kudryavtsev1a (947413), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Затем (см. п. 29.2) было показано, что, по крайней мере, для непрерывной функции 1 выражение 7'(х)е(х всегда является дифференциалом некоторой функции Р (х): Ы (х) =1 (х) ь(х. Поэтому естественно считать, что ь ь в этом случае записи ~ др(х) и )1(х)йх равнозначны, т. е. а а ь ь [ ь(Р (х) = ~ 7'(х) ь(х. а а Будем вообще допускать под знаком определенного интеграла любую запись дифференциала, т. е. положим, по определению, для дифференцируемой функции д(х): ь ь ] 1(х) дд (х) = ~1 (х) д' (х) ь(х (если, конечно, интеграл, стоящий в правой части равенства, существует). С помощью этого обозначения, например, формула (30.2) примет вид ь Р ~ [ (х) ь(х = ~ [ [~р (1)] йе (1). 476. р 80. Формулы замены переменной и интегрирования по частям ! у е" — 1с(х= 2 ~ — 2=2 ~(! — 2) а((= о = 2 !( — агс1д ()о =— У пражненне 1.
Доказать, что если функння ! непрерывна на !а, Ь! н Лля всех 1аы (О, Ь вЂ” а! ((а+1)=-)(Ь вЂ” О, то ь ь х! (х) Вх = — — ~ 7 (х) с(х. а+Ь Г 2 30,2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НО ЧАСТЯМ Теорема 2.,Если функции и =- и (х) и о = о (х) непрерывны вместпе со своими производными ни отрезке "!а, Ь), то ь ь $ и т(о = (ио!ь — ~ о с(и. (30.3) Таким образом, при замене переменного х= ар(() в определень ном интеграле )Г(х)с(х следует всюду формально заменить х на а ар (() и соответственным образом изменить пределы интегрирования. Обратим внимание на то, что при применении формулы (30.1) (соответственно формулы (30.2)) ее, подобно случаю неопределенного интеграла, можно использовать как слева направо, так и справа налево.
Однако в отличие от неопределенного интеграла, где мы в конце вычисления должны были возвращаться к первоначальной переменной интегрирования, здесь этого делать не нужно, так как наша цель найти число, которое в силудоказанных формул равно значению каждого из рассматриваемых интегралов.
2 Примеры. 1. Вычислим интеграл )е"хс(х, Применив форо мулу (30.!) справа налево (здесь роль переменной т играет х), получим 2 2 4 е"хт(х= в( ет'азха.=-- ~ ееа(у= ет( =— 2в ' 2в а о 1и 2 2. Пусть требуется вычислить интеграл ~ рте" — 1 1(х. Попью таемся упростить подынтегральное выражение, положив )/ех — 1 = Иначе говоря, сделаем замену переменного х= !и(1+(2); 21 В1 тогда «(х= —, и, поскольку при О.==(~1 имеем О~к~!п2, то применив формулу (30.1) слева направо, получим 1и 2 1 1 30.2.
Интегрирование ло частям Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Доказательство. Имеем: ь ь ь ь ~ (ии)' ь(х = ~ (ии'+ и'и) с(х = ~ и г(и+ ~ и йи. (30,4) Все эти интегралы существуют, ибо подынтегральные функции непрерывны. Но согласно формуле Ньютона — Лейбница ) (ии)' ах = [ии)ь. а (30.5) Сравнив формулы (30.4) и (30.5), получим равенство ь ь ~ис(и+) ис(и=[ни)ь,, а и 1(х), если хг,(к~хм 1г(х) = 1(хь т+О), если х=хг, )'(хг — О), если х = хи Определение 1. Если каждая функция [г(х), ь=1, 2, ..., 1г, (непрерывно) дифференцируема на отрезке [х; „хг), то функция 1'(х) называется кусочно (непрерывно) дифференцируемой на отрезке [а, Ь).
Теорема 2'. Пусть функции и(х) и и(х) непрерывны и кусочно- непрерывно дифференцируемы на отрезке [а, Ь); тогда для них справедлива формула (30.3) интегрирования по частям. Доказательство теоремы 2 остается в силе и в этом случае. Действительно, произведение ии — непрерывно, а его производная (ии)' = ии'+ и'и — кусочно-непрерывна. Поэтому согласно теореме 5 п.
29.2 к интегралу, стоящему в левой части (30.5), можно также применить формулу Ньютона — Лейбница. [ ) откуда и следует формула (30.3). [ ) Теорема 2 легко обобщается на случай так называемых кусочно-непрерывно дифференцируемых функций. Определим эти функции. Пусть функция [(х) определена на отрезке [а, Ь), существует такое разбиение т = [х;)г= ов отрезка [а, Ь), что 1(х) непрерывна на каждом интервале (хг „ х;) и сутцествуют конечные пределы 1(х; т+ О), 1(хг — О), ь' = 1, 2, ..., й.
(Следовательно, функция )' кусочно-непрерывна на отрезке [а, Ь), см. определение 1 в п. 28.3). Введем, как н выше (см. доказательство теоремы 2 в п. 28.3), функции й7В з Ва. Фармуяьг замены переменной и интегрирования аа настям Примеры. 1. Найдем значение интеграла ~1пхг(х. Приме! ннм формулу интегрирования по частям: г г ~ 1п х г(х = х 1и х !,' — ~ г(х = 2 1и 2 — 1. 1 ! 2. Покажем, что для любого в=О, 1, 2, ...
(а — ЦИ я и,'2 я!2 — ' — прн л четном е' ип 2 7а= ~ 2(пах!(х= ~ соз" хг(х= (30.7) (л — цИ о о прн и нечетном. Заметим прежде всего, что равенство интегралов, входящих в (30.?), легко установить с помощью замены переменного х = = п(2 — !. Далее, проинтегрировав по частям, получим: я/2 а/2 7а= 1 2!и" хг(х== 1 2)па-тхг(( — созх) = а о я(2 = — 2(па-тхсозх!Ягг+(и — 1) ~ 2(пн-гхсозгхг(х= а аг2 =(и — 1) ~ 2(па-гх(1 — 2(пгх)с(х=(п — 1) 7, г — (и — 1)У„, а отсюда н — 1 ~а з я-2 а яГ2 яГ2 Заметим, что 7,= ~ г(х=-2-, 12= ~ 2)пхг(х=1. Поэтому прн а о и= 2л+1, т. е.
нечетном, будем иметь 2Гг 22(22 — 2) ... 2 (24)И 722гт — 22+1 2"-' " (2д+0(22 — ц ... 1 ' (22п цп ° а прн я=212, т. е. четном— 22 — 1 (2Гг — Ц(2Д=З) ... 1 (2я — ЦИ и ~2»= 2д ° -' —" = 2д(22 2)„,2 ~ = (2д)И 2- П Из формулы (30.7) легко получается так называемая формула В аллнс а *"1, которая нам понадобится в дальнейшем: (30.8) ю Под ап, а ы М, п ) 1, подразумепается произведение всех натуральных чисел, не преаосходяшнх а н обйадаюших той же четностью, что и число а.
"> Д ж, В а л л и с (16!б — !703) — английский математик, 30.3*. Вторая теорема о среднем значении дяя интеграла 479 Докажем ее. Интегрируя неравенство з)пело!к = э)пел х~ з(пел-т х, 0-= =:- я)2, по отрезку [О, п)21 будем иметь л>2 л>2 л>2 ~ з(пел>тхс(х== ~ сцп'ах>(х - ~ з)пол-тх>(х о о о (нетрудно показать, что в действительности здесь имеют место строгие неравенства). В силу (30.7) (2л)и (2а — 1)>! л (2л — 2)!! ( (2л+ 1)!! (2а) и 2 (2л — 1) 1! ' откуда (2л)!! 1о л 1 ( (2а)!! и л'! 2л+1[(2л — 1)!! ) 2 2л [(2л !)П) = ул' ( О ) Поскольку в силу этого неравенства 1 1 Г (2л)п )о 1 л Ул л=2л2а+1[(2л — 1)!>) 2л 2 при п-ь.оэ, то 1пп (ул — хл) =О, т. е.
длины отрезков [х„у„]=эя)2 л со стремятся к нулю и, следовательно, 1!пт хл = п)2, 1пп ул = и/2. л со л о» Первое из этих равенств, в силу определения хл (см. (30.9)), и означает справедливость формулы Валлиса. ( ) Упражнения. Вычислить определенные интегралы: 1 1 4. '1 ха 3 1 — хе а>х.
1 !+хх о 'о л>2 З. ~, — 1>дч. 5. ~ х( ь +» )лх' о ЗОЛ*. ВТОРАЯ ТЕОРГ»МА О СРЕДНЕИ ЗНАЧЕНИИ ДЛЯ ОПРГДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Лемма 1. Пусть 1 — непрерывная, а д — возраста>ощая неотрицательная непрерывно дифференцируемая на отрезке. [а, Ь) функция. Тогда существует такая тонка $ ~ [а, Ь), ито ь ь ) д (х) !" (х) >Хх = д (Ь) 1 1 (х) >(х. (30. 10) а Доказательство. Рассмотрим функцию ь г" (х)» — "> ') Г(!) >(Г, а~ х==Ь. к т80 0 Ь0.
Формулы гамены переменной и интегрирования по ногтям Функция Р, являясь интегралом с переменным нижним пределом от интегрируемой (даже непрерывной) функции Г, непрерывна на отрезке [а, Ь] и поэтому достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений. Если гл=ш)пг" (х), М=гпахг" (х), (30.12) Ьа, Ь| (а, Ь3 то, очевидно, тл~р(х) - М, хин[а, Ь1. (30.13) Заметив, что т(г" (х) = — 1(х) т(х и проинтегрировав по частям интеграл, стоящий в левой части равенства (30.10), получим ь ь ь ~ д (х) Г (х) дх = — ~ д (х) е(г (х) = р. (х) г" (х) (ь, + ~ Р (х) р', (х) е(х = а а а ь =- д(а).Г (а)+ ~ г'(х) д' (х) дх, (30.14) а ибо в силу (30.11) г (Ь) =О.
Вследствие возрастания функции д имеем д'(х)~0 для всех хен [а, Ь1. Применив это неравенство, неравенства (30.13) и заметив, что из неотрицательности д на [а, Ь1 следует в частности, что и й (а)~0, получим оценки Ь Ь д(а)Р(а)+~Р(х)д'(х)дх Мй(а)+М ~д'(х)е(х= а а =Мд(и)+М[и(Ь) й(,Ю=М (Ь), Ь д(а) р (а) + ~ г" (х) д' (х) дх = тд (а) + и [д (Ь) — д (а)1 = льо. (Ь). а Таким образом, (см. (30.!4)) имеем ь гпо.(Ь) -=5 р (х)[(х)т(х = МЫ (Ь).
а Если д(Ь) =-О, то из неотрицательиости и возрастания функции р следует, что д(х) = — 0 на [а, Ь). В этом случае формула (30.10) справедлива при любом выборе 5 ~[а, Ь1. Если же й(Ь) )О, то т== — ь ~ д(х)7(х)т(хо-.М. =й(ь) а Поскольку непрерывная на отрезке [а, Ь1 функция Р принимает на этом отрезке любое значение, лежащее между ее минимальным значением пт и максимальным М (см. (30.12)), то су- ВО.В. Интеграла от вектор-функций тег ществует такая точка 3ен(а, Ь], что ь г" (ев) = — ~ д (х) Г (х) с(х. д (ь) В силу условия (30,11) это и есть формула (30.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
