kudryavtsev1a (947413), страница 91
Текст из файла (страница 91)
п, 27.4) функция 7' интегрируема на отрезке [а, Ь]. [ ] Уп р а ж вен н е 2. Доказать, что сели 4!ункция ограничена и непрерывна из некотором отрезке, кроме, быть может, конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке. Задача 20. Локазать, что, для того чтобы ограниченная нь некотором отрезке функция была интегрируемой на ием, необходимо и достаточно, чтобы для каждого в)0 существовала конечная или счетная система интервалов, которые содержали бы асе точки разрыва заданной функции и сумма длин которых была бы меньше заданного е, зб Кудрявцев л. д.
т ! В 28. Свойства интегрируемых 4ункций 450 й 28. СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 28.!. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Будем систематически, не делая специальных ссылок, употреблять обозначения и терминологию, введенную в предыдущем параграфе. Прежде всего заметим, что поскольку интеграл от функции является числом, сопоставляемым заданной функции согласно данному выше определению, то само собой разумеется, что это число не зависит от выбора обозначения для аргумента подынтегральной функции, т. е. от обозначения переменной интегрированиял ь ь ь )1(х)г(х =)1(1) с(1 =') р(с) г(8. Перейдем теперь к рассмотрению основных свойств определенного интеграла. ь 1'. 1дх=Ь вЂ” а.
а Действительно, здесь подынтегральная функция равна единице, поэтому для любой интегральной суммы Римана о, имеем о,= „У, 'Лхг=Ь вЂ” а. [ ) М,» = зпр 1(х), к; !(г(х; т,": = 1п1 1' (х), к; !<с(г! г=1,2,...,яв, л..э .+ в Лхг х1 х! ! и замечая, что каждое слагаемое суммы ~ (М вЂ” т*;)Лх! явля- г=! ется и слагаемым суммы ~; (М; — т,) Лх! и что все слагаемые ~=! 2'. Если 4ункиия !' инпыгрируема на отрезке [а, Ьь то она интегрирусма на любом отрезке [а*, Ь*), содержаа(емся в [а, Ь1.
Доказательство. Прежде всего, если функция 1 ограничена на отрезке [а, Ь), то она, очевидно, ограничена и на [а", Ь*). Далее, каково бы нн было Разбиение т* - [х*,.),'.=вь' отрезка [а*, Ь') мелкости 6,*, его всегда можно продолжить в раз. биение т=[х!)';:о отрезка [а, Ь) такой же мелкости 6,=6,.; для этого достаточно добавить к точкам х,":, г=1, 2, ..., яв конечное число соответствующим образом выбранных точек, принадлежащих отрезку [а, Ь), но не принадлежащих отрезку [а*, Ь*). Полагая 28.Ь Свойства ооределенного интеграла обеих сумм неотрицательны, имеем н" ь 0=-5,* — з, = У',(Ме — т,*)бх! ==.
~(М! — т;)Лх! =5,— з,. ! =- ! !=! (28. 1) Если функция 1 интегрируема на отрезке [а, Ь], то, как мы знаем (см. п. 2?.4), !пп (5, — з,) = О. (28,2) ь,-о Поскольку 8,=6,":, то из (28.2) и из неравенства (28.1) следует, что 1нп (5; — з,*)= О, (28,3) ь,. о т. е. (см. п. 27.4) функция 7 интегрируема на отрезке [а*, Ь*]. [ ) 3". Пусть а(с Ь. Если функция 7 интегрируема на отрезках [а, с] и [с, Ь], то она интегрируема и на отрезке [а, Ь], причем ь с ь ~ 7 (х) с(х = ~ 7 (х) с(х + ') 7'(х) с(х.
(28.4) Доказательство. Если функция 7 интегрируема на [а, с] и [с, Ь], то она ограничена на каждом из этих отрезков, а значит и на всем отрезке [а, Ь], т. е. существует постоянная А)0 такая, что ~~(х)~~А, а~х~Ь. (28.6) Пусть т — некоторое разбиение отрезка [а, Ь]. Если точка с не входит в разбиение т, то обозначим через т' разбиение отрезка [а, Ь], получающееся из т добавлением точки с; очевидно, т' ~- т.
(28.6) а мел" Если же точка с входит в Рис. !Оа разбиение т, то положим т'=т. В первом случае обозначим через Л' и Лл длины двух отрез- ков разбиения т', примыкающих к точке с с двух сторон. Оче- видно, что Л=Л'+Л" является длиной отрезка разбиения т, содержащего точку с (рис. 106). Верхние суммы Дарбу 5, и 5,. функции 7 на отрезке [а, Ь] отличаются только слагаемыми, соот- ветствующими отрезкам разбиения т и т', которые содержат точку с.
Обозначая через М', М" и М верхнюю грань функции !,1! !на рассматриваемых отрезках, длины которых обозначены соответст!в* 482 8 28. Свойства интегрируемых функций веино Л', Л" и Л, получим (см. также (28.8)) О ~ 5с — 5т ~ М Л'+М"Ла+МЛ = А(сс'+Л" +Л) = 2АЛ~2Абт. Во втором случае, т. е. при т'=т просто 5, =5„8, =з,. Поэтому в обоих случаях 1пп (5,— 5,)=0 Ь,-о (28.7) и аналогично, (28.8) 5т = 5т [а, с]+5т'[с, Ь], зт'= зт'[а, с]+зт'[с, Ь] (28 О) а поэтому 5т' — вт' = (5т'[а, с] зт'[а, с])+ (5т'[с, ь] зс'[с, ь]) (28 10) и так как функция 7, по предположению, интегрируема на [а, с) и иа [с, Ь), то ]пп (5е[а, с] — зт'[а, с]) =О, о,,[„,]-о Замечая, что бт [,,,]~бто 6, [„, ь]~бтч находим в силу (28.10) П[п (5„— эт ) = 1ип (5, [,,] — эт [,,]) + 1]т (5' [с, ь] — э [с, ы) = О. о о,, о о,.
о (28,11) Мы видели выше, что выполнение подобного условия для любых разбиений т влечет за собой интегрируемость функции. Здесь же рассматриваемые разбиения т' имеют специальный вид: они обязательно содержат точку с. Лля того чтобы перейти к произвольному разбиению т, представим разность 5,— з,.в виде 5т зт = (5т 5т' ) + (5т' зт') + (Зт' Зт). Теперь из (28.7), (28.8) и (28.11) имеем 1!т (5,— в,)=-0; (28.12) о, о и, так как т было произвольным разбиением отрезка [а, Ь), то из ограниченности функции 7 на отрезке [а, Ь) и выполнения усло- вия (28.12) следует ее интегрируемость на этом отрезке. 1пп (8,— эе) =О.
о,-о Совокущюсть точек разбиения т', принадлежащих отрезку 1а, с], образует его разбиение, которое обозначим т'1а, с); совокупность же точек разбиения т', принадлежащих отрезку [с, Ь), образует разбиение этого отрезка, которое обозначим через т' 1с, Ь). Очевидно, 2ВЛ. Свойства определенного интеграла 4ВВ Из интегрнруемости функции 7 на отрезках [а, с1, [с, Ь! и [а, Ь! следует (см. и.
27.4), что с ь !нп 5;[,,,1=~7(х)дх, !!и[ 5с [с,ь! =)7(х)г[х, ь'[, ! Ос[с ь! о с ь 1! [п 5, = ) 7 (х) г[х. ь,,-о Поэтому, переходя к пределу при бс -нО в первом равенстве (28.9), получаем формулу (28.4). [ ) 4'. Если функции )' и у интегрируемы на отрезке [а, Ц, пю их сумма [+у также интегрируема на нем, причем ь ь ь ~ [['(х)+д (х)1[(х= ~) (х) [[к+~у(х) [(х. (28.13) а и а Доказательство. В самом деле, каковы бы ни были раз- биение т=(хс)):о~ отрезка [а, Ь1 и точки З; ~[х; и хг1, [=1, 2,...
..., я, имеем .(7+У)= Х[ив,)+а(ИЛ [=1 У,~Д[)Лхг+ ~х~дфс)бх; =о,([)+ о,(у). (28.14) с=1 [=. 1 Поскольку в силу ннтегрируемости функций 7 и у существуют пределы интегральных сумм о, (7) и о,(у) при б,— О, то из (28.14) следует, что существует и предел (почем)П) интегральной суммы ос(7+у), пРичем 1!т о,(7+у) = 1'цп о,([)+!'нп о,(д), (28.15) ь,-о ь о ь,-о что и означает интегрируемость функции 7'+у на отрезке [а, Ь1. Согласно же определению интеграла, ь 1!гп о,(7+8) =~[7(х)+д(х))г(х, ь -о и ь ь 1[т о, (7) = ~ 7 (х) дх, 1[и[ о, (д) = ~ д (х) е[х, ь,-о ь о Подставляя эти выражения в формулу (28.15), получим (28.!3). ! ) 5'.
Пусть функция [' интегрируема на отрезке [а, Ь] и с— поспюянная; тогда функция сгс также интсгрируема на мпом от- резке и ь ь ~ сг" (х) г(х = с ~ 7 (х) е[х. Э 28. Свойства интегрируемых функций Доказательство. Каковы бы ни были разбиение т= = [х!],'=! отрезка [а, Ь] и точки Е! я[х! „х!], !'=1, 2, ..., й, имеем о,(с[) = 'ц" с(($!) Ах!= с у', 1(э!) Лх! =со„([), 1=- 1 т=! отсюда, проводя рассуждения по той же схеме, как и при дока. зательстве предыдущего свойства, получим ь ь ) с( (х) ь(х = 1нп о, (с1) = 1пп са, (1) = с 1ип о, (7) =- с 11 (х) дх.
[~ ь о ь,-о ь,-о Из последних двух свойств вытекает следствие: если каждая из функций 11, 1=1, ..., п, интегрируема на отрезке [а, Ь], л а л! — пРоизвольные постоЯнные, то фУНкЦиЯ У', )ч1! — интегРи!=1 руема на [а, Ь], причем Ь л л Ь ~ 'У', 1.![!(х) г(х= 'У',)ч ~[1(х) дх. а 1=! 1=! а Это свойство определенного интеграла называется его линейностью. 6'.
Пусть функции 1" (х) и у (х) интегрируемы на отрезке [а„'Ь]. Тогда и их произведение 1(х)у(х) интегрируемо на нем. Доказательство. В силу интегрируемости функций 7" и д на отрезке [а, Ь] они ограничены на этом отрезке, т. е. сущест- вуют постоянные А ) О и В ) О, такие, что ( [ (х) ! = А, (д (х) ( = В (28.16) для всех хен [а, Ь].
Поэтому произведение [(х)д(х) также огра- ничено: для всех точек хан[а, Ь] выполняется неравенство ~ [(х) у (х) ! ==. АВ. Пусть т=(х1)';=.оо — какое-либо разбиение отрезка [а, Ь]. Оце- ним выражение 1" (х") д (х") — 1 (х') у (х'); для этого добавим и вычтем из него 1(х')д(хл)! 7 (х") д (хл) — 1(х) у (х) = [1 (х) — ) (х)] а (х") + [у (хл) — д (х)]1(х). (28.17) Для точек х' я[х! „х!] и х" ен [х! „х!] из (28.16) и (28.17) сле- дует, что /7(х )у(х") — ~(х')д(х')/(Ва!([)+Аа;(у), (28.18) где а;(1) и а!(д) суть колебания функций 1" и д на отрезках [х; 1, х!], 1=!, 2, ..., й. Из неравенства (28.18) для колебания а; (18) произведения )у на отрезке [х; „х!] вытекает оценка а! ()а) ~ Ва! Ц) + А а, (у), 2ВЛ. Свояетва определенного интеграла Отсюда ~ го! (Я) йх! ( В ~ ', го! (7) Лх! + А ~х , 'го! (у) Лх!.
(28. 20) В силу интегрируемости функций 7' и д (см. следствие 2 из теоремы 2 в и. 27А) и и 1пп ~ оц(() Ах!= 1пп ~' бц(д) Ах!=0. ь,-о;, б,-о; Поэтому из оценки (28.20) следует равенство и Игп '5, 'ыг([д) Лх! =О, б о которое и влечет за собой интегрируемость произведения 7у на отрезке [а, Ь). Д Методом математической индукции легко доказать, что если каждая из функций 1!(х), 1=1, ..., и, ннтегрируема на отрезке [а, Ь) то и их произведение ннтегрируемо на [а, Ь).
В частности, вместе с функцией 7(х) интегрируема и [7(х)1л при любом натуральном п. 7'. Если функция 7(х) интегрируема на отрезке [а, Ь) и нижняя грань функции )[(х) ! на [а, Ь1 положительна, то и 1Я(х) интегрируема на [а, Ь). Доказательство. Если всюду на [а, Ь]: ~7(х) ~)т)0, 1 1 1 1 ! то — "— для всех х ен [а, Ь); поэтому ~ — — — ( ( ~ 1(хл) 7(хй ~ при любых х,„х,~[а, Ь1. Отсюда следует, что если т=(х!)т=~! произвольное разбиение отрезка [а, Ь), то го! ( — ! ( —, ы! (7), следовательно /1! 1 0:-1(п! ~ а!Я Ах!~ —,11п! ~) гог(7)Ах!=0.
[ ) б ь. а! б а 'Следствие. Если функции 7' и у интегрируелты на отрезке [а, Ь1 и нижняя грань функции !к( положительна, то и ~/д интегрируема на [а, Ь1. Это вытекает, в силу свойств 6' и 7', из того, что — =7 х Ы х —.
Д 1 Ы З гв. Свойства интегрируемых функций, 8'. Если функция ( неотрицательна и интегрируельа на отрезке [а, Ь], пю ь )г(х) ь(х~О. (28.21) а в=1 Если функция г' интегрируема на отрезке [а, Ь], то, переходя к пределу в (28.22) при бт-+ О, получим неравенство (28.2!). [] Следствие. Если функции г и д интегрируельы на отрезке [а, Ь] и для всех х я [а, Ь] !" (х)гаьд(Х), (28.23) то ь ь ][(х) с(х)~д(х) дх. (28.24) Если интегрируемые функции ( и у удовлетворяют неравенству (28.23), то Г (х) — д (х) =» О, х ен [а, Ь]; поэтому, замечая, что на основании следствия из свойств 4' и 5' функция [-у интегрируема, в силу неравенства (28.21) имеем ] Д(х) — д(х)]ах~О, а Но (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
