kudryavtsev1a (947413), страница 87
Текст из файла (страница 87)
При 1 ~х(2 подынтегральпое выражение чисто мнимое. Рассмотрим, например, случай х =--2. Положим здесь (см. (25.2)) е х — 2 ! = —, тогда .х — 1' 2 — тг 2гЖ ь тг (! Прь поэтому ~ )/(х — 1) (х — 2) ь!х=- ~ ( —,— 1~ —,,=2 ~ —,, — получился интеграл от рациональной дроби, который был вычислен раньше (см.
п. 24.2). 42(г й 25. Интегрирование некоторых иррациональностей йад. ИНТЕГРАЛЫ ВИДА ) 77(х, Уах'+ Ьх+с) дх, ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА Указанные интегралы могут быть сведены с помощью замены переменного к рациональным функциям. Рассмотрим три замены переменного, носящие название ггодстаноеок Эйлера *', Итак, пусть дан интеграл ~гс(х, )г'аха+Ьх+с)г(х, аФО. (25.8) Первый случай: а)0. Сделаем замену х на г' следующим обрззом: ф' ахи+ Ьх+ с = + х )гта + ( (25.9) (зпаки можно брать в любой комбинации). Возведем обе части написанного равенства в квадрат: ах'+ Ьх+ с = ах' + 2 )гта хг+ га, отсюда И вЂ” с х= —.=)сг(7), ьхйг)( а Аг(() — рациональная функция от 7, значит )с;(1) — также рациональная функция.
Далее, де=а;(()г(г, Ь'а а+Ьх+с=+.Йг(1)ага(-г=йа(1), где, очевидно, гсг (1) — рациональная функция. Окончательно, ~ гс ггх( 'р'аха+ Ь.г+ с) г(х = =~Я(йг(1), Ка(7)) Рг'(Г) ((=~Яь (7) с(7, где )т*(1) =)с'()сг(1), Ага(1)))х(;(Е) — рациональная дробь. Д Второй случай: корни трехчлена ах'+Ьх+с действительные. Пусть х, и х, действительны и являются корнями трехчлена ах'+Ьх+с. Если х,=-ха, то Отсюда следует, что в этом случае либо под корнем стоит отрицательная при всех значениях хатха величина, т.
е. корень принимает только чисто мнимые выражения, — этот случай имеет место при а(0 и мы его не рассматриваем, либо при атвО после указанного элементарного преобразования получаем, что переменное х не входит под знак корня, т. е. под интегралом *( Л. Эйлер (1707-1783) — швейцарский математик. 25.5. Подстановки Эйвера 425 стоит просто рациональная функция от х, вообще говоря, разная для каждого из промежутков ( — оо, х,) и (х„+ск)). Рассмотрим теперь случай, когда х, Ф х,. Замечая, что ах'+ Ьх+с= а(х — х,) (х — хх), и вынося х — х, из-под знака корня, получаем, что в(, )ь ~ ее ь ) =в (*, ) — *,) )ь"'* *ь)- х — х.)' здесь )льв(и, о) — рациональная функция переменных и и о.
Как известно (см. и. 25.1), интеграл от функции (25.10) может быть вычислен с помощью подстановки (см. 25.2) (в= х — х, что в нашем случае дает ~- (х — х,) ь'=1'а(х — хь) (х — х,), илн, беря 2) О при хзэх, и 2(0 при х==-х„(х — хь) г' = =-. )Гах'+Ьх+с. ( ) Рассмотренный в предыдущем пункте интеграл (25.7) является примером случая 2; этот интеграл был сведен выше к рациональ- ной дроби приемом, разобранным сейчас в общем случае. Два изученных нами способа вычисления интеграла (25.8) поз- воляют всегда свести этот интеграл к интегралу от рациональной дробя на любом промежутке, если только корень )сах' + Ьх+с на этом промежутке не принимает чисто мнимые значения (естест- венно, изучая анализ в действительной области, исключить этот случай из рассмотрения).
В самом деле, допустим, что ни первый, ни второй случай не имеют места, т. е. а( О и корни х, и хв трехчлена ах'+Ьх+с существенно комплексны: хь=д+й(', х,= =д — йь', й~О. Тогда Ю теь*-ь =)с.(*-,((*- Ь=)/а(х — д — й() (х — д+й() =)тса((х — п)х+й'1, и так как а О, а й~ О, то под корнем при любых х стоит отрипательное выражение. Д Третий случай: с) О. В этом случае можно применить подстановку Ь ИЕь Е =в)/ а гь (комбинация знаков произвольна).
Возводя в квадрат, получим равенство ах'+Ьх = + 2)тссх(+хх(а, откуда х= ', „=Й,(Г), ((х=)7ь(0((2, е ° 42б а 25. Интегрнроеанне некоторых нрраиионахеноегеа Н= — ах+ Ь (25.11) к рассмотренным интегралам вида (25.8). В самом деле, из (25.11) имеем: х= —, е(х= — ГеН,)lсх+е(=)/'-(' — '- +е(=-1ГАЬЬ+В, с сЬ где А =-, В= — — +е(, поэтому а' а ~ )т(х, 1' ах+ Ь, Р'"сх+ е1) е(х = ~ )ге (е, 3~'АН+ В) е(1, где )ге(и, о) — рациональная функция переменных и и о.
В пра- вой части последнего равенства стоит интеграл типа (25.8). Д Вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям, поэтому их следует приме- нять, вообще говоря, лишь тогда, когда рассматриваемый интеграл не удается вычислить другим более коротким способом, Например, Ьы Ье замечая, что ах'+Ьх+с=-а(х+ ) +с — -, нетрудно убедиться, что интеграл (25.8) в случае, когда подкоренное выражение поло- жительно на некотором интервале, с помощью линейной подста- новки может быть приведен (ср. п.
22.3) к одному из трех интегралов: ~ Я(г, Р 1 — Ье) АЬ, ~ В(г, Р'1 — 1) дЬ, ) В(1, Р Н+ 1) д( (конечно, здесь символом )г Ьбозначена, вообще говоря, другая, чем в формуле (25.8), рациональная функция). Для вычисления полученных интегралов часто оказывается очень удобным исполь- зовать тригонометрические подстановки (=з(пи, 1= сова, 1=1ди, а также гиперболические подстановки Ь=з)та, (=спи, 1= (пи.
25.4. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО БИНОМА Выражение х~(а+Ьх")ебх (а еьО, Ь чеО) называется дифференциальным биномом. Будем рассматривать случаи, когда п, т и р — рациональные, а а и Ь действительные числа. Положим х=ре" е (25.12) ъ Б'Хгех — г — е,ен-е,д, д е,(е, е~е) е,(е суть рациональные функции й Поэтому ~ й(х, К'ах'+Ьх+с)е(х=~й()к,(1), )се(1)))хе(1) е((=~ Й(() Й, где К(1) =)т(йе(1), В,(()))т;(() — рациональная дробь. Д Интегралы вида ~ ет(х, Ь ах+ 5, 3/ох+а)е(х сводятся подста- новкой 2б.4. Интегралы от дифференциального бинома 427 тогда е(х= — 4г!" 'е(! и ~х (а+Ьх")Ре(х= — ~ (а+Ы)Р( " й.
! , г Р ж+1 Таким образом, интеграл ~ х" (а+ Ьхн) р бх (25. 13) сводится подстановкой (25.12) к интегралу типа ) (а+Ы)р!е еУ, (25.14) где р и г7 рациональны. В рассматриваемом случае тл+ ! д= — — 1. и ~(а+Ы)Р!ое(! — ~ ~" ) !Р от(1, Снова имеем интеграл типа, рассмотренного в том же п. 25.2. На этот раз к интегралу от рациональной дроби его приводит подстановка ('а+ Ы !Пт Итак, в трех случаях, когда одно из чисел р, д или р+д является целым, интеграл (25.14) при помощи указанных выше подстаиовок приводится к интегралу от рациональной дроби.
Применительно к интегралу (25.13) этот результат выглядит т+! т+! следующим образом: когда одно из чисел р, — ' или — +р является целым, интеграл (25.13) может быть сведен к интегралу Первый случай: р — целое число. Г Пусть д=-, где г и з — целые числа. Согласно результатам п. 25.2 в этом случае подстановка г = !!и сводит интеграл (25.14) к интегралу от рациональной дроби. В т о р о й с л у ч а й: д — целое число.
Пусть теперь р=г!з, г и з — целые числа. Согласно результатам пункта 25.2, интеграл (25.14) приводится в этом случае 1 подстановкой а=(а+Ы)! к интегралу от рациональной дроби. Т р ети й случай: р+(! — целое. Пусть р=г4з и з — целые. Запишем для наглядности интеграл (25.14) несколько в другом виде: 42В Э гд Интегрирование некотормк ирраяиональноетей от рациональной дроби.
При этом в случае, когда р целое, это сведение осуществляет подстановка Ха (т где число В является знаменателем дроби —, т. е. — =- тл+1 и+1 т л ' ' ' л з ' я+1 в случае, когда — целое, †подстанов г = (а+ ЬХв)тге, где число В является знаменателем дроби р, т. е. р= г/В; а в слут+1 чае, когда — + р целое, — подстановка л г = (ах-"+ Ь) "е, где число з также является знаменателем дроби р.
П. Л, Чебышев*' показал, что при показателях гл, л и р, не удовлетворяющих вышеуказанным условиям, интеграл (25.13) не выражается через элементарные функции. Пример. Рассмотрим интеграл 1 = ~ )т х 1тт 1 — —,е(х= ~ хттз(1 — х з) с(х. )'гт 1 3 1 Здесь лг= 2, л= 2' р 4 и (и+1)/л= — 1; имеемвторой случай. Сделаем указанную выше подстановку: г =(1 х-з,г)тм. (25.15) отсюда (1 гз). з'з е(х (1 гз)-мз гз е(г и потому 2г 1 Г/ 1 1 3(1 гл) 3 3 (! — гг 1+ге ! 1 е(г = 2г 1 11+г! 1 = —, — - -!и ~ — ~ — агс1д г+С, 3(1 — г') 6 ~1 — г~ 3 где г выражается ч:р з х согласно формуле (25.15). м П.
Л. Ч е 6 ы са е в (! 821 — 1894) — русский математик. 2б.б. Интегралы, яриеодясциесх х интегралам от рац. дроби .Из 2ал). ИНТЕГРАЛЫ ВИДА ) )Гх Р„(х) У их' ЬЬх+с Рассмотрим интеграл я (х) У ахи+ Ьх+ с где Ри(х) — многочлен степени и=-1. С принципиальной точки зрения этот интеграл всегда можно свести к интегралу от рациональной дроби с помощью одной из подстановок Эйлера (см.
п. 25.3). Однако в данном конкретном случае значительно быстрее к цели приводит обычно другой прием. Именно покажем, что справедлива формула Р„(х) лл У ихи+ Ьх+ с .=Р„,) ))) г).ь .~ .). ) *, )25.)б) ) Уах'+Ьх+с' где Р„,(х) — многочлен степени не выше, чем и — 1, а )х — некоторое число. Итак, пусть многочлен Р„(х) = а„х" + а„,х"-'+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
