функция )с(ф,(х), ..., ф„(х)1 пазы:ается рациональнол функцией от функций ф,(х), ..., фл(х).
11апример, функция х+й (х~ — 1)е Ух-У хе+1 является рациональной функцией от х и радикалов 32 х, у' х' — 1, и Ух'+1: 1(х) =й(х, )/'х, у'х' — 1, ~/хе-)-1); и, + и1 — л,-— здесь ет'(ио и„ие ие)= ' ", и,=-х, и,=3~'х, их=у х' — 1, и,— ие и, == 3~ох» -(- 1. Если в формуле (25.1) переменные и,, ..., ил являются элементарными тригонометрическими функциями, то получающаяся сложная функция называется рациональной относительно элементарных тригонометрических функций.
Примером такой функции является следующая: =- )с(1(ох, сов х). Перейдем теперь к интегралам от функций рассмотренных типов и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций. 422 З 26. Интегрирование некоторых иррациональностей 2З.2. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА ) й(х,( ) > ..., ~ — ) в1 ггх. Рассмотрим интегралы, указанные в заглавии пункта, при !а 61 условии, что постоянные т„ ..., т, рзциональны, и ~ ~ Ф О (а> ~с а~ Ь, с, с( — постоянные).
Последнее предположение естественно, так 1а Ь как если ~ а, ~ =О, то коэффициенты а, Ь были бы пропорциональ- ах+ Ь ны коэффициентам с, д и поэтому отношение — не зависело ох+ г1 бы от х. Подынтегрзльная функция в этом случае была бы обыкновенной рациональной дробью от одного переменного, вопрос об интегрировании которой был рассмотрен выше. Пусть т — общий знаменатель чисел г,, ..., т.а г; =-', йч — целое, 1= 1, 2,, з. Положим (ы— ах+ Ь ох+И' (25.2) откуда а — сгн гны — Ь (25.3) р(1) является рациональной функцией, поэтому р'(1) также рацио- нальная функция; далее, дх=р' (1) г(г, ( — ~е="= — ) ' = 1еит= 1рг, г'=1, 2, ..., з. ах+6~~с -+И) ="= (25.4) (25.5) ~И~к, ( ~„),, ( — „) ']с(х (25.6) сводится к интегрированию рациональных дробей. Конечно, для того чтобы найти выражение для исходного интеграла, надо после вычисления интеграла ))с*(1)Ж, сделав Подставляя (25.3), (25.4) и (25.5) в подынтегральное выражение рассматриваемого интеграла, получим Ы'(: — "У' (" )"1"= = ~ й ~" — '„', ~еь ..., ~вг) р' (() (1 = ~ йв (1) б(, тга"' — Ь где )г*(1) =те ~:, 1р, ..., (рг~ р'(1), очевидно, является рацио- ~а — срн ' нальной функцией переменного 1.
Таким образом, вычисление интеграла 2о.2. Интегрирование некоторых иррациональностей 423 обратную замену переменного ! =((ах+ Ь)!(сх+ с!))'т'", вернуться к первоначальной переменной х. В дальнейшем в аналогичных ситуациях мы не будем каждый раз оговаривать необходимость обратного перехода к исходной переменной х. Отметим, что, в частности, к рассмотренному типу интегралов относятся интегралы вида ~ Я !х, (ах+ Ь)",..., (ах+ 5)тг) с(х, в частности ))т'(х, х', ..., х'г) Йх.
Пример. Вычислим интеграл ~ „, . Полагая, согласно йх !г х+ ~тех общему правилу, х=!е, с(х=б!ьс(1, получим =6 ~ —,",й!.=6~~ (1* — !+ !) б! — ~ —,"',~= Ггь !е =6 — — — + ! — !п)!+1 ф-С= =2)/х — 3!Ух+6~Ух — 6!п(~/х+1)+С. К интегралам вида (25.6) сводятся иногда с помощью элементарных преобразований и интегралы других типов, например, типа ~ !/(х — а) (х — Ь) с(х. Покажем метод вычисления подобных интегралов на примере интеграла ~ )/ (х — 1) (х — 2) ь!х. (25/7) Вынося в подынтегральной функции множитель (х — 1) за знак радикала, получим интеграл вида (25.6): именно при х= 2 ~ 3/(х — 1)(х — 2)г(х = ~ (х — 1) 1/ — с!х, а при х<1 ~ )/(х — 1) (х — 2) бх = ~ (1 — х) )//: с!х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
